高中數(shù)學(xué)選修11人教版 練習(xí):第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 Word版含答案



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1、(人教版)精品數(shù)學(xué)教學(xué)資料
第三章 學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè)
時(shí)間120分鐘,滿分150分。
一、選擇題(本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.設(shè)正弦函數(shù)y=sin x在x=0和x=附近的瞬時(shí)變化率為k1、k2,則k1、k2的大小關(guān)系為( A )
A.k1>k2 B.k1
2、 D.-1 [解析] y′=(xα)′=αxα-1, 由條件知,y′|x=1=α=-4. 3.函數(shù)y=x2cos x的導(dǎo)數(shù)為( A ) A.y′=2xcos x-x2sin x B.y′=2xcos x+x2sin x C.y′=x2cosx-2xsin x D.y′=xcosx-x2sin x [解析] y′=(x2cos x)′=(x2)′cos x+x2(cos x)′=2xcos x-x2sin x. 4.函數(shù)y=12x-x3的單調(diào)遞增區(qū)間為( C ) A.(0,+∞) B.(-∞,-2) C.(-2,2) D.(2,+∞) [解析] y′=12-3x2=3(4-x
3、2)=3(2+x)(2-x),令y′>0,得-2 4、-x在(-∞,+∞)上是減函數(shù),則m的取值范圍是( C )
A.m<0 B.m<1
C.m≤0 D.m≤1
[解析] f ′(x)=3mx2-1,由題意知3mx2-1≤0在(-∞,+∞)上恒成立,當(dāng)m=0時(shí),-1≤0在(-∞,+∞)上恒成立;當(dāng)m≠0時(shí),由題意得m<0,綜上可知m≤0.
8.已知拋物線y=-2x2+bx+c在點(diǎn)(2,-1)處與直線y=x-3相切,則b+c的值為( C )
A.20 B.9
C.-2 D.2
[解析] 由題意得y′|x=2=1,又y′=-4x+b,
∴-42+b=1,∴b=9,
又點(diǎn)(2,-1)在拋物線上,
∴c=-11,∴b+c=-2,故選C 5、.
9.三次函數(shù)當(dāng)x=1時(shí),有極大值4;當(dāng)x=3時(shí),有極小值0,且函數(shù)過原點(diǎn),則此函數(shù)是( B )
A.y=x3+6x2+9x B.y=x3-6x2+9x
C.y=x3-6x2-9x D.y=x3+6x2-9x
[解析] 設(shè)函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),
∵函數(shù)圖象過原點(diǎn),∴d=0.f ′(x)=3ax2+2bx+c,
由題意得,,即,解得,
∴f(x)=x3-6x2+9x,故應(yīng)選B.
10.(2016山西大同高二月考)某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠家以每件20元購進(jìn)一批商品,若該商品零售價(jià)定為P元,銷售量為Q,則銷售量Q(單位:件)與零售價(jià)P(單位:元)有如下關(guān)系Q=8 6、300-170P-P2,則最大毛利潤(rùn)為(毛利潤(rùn)=銷售收入-進(jìn)貨支出)( D )
A.30元 B.60元
C.28 000元 D.23 000元
[解析] 設(shè)毛利潤(rùn)為L(zhǎng)(P),由題意知L(P)=PQ-20Q=Q(P-20)=(8 300-170P-P2)(P-20)=-P3-150P2+11 700P-166 000,所以L′(P)=-3P2-300P+11 700.令L′(P)=0,解得P=30或-130(舍).此時(shí)L(30)=23 000,因?yàn)樵赑=30附近的左側(cè)L′(P)>0,右側(cè)L′(P)<0.所以L(30)是極大值也是最大值.
11.(2016山東滕州市高二檢測(cè))已知f′(x) 7、是函數(shù)f(x)在R上的導(dǎo)函數(shù),且函數(shù)f(x)在x=-2處取得極小值,則函數(shù)y=xf′(x)的圖象可能是( C )
[解析] ∵x=-2時(shí), f(x)取得極小值,∴在點(diǎn)(-2,0)左側(cè),f′(x)<0,∴xf′(x)>0,在點(diǎn)(-2,0)右側(cè)f′(x)>0,∴xf′(x)<0,故選C.
12.(2016山西晉城月考)已知f(x)=x3-3x,過點(diǎn)A(1,m)(m≠-2)可作曲線y=f(x)的三條切線,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( D )
A.(-1,1) B.(-2,3)
C.(-1,2) D.(-3,-2)
[解析] 設(shè)切點(diǎn)為(t,t3-3t),f′(x)=3x2-3,則切線方程為 8、y=(3t2-3)(x-t)+t3-3t,整理得y=(3t2-3)x-2t3.把A(1,m)代入整理,得2t3-3t2+m+3=0?、?因?yàn)檫^點(diǎn)A可作三條切線,所以①有三個(gè)解.記g(t)=2t3-3t2+m+3,則g′(t)=6t2-6t=6t(t-1),所以當(dāng)t=0時(shí),極大值g(0)=m+3,當(dāng)t=1時(shí),極小值g(1)=m+2.要使g(t)有三個(gè)零點(diǎn),只需m+3>0且m+2<0,即-3 9、f′(1)x+2,
∴f′(1)=3-2f′(1)+2,∴f′(1)=.
因此f′(2)=12-4f′(1)+2=.
14.已知函數(shù)f(x)=x3-x2+cx+d有極值,則c的取值范圍為 c< .
[解析] ∵f ′(x)=x2-x+c且f(x)有極值,
∴f ′(x)=0有不等的實(shí)數(shù)根,即Δ=1-4c>0.
解得c<.
15.已知函數(shù)f(x)=x3-x2-x+m在[0,1]上的最小值為,則實(shí)數(shù)m的值為__2__.
[解析] f′(x)=x2-2x-1,
令f′(x)<0,得1- 10、min=f(1)=-1-1+m=,解得m=2.
16.設(shè)a∈R,若函數(shù)y=ex+ax,x∈R有大于零的極值點(diǎn),則a的取值范圍是__a<-1__.
[解析] ∵y=ex+ax,∴y′=ex+a.
當(dāng)a≥0時(shí),y不可能有極值點(diǎn),故a<0.
由ex+a=0,得ex=-a,∴x=ln(-a).
∴x=ln(-a)即為函數(shù)的極值點(diǎn).
∴l(xiāng)n(-a)>0,即ln(-a)>ln1.
∴a<-1.
三、解答題(本大題共6個(gè)小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(本題滿分10分)已知f(x)=x2+ax+b,g(x)=x2+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且f 11、 ′(x)=g′(x),f(5)=30.求g(4).
[解析] 由f(2x+1)=4g(x),
得4x2+2(a+2)x+(a+b+1)=4x2+4cx+4d.
于是有
由f ′(x)=g′(x),得2x+a=2x+c,∴a=c,③
由f(5)=30,得25+5a+b=30.④
由①③可得a=c=2,由④得b=-5,
再由②得d=-,∴g(x)=x2+2x-.
故g(4)=16+8-=.
18.(本題滿分12分)若存在過點(diǎn)(1,0)的直線與曲線y=x3和y=ax2+x-9都相切,求實(shí)數(shù)a的值.
[解析] 設(shè)直線與曲線y=x3的切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),
由題意得,
解得 12、x0=0或x0=.
當(dāng)x0=0時(shí),切線的斜率k=0,
∴切線方程為y=0.
由,得ax2+x-9=0.
Δ=()2+36a=0,
解得a=-.
當(dāng)x0=時(shí),k=,
其切線方程為y=(x-1).
由,得ax2-3x-=0.
Δ=(-3)2+9a=0,解得a=-1.
綜上可知a=-1或a=-.
19.(本題滿分12分)(2016安徽合肥高二檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=16x3-20ax2+8a2x-a3,其中a≠0,求f(x)的極值.
[解析] ∵f(x)=16x3-20ax2+8a2x-a3,其中a≠0,
∴f′(x)=48x2-40ax+8a2=8(6x2-5ax+a2) 13、
=8(2x-a)(3x-a),
令f′(x)=0,得x1=,x2=.
(1)當(dāng)a>0時(shí),<,則隨著x的變化,
f′(x)、 f(x)的變化情況如下表:
x
(-∞,)
(,)
(,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
∴當(dāng)a=時(shí),函數(shù)取得極大值f()=;
當(dāng)x=時(shí),函數(shù)取得極小值f()=0.
(2)當(dāng)a<0時(shí),<,則隨著x的變化,
f′(x)、 f(x)的變化情況如下表:
x
(-∞,)
(,)
(,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f( 14、x)
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
∴當(dāng)x=時(shí),函數(shù)取得極大值f()=0;
當(dāng)x=時(shí),函數(shù)取得極小值f()=.
綜上所述,當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)f(x)在x=處取得極大值f()=,在x=處取得極小值f()=0;
當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)f(x)在x=處取得極大值f()=0在x=處取得極小值f()=.
20.(本題滿分12分)(2017全國(guó)Ⅲ文,21)已知函數(shù)f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x.
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)a<0時(shí),證明f(x)≤--2.
[解析] (1)解:f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),
f′(x)=+2ax+2a+1= 15、.
若a≥0,則當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f′(x)>0,
故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
若a<0,則當(dāng)x∈(0,-)時(shí),f′(x)>0.
當(dāng)x∈(-,+∞)時(shí),f′(x)<0.
故f(x)在(0,-)上單調(diào)遞增,在(-,+∞)上單調(diào)遞減.
(2)證明:由(1)知,當(dāng)a<0時(shí),f(x)在x=-處取得最大值,最大值為f(-)=ln(-)-1-.
所以f(x)≤--2等價(jià)于ln(-)-1-≤--2,
即ln(-)++1≤0.
設(shè)g(x)=ln x-x+1,
則g′(x)=-1.
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g′(x)>0;
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g′(x)<0,
所以g(x) 16、在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.
故當(dāng)x=1時(shí),g(x)取得最大值,最大值為g(1)=0.
所以當(dāng)x>0時(shí),g(x)≤0.
從而當(dāng)a<0時(shí),ln(-)++1≤0,
即f(x)≤--2.
21.(本題滿分12分)(2017全國(guó)Ⅰ文,21)已知函數(shù)f(x)=ex(ex-a)-a2x.
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若f(x)≥0,求a的取值范圍.
[解析] (1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞),
f′(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).
①若a=0,則f(x)=e2x在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.
②若a>0,則由f′(x) 17、=0得x=lna.
當(dāng)x∈(-∞,lna)時(shí),f′(x)<0;
當(dāng)x∈(lna,+∞)時(shí),f′(x)>0.
故f(x)在(-∞,lna)上單調(diào)遞減.
在(lna,+∞)上單調(diào)遞增.
③若a<0,則由f′(x)=0得x=ln(-).
當(dāng)x∈(-∞,ln(-))時(shí),f′(x)<0;
當(dāng)x∈(ln(-),+∞)時(shí),f′(x)>0.
故f(x)在(-∞,ln(-))上單調(diào)遞減,
在(ln(-),+∞)上單調(diào)遞增.
(2)解:①若a=0,則f(x)=e2x,所以f(x)≥0.
②若a>0,則由(1)得,當(dāng)x=lna時(shí),f(x)取得最小值,最小值為f(lna)=-a2lna,
從而 18、當(dāng)且僅當(dāng)-a2lna≥0,即a≤1時(shí),f(x)≥0.
③若a<0,則由(1)得,當(dāng)x=ln(-)時(shí),f(x)取得最小值,
最小值為f(ln(-))=a2[-ln(-)],從而當(dāng)且僅當(dāng)a2[-ln(-)]≥0,即a≥-2e時(shí),f(x)≥0.
綜上,a的取值范圍是[-2e,1].
22.(本題滿分12分)某造船公司年最高造船量是20艘,已知造船x艘的產(chǎn)值函數(shù)為R(x)=3700x+45x2-10x3(單位:萬元),成本函數(shù)為C(x)=460x+5000(單位:萬元),又在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf(x)=f(x+1)-f(x).
(1)求利潤(rùn)函數(shù)P(x)及邊際利 19、潤(rùn)函數(shù)MP(x);(提示:利潤(rùn)=產(chǎn)值-成本)
(2)問年造船量安排多少艘時(shí),可使公司造船的年利潤(rùn)最大?
(3)求邊際利潤(rùn)函數(shù)MP(x)的單調(diào)遞減區(qū)間,并說明單調(diào)遞減在本題中的實(shí)際意義是什么?
[解析] (1)P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3240x-5000(x∈N+,且1≤x≤20);
MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3275(x∈N+,且1≤x≤19).
(2)P′(x)=-30x2+90x+3240=-30(x-12)(x+9),
∵x>0,∴P′(x)=0時(shí),x=12,
∴當(dāng)0
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