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1、2.2函數的定義域、值域及解析式2014 高考會這樣考1.考查函數定義域、值域的求法；2.考查函數解析式的應用；3.和其他知識相結合，考查函數概念復習備考要這樣做 1.掌握函數定義域的幾種情形； 2.理解求函數解析式的基本方法； 3.和函數最值相結合求函數值域1 函數的定義域(1) 函數的定義域是指使函數有意義的自變量的取值范圍(2) 求定義域的步驟寫出使函數式有意義的不等式(組 )；解不等式組；寫出函數定義域(注意用區(qū)間或集合的形式寫出)(3) 常見基本初等函數的定義域分式函數中分母不等于零偶次根式函數、被開方式大于或等于0.一次函數、二次函數的定義域為R. y ax (a0 且 a 1)，

2、 ysin x，y cos x，定義域均為R. y tan x 的定義域為x|x R 且 xk 2， k Z .函數 f(x) x0 的定義域為 x|x R 且 x 0 2 函數的值域(1) 在函數 y f(x)中，與自變量 x 的值相對應的 y 的值叫函數值，函數值的集合叫函數的值域(2) 基本初等函數的值域 y kx b (k 0)的值域是R. y ax2 bx c (a0) 的值域是：當 a0 時，值域為4ac b2， ；當 a0 且 a 1)的值域是 (0， ) y log ax (a0 且 a 1)的值域是 R . y sin x， y cos x 的值域是 1,1 y tan x

3、的值域是 R.3 函數解析式的求法(1) 換元法；(2) 待定系數法；1(3) 消去法：若所給解析式中含有 f(x)、f x 或 f(x)、f( x)等形式，可構造另一個方程，通過解方程組得到 f(x)(4) 配湊法或賦值法：依據題目特征，能夠由一般到特殊或由特殊到一般尋求普遍規(guī)律，求出解析式難點正本疑點清源 1 函數的定義域是研究函數問題的先決條件，它會直接影響函數的性質，所以要樹立定義域優(yōu)先的意識2 (1) 如果函數f(x)的定義域為A，則 f(g(x)的定義域是使函數g(x) A 的 x 的取值范圍(2) 如果 f(g(x) 的定義域為 A，則函數 f(x)的定義域是函數 g(x)的值域

4、(3) fg(x) 與 fh(x) 聯(lián)系的紐帶是g(x)與 h(x)的值域相同1 4 x2的定義域為 _ 1 (2012 山東改編 )函數 f(x) ln x 1答案( 1,0) (0,2x 10，解析由 ln x 1 0，得 1x 2，且 x 0.4 x2 02 設 g(x) 2x 3， g(x2) f(x)，則 f(x) _.答案2x7解析由 g(x) 2x 3，知 f(x) g(x 2) 2(x 2) 3 2x 7.3 若 f(x)滿足 f(xy)f(x) f(y)，則可寫出滿足條件的一個函數解析式f( x) 2x.類比可以得到：若定義在R 上的函數g(x)，滿足 (1) g( x1 x

5、2) g(x1)g(x2)； (2)g(1) 3； (3)? x1x2，g(x1)0 知 3x 11.又 f(x)在 (0， )為增函數且f(1) 0， f(x) log 2(3x 1)0.11 x25 已知 f x 1 x2，則 f(x) _.x2 1答案(x 0)x2 111解析 令 x t，則 x t 且 t 0，1 22 11 tt f(t)，12 t2 11 tx2 1即 f(x) 2( x 0).x 1題型一求函數的定義域例 1(1) 函數 yln x 1的定義域為 _ x23x 4(2) 若函數 y f(x)的定義域是f 2x 的定義域是 _0,2 ，則函數 g(x)x 1思維啟

6、迪： 函數的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合；抽象函數的定義域要注意自變量的取值和各個字母的位置答案(1)( 1,1)(2)0,1)x 10解析(1)由，得 1x0 0 2x 2，(2) 依已知有x 1 0，解之得 0x1 ，定義域為 0,1) 探究提高(1) 求函數的定義域，其實質就是以函數解析式所含運算有意義為準則，列出不等式或不等式組，然后求出它們的解集(2) 已知 f(x)的定義域是 a，b，求 fg(x) 的定義域， 是指滿足 a g(x) b 的 x 的取值范圍，而已知 fg(x) 的定義域是 a ， b ，指的是 x a， bx 4(1) 若函數 f(x) mx2 4mx

7、 3的定義域為R ，則實數 m 的取值范圍是_3答案0，4解析f(x)的定義域為R ，即 mx2 4mx 3 0 恒成立 當 m 0 時，符合條件 當 m 0 時， (4m)2 4 m 30 ，3即 m(4m 3)0 ， 0m0，且 x 1 當 x1 時， log 3x0 ，于是1y log3x log 3x 1 21log 3xlog 3x 1 1；當 0x1 時， log 3x0，于是13x 11 1 log3x log 3xy log3 x log 2 1 3.故函數的值域是( ， 3 1， )探究提高(1) 當所給函數是分式的形式，且分子、 分母是同次的， 可考慮用分離常數法；(2)

8、若與二次函數有關， 可用配方法； (3)若函數解析式中含有根式， 可考慮用換元法或單調性法； (4)當函數解析式結構與基本不等式有關，可考慮用基本不等式求解；(5)分段函數宜分段求解；(6) 當函數的圖象易畫出時，還可借助于圖象求解求下列函數的值域：x2 x(1) yx2x 1；(2)y 2x 1134x.解 (1)方法一 (配方法 )1 y 1，x2 x 1又 x2 x 1 x1 2 3 3，24 4141 0x2 x 13， 3y1.1 函數的值域為3， 1 .方法二(判別式法 )x2 x由 y x2 x 1，x R，得 (y1)x2(1 y) x y 0. y 1 時， x ?， y 1

9、.又 x R， (1 y)2 4y(y 1)0，1解得 3 y 1.11綜上得3 y1) t 1x1(2) 設 f(x) ax2 bx c (a 0) ，則 f( x) 2ax b 2x2， a1， b 2， f(x) x2 2x c.又 方程 f(x) 0 有兩個相等實根， 4 4c0， c 1，故 f(x) x2 2x 1.(3) 當 x( 1,1)時，有 2f(x) f( x) lg( x1) 以 x 代替 x 得， 2f( x) f(x) lg( x 1) 由 消去 f( x)得，21f(x) 3lg(x 1) 3lg(1 x)，x ( 1,1)探究提高函數解析式的求法(1) 配湊法：

10、 由已知條件 f(g(x) F(x)，可將 F(x)改寫成關于 g(x)的表達式， 然后以 x 替代g(x)，便得 f( x)的解析式；(2) 待定系數法：若已知函數的類型(如一次函數、二次函數 )，可用待定系數法；(3) 換元法：已知復合函數 f(g(x)的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍；1(4) 消去法： 已知關于f(x)與 f x 或 f( x)的表達式， 可根據已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)給出下列兩個條件：(1) f( x 1) x2 x；(2) f(x)為二次函數且 f(0) 3，f(x 2) f(x) 4x 2.試分別求出 f(x)

11、的解析式解 (1)令 t x 1， t 1，x (t 1)2.則 f(t) (t 1)2 2(t 1) t2 1， f(x) x2 1 (x 1)(2) 設 f(x) ax2 bx c (a 0) ，又 f(0) c 3. f(x) ax2 bx3， f(x 2) f(x) a(x 2)2 b(x 2) 3 (ax2 bx3) 4ax 4a2b 4x2.4a 4a 1， ，4a 2b2b 1 f(x) x2 x 3.函數問題首先要考慮定義域典例： (14 分 )已知 f(x)2 log3x， x 1,9 ，試求函數 y f(x) 2 f(x2)的值域審題視角(1) f(x)的定義域； (2)

12、yf(x)2f(x2)的定義域與 f(x)的定義域不同；(3)如何求y f(x)2 f(x2)的定義域規(guī)范解答解 f(x)2 log 3x 的定義域為 1,9 ，要使 f(x) 2 f(x2)有意義，必有1 x 9 且 1 x2 9， 1 x 3， 4 分 y f(x)2 f( x2)的定義域為 1,3 又 y (2 log3x)2 2 log3x2(log 3x 3)2 3.8 分 x 1,3 ， log3x 0,1 ， ymax (1 3)2 3 13，ymin (0 3)2 3 6.12 分 函數 yf(x)2f(x2)的值域為 6,13 14 分 溫馨提醒(1) 本題考查了函數的定義域

13、、值域的概念及求法，是函數的重點知識(2) 本題易錯原因是忽略對定義域的研究，致使函數yf(x)2 f(x2)的討論范圍擴大(3) 解答有關函數的問題要規(guī)范，研究函數問題，首先研究其定義域，這是解答的規(guī)范，也是思維的規(guī)范 .方法與技巧1 函數的定義域是函數的靈魂，它決定了函數的值域，并且它是研究函數性質的基礎因此，我們一定要樹立函數定義域優(yōu)先意識求函數的定義域關鍵在于列全限制條件和準確求解方程或不等式(組 )；對于含有字母參數的函數定義域，應注意對參數取值的討論；對于實際問題的定義域一定要使實際問題有意義2 函數值域的幾何意義是對應函數圖象上點的縱坐標的變化范圍利用函數幾何意義，數形結合可求某

14、些函數的值域3 函數的值域與最值有密切關系，某些連續(xù)函數可借助函數的最值求值域，利用配方法、判別式法、基本不等式求值域時，一定注意等號是否成立，必要時注明“ ”成立的條件失誤與防范1 求函數的值域，不但要重視對應法則的作用，而且還要特別注意定義域對值域的制約作用函數的值域常?；瘹w為求函數的最值問題，要重視函數單調性在確定函數最值過程中的作用特別要重視實際問題中的最值的求法2 對于定義域、值域的應用問題，首先要用“ 定義域優(yōu)先 ” 的原則，同時結合不等式的性質 .A 組 專項基礎訓練(時間： 35 分鐘，滿分：62 分 )一、填空題 (每小題 5分，共 35 分 )1，則 f(x)的定義域為 _

15、 1 若 f(x)1log 2 2x 1答案1， 02解析要使 f(x)有意義，需 log1(2x 1)0 log11，221 02x 11， 2x0，1， x為有理數，2 (2012 福 建 改編 ) 設f(x) 0， x 0，g(x) 則f(g( )的 值 為0， x為無理數， 1， x0 x|x3 ，2N x|1 2 0 x|x 3 或 x1 ；x 13(2) M N x|x3 ， M N x|x2 9 (14 分 ) 已知 f(x)是二次函數，若f(0) 0，且 f(x 1) f(x) x1.(1) 求函數 f(x)的解析式；(2) 求函數 y f(x22) 的值域解 (1)設 f(x

16、) ax2 bxc (a 0)，又 f(0) 0， c 0，即 f(x) ax2 bx.又 f(x 1) f(x) x 1. a(x 1)2 b(x 1) ax2 bx x1. (2a b)x a b (b 1)x 1，12a b b 1a 2.，解得1a b 1b 2 f(x)1212x x.2212212(2) 由 (1)知 yf(x 2) 2(x 2) 2(x 2) 1(x43x2 2) 1 x2 3 2 1，2228當 x2 32時， y 取最小值 18. 函數y f(x2 2)的值域為18， .B 組專項能力提升(時間： 35 分鐘，滿分： 58 分 )一、填空題 (每小題 5分，共

17、 30 分 )1 (2012 蘇江 )函數 f(x)1 2log x的定義域為 _6答案(0， 6x0，解析要使函數 f(x)1 2log 6x有意義，則1 2log 6x 0.解得 0x 6.x2， |x| 1，g(x) 是二次函數，若 f(g(x)的值域是 0， )，則 g(x)的值域是2 設 f(x)x， |x|2，3 設函數 f(x) 若 f(x)的值域為 R ，則常數 a 的取x a2 ， x 2，值范圍是 _答案a2 或 a 1解析易知兩段函數都是增函數，當x2 時， y4 a；當 x 2 時， y 2 a2，要使 f(x)的值域為 R ，則 4 a 2 a2，解得 a 2 或 a

18、 1.114 已知 f x x x2x2 ，則 f(3) _.答案11解析 f x1 x212 x1 2 2，xxx f(x) x2 2， f(3) 32 211.5 設 函 數 g(x) x2 2(xR ) ， f(x) g x x 4， xg x則 f(x) 的 值 域 是，g x x， x g x_ 9答案4， 0 (2， )解析由 xg(x)可得 x2，由 x g(x)可得 1 x 2；x2 x 2，x2， f(x)x2 x 2， 1x 2.由 f(x)的圖象可得：當 x2 時， f(x)f( 1) 2，1 f(x) f(2)，當 1 x2 時， f 299即4 f(x) 0， f(x

19、) 值域為 4， 0 (2， )6 設 x 2，則函數 yx 5x 2的最小值是 _x 1答案283解析 x 1 4 x 1 1t 2 5t 44y，設 x 1 t，則 t 3，那么 yt t t 5，在x 1區(qū)間 2， )上此函數為增函數，所以t 3 時，函數取得最小值即28y 3 .min二、解答題 (共 28 分 )7 (14 分 ) 已知函數 f(x) x2 4ax 2a 6 (a R)(1) 若函數的值域為 0， )，求 a 的值；(2) 若函數的值域為非負數，求函數 g(a)2 a|a 3|的值域解 (1) 函數的值域為 0， )， 16a2 4(2a 6)0， 2a2 a 3 0

20、， a 1 或 a 3. 2(2) 對一切x R 函數值均為非負， 16a2 4(2a 6) 8(2a2 a 3)0. 31 a 2.a 30， g(a) 2 a|a 3| a2 3a 2a 32 2174a 1， 32.3 二次函數g(a)在 1，2 上單調遞減， g 3 g(a) g( 1)即 19 g( a) 4.2419 g(a)的值域為 4 ， 4 .8 (14 分 )已知定義在 0,6 上的連續(xù)函數 f(x)，在 0,3 上為正比例函數， 在 3,6 上為二次函數，并且當 x3,6 時， f( x) f(5) 3， f(6) 2，求 f(x)的解析式解由題意，當x3,6 時，可設 f( x) a(x 5)2 3 (a0) f(6) 2， a(6 5)2 3 2，解得 a 1， f(x) (x 5)2 3 x2 10x 22.當 x 0,3 時，設 f(x) kx (k 0) x 3 時， f(x) (3 5)2 3 1， 1 3k， k 113， f(x) 3x.13x0 x3 ，故 f(x) x210x 223x 6 .