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1、新編數(shù)學(xué)北師大版精品資料【成才之路】高中數(shù)學(xué) 2.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)練習(xí) 北師大版選修1-1一、選擇題1橢圓25x29y2225的長軸長,短軸長,離心率依次為()A5,3,B10,6,C5,3,D10,6,答案B解析橢圓25x29y2225化為標(biāo)準(zhǔn)方程為1,a225,b29,長軸長2a10,短軸長2b6,離心率e,故選B.2橢圓的一個頂點與兩個焦點構(gòu)成等邊三角形,則此橢圓的離心率為()A.BC.D答案D解析由題意得a2c,離心率e.3橢圓2x23y26的焦距是()A2B2()C2D2()答案A解析橢圓方程可化為1,c2a2b21.c1.焦距2c2.4若橢圓1的離心率e,則m的值是()A3
2、B3或C.D或答案B解析若5>m,e,m3.若m>5,e,m.5中心在原點,焦點在x軸上,若長軸長為18,且兩個焦點恰好將長軸三等分,則此橢圓的方程是()A.1B1C.1D1答案A解析由2a18得a9,又ac2c,c3.b2a2c281972.故橢圓的方程為1.6橢圓1與1(0<k<9)的關(guān)系為()A有相等的長、短軸B有相等的焦距C有相同的焦點Dx,y有相同的取值范圍答案B解析0<k<9,0<9k<9,16<25k<25,25k9k16,故兩橢圓有相等的焦距二、填空題7(2015·四川)橢圓E:1(a>b>0)的
3、離心率是,點P(0,1)在短軸CD上,且·1,則橢圓E的方程為_答案1解析由已知,點C、D的坐標(biāo)分別為(0,b),(0,b)又P點的坐標(biāo)為(0,1),且·1,于是解得a2,b,所以橢圓E方程為1.8若橢圓兩焦點F1(4,0),F(xiàn)2(4,0),P在橢圓上,且PF1F2的最大面積是12,則橢圓方程為_答案1解析焦點為(4,0),c4,且焦點在x軸上又最大面積為bc12,b3,a216925,橢圓方程為1.三、解答題9求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)短軸長為6,兩個焦點間的距離為8;(2)兩個頂點分別是(7,0),(7,0),橢圓過點A(1,1);(3)兩焦點間的距離為8,
4、兩個頂點分別是(6,0),(6,0)答案(1)1或1(2)1(3)1或1解析(1)由題意得b3,c4,a2b2c291625焦點位置不定,所以存在兩種情況橢圓方程為1或1.(2)當(dāng)焦點在x軸上時,兩個頂點為(7,0),(7,0),a7.方程可設(shè)為1,又過點(1,1),代入可得b2,橢圓方程為1.當(dāng)焦點在y軸上時,兩個頂點為(7,0),(7,0),b7.橢圓方程可設(shè)為1,又過點(1,1),代入可得a2,這與a2>b2矛盾,不符合題意綜上可知,橢圓方程為1.(3)2c8,c4,當(dāng)焦點在x軸上時,因為橢圓頂點為(6,0),a6,b2361620,橢圓方程為1.當(dāng)焦點在y軸上時,因為頂點為(6,
5、0),b6.a2361652,橢圓方程為1.橢圓方程為1或1.10當(dāng)m取何值時,直線l:yxm與橢圓9x216y2144.(1)無公共點;(2)有且僅有一個公共點;(3)有兩個公共點答案(1)±5(2)5<m<5(3)m<5或m>5解析由消去y得,9x216(xm)2144,化簡整理得,25x232mx16m21440,(32m)24×25×(16m2144)576m214400.(1)當(dāng)0時,得m±5,直線l與橢圓有且僅有一個公共點(2)當(dāng)>0時,得5<m<5,直線l與橢圓有兩個公共點(3)當(dāng)<0時,得m
6、<5或m>5,直線l與橢圓無公共點.一、選擇題1橢圓的焦點在x軸上,長、短半軸之和為10,焦距為4,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.1B1C.1D1答案A解析由題意得c2,ab10,b2(10a)2a2c2a220,解得a236,b216,故橢圓方程為1.2過橢圓1的焦點的最長弦和最短弦的長分別為()A8,6B4,3C2,D4,2答案B解析橢圓過焦點的弦中最長的是長軸,最短的為垂直于長軸的弦(通徑)是.最長的弦為2a4,最短的弦為3,故選B.3(2014·大綱全國理,6)已知橢圓C:1(a>b>0)的左、右焦點為F1、F2,離心率為,過F2的直線l交C于A、B兩點,
7、若AF1B的周長為4,則C的方程為()A.1By21C.1D1答案A解析根據(jù)條件可知,且4a4,a,c1,b22,橢圓的方程為1.4(2014·撫順二中期中)在ABC中,ABBC,cosB.若以A,B為焦點的橢圓經(jīng)過點C,則該橢圓的離心率e()A.BC.D答案C解析設(shè)|AB|x>0,則|BC|x,AC2AB2BC22AB·BC·cosBx2x22x2·()x2,|AC|x,由條件知,|CA|CB|2a,AB2c,xx2a,x2c,e.二、填空題5已知F1、F2是橢圓的兩個焦點,滿足·0的點M總在橢圓內(nèi)部,則橢圓離心率的取值范圍是_答案(0
8、,)解析依題意得,c<b,即c2<b2,c2<a2c2,2c2<a2,故離心率e<,又0<e<1,0<e<.6如圖,把橢圓1的長軸AB分成8等份,過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1、P2、P7,七個點,F(xiàn)是橢圓的一個焦點,則|P1F|P2F|P7F|_.答案35解析根據(jù)對稱性|P1F|P2F|P7F|×7×2a×7×1035.三、解答題7經(jīng)過點P(0,2)作直線l交橢圓C:y21于A、B兩點,若AOB的面積為,求直線l的方程解析如圖所示,直線l的斜率顯然存在,故可設(shè)l的方程為ykx2,代入橢
9、圓方程并整理得:(2k21)x28kx60.由韋達(dá)定理有x1x2,x1x2,過O作OHAB,則|OH|.又|AB|x1x2|,SAOB|AB|·|OH|.SAOB,即9(x1x2)24x1x24.將式代入得9()24,即4k432k2550,k2或k2.又式的判別式>0,得2k23>0,k2>.k±,k±均滿足故直線l的方程為y±x2或y±x2.8設(shè)F1、F2分別是橢圓y21的左、右焦點,設(shè)過定點M(0,2)的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B,且AOB為銳角(其中O為坐標(biāo)原點),求直線l的斜率k的取值范圍答案2<k<或<k<2解析顯然直線x0不滿足題設(shè)條件,可設(shè)直線lykx2,A(x1,y1),B(x2,y2)聯(lián)立消去y,整理得(k2)x24kx30.x1x2,x1x2.由(4k)24(k2)×34k23>0,得k>或k<.又0°<AOB<90°cosAOB>0·>0.·x1x2y1y2>0.又y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)44.>0.即k2<4.2<k<2.故由得2<k<或<k<2.