16、0，＋∞)，且a≠b，求證：a3＋b3＞a2b＋ab2. 證明：法一：要證a3＋b3＞a2b＋ab2成立， 只需證(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立． 又因?yàn)閍＋b＞0， 所以只需證a2－ab＋b2＞ab成立． 即需證a2－2ab＋b2＞0成立， 即需證(a－b)2＞0成立． 而依題設(shè)a≠b，則(a－b)2＞0顯然成立． 由此命題得證． 法二：a≠b?a－b≠0?(a－b)2＞0?a2－2ab＋b2＞0?a2－ab＋b2＞ab. 因?yàn)閍＞0，b＞0， 所以a＋b＞0， (a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)． 所以a3＋b3＞a2b＋ab2.

17、 8．已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C為等差數(shù)列，且a，b，c分別為角A，B，C的對邊，求證：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1. 證明：法一：(分析法) 要證(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1， 即證＋＝， 只需證＋＝3， 化簡，得＋＝1， 即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)， 所以只需證c2＋a2＝b2＋ac. 因?yàn)椤鰽BC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列， 所以B＝60， 所以cos B＝＝， 即a2＋c2－b2＝ac成立． 所以(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1成立． 法二：(綜合法) 因?yàn)?/p>

18、△ABC的三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列， 所以B＝60. 由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2accos 60. 所以c2＋a2＝ac＋b2， 兩邊加ab＋bc，得 c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 兩邊同時除以(a＋b)(b＋c)，得 ＋＝1， 所以＋＝3， 即＋＝， 所以(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1. [能力提升綜合練] 1．下列函數(shù)f(x)中，滿足“對任意x1，x2∈(0，＋∞)，當(dāng)x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)”的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2 C．f(x)＝ex

19、 D．f(x)＝ln(x＋1) 解析：選A　本題就是找哪一個函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，A項(xiàng)中，f′(x)＝′＝－＜0，∴f(x)＝在(0，＋∞)上為減函數(shù)． 2．已知a＞0，b＞0，m＝lg，n＝lg，則m與n的大小關(guān)系為(　　) A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．不能確定 解析：選A　由a＞0，b＞0，得＞0， 所以a＋b＋2＞a＋b， 所以(＋)2＞()2， 所以＞， 所以lg＞lg， 即m＞n，故選A. 3．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，若f(1)＞1，f(2)＝，則a的取值范圍是(　　) A．a(chǎn)＜

20、 B．a(chǎn)＜，且a≠－1 C．a(chǎn)＞或a＜－1 D．－1＜a＜ 解析：選D　∵f(x)以3為周期， ∴f(2)＝f(－1)． 又f(x)是R上的奇函數(shù)， ∴f(－1)＝－f(1)， 則f(2)＝f(－1)＝－f(1)． 再由f(1)＞1，可得f(2)＜－1， 即＜－1，解得－1＜a＜. 4．已知a，b，c，d為正實(shí)數(shù)，且＜，則(　　) A.＜＜ B.＜＜ C.＜＜ D．以上均可能 解析：選A　先取特殊值檢驗(yàn)，∵＜， 可取a＝1，b＝3，c＝1，d＝2， 則＝，滿足＜＜. 要證＜， ∵a，b，c，d為正實(shí)數(shù)， ∴只需證a(b＋d)＜b(a＋

21、c)，即證ad＜bc. 只需證＜.而＜成立， ∴＜.同理可證＜. 故A正確． 5．若lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，則log＝________. 解析：由條件知lg xy＝lg(x－2y)2， 所以xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0， 即2－5＋4＝0，所以＝4或＝1. 又x＞2y，故＝4，所以log＝log4＝4. 答案：4 6．已知sin θ＋cos θ＝且≤θ≤，則cos 2θ＝________. 解析：因?yàn)閟in θ＋cos θ＝，所以1＋sin 2θ＝，所以sin 2θ＝－.因?yàn)椤堞取?，所以π?θ≤.所以cos 2θ＝－＝－. 答案：－

22、 7．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*. (1)求a2的值； (2)證明數(shù)列是等差數(shù)列； (3)若Tn是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：Tn＜. 解：(1)當(dāng)n＝1時，＝2a1＝a2－－1－＝2， 解得a2＝4. (2)證明：2Sn＝nan＋1－n3－n2－n.① 當(dāng)n≥2時，2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)．② ①－②，得2an＝nan＋1－(n－1)an－n2－n. 整理得nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)， 即＝＋1，－＝1， 當(dāng)n＝1時，－＝2－1＝1. 所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差

23、的等差數(shù)列． (3)由(2)可知＝n，即an＝n2. ∵＝＜＝－(n≥2)， ∴Tn＝＋＋…＋＝＋＋＋…＋＜1＋＋＋＋…＋＝1＋＋－＝－＜. 8．設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函數(shù)f(x＋1)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，求證：f為偶函數(shù)． 證明：要證f為偶函數(shù)，只需證明其對稱軸為直線x＝0，即只需證－－＝0， 只需證a＝－b(中間結(jié)果)， 由已知，拋物線f(x＋1)的對稱軸x＝－－1與拋物線f(x)的對稱軸x＝－關(guān)于y軸對稱． 所以－－1＝－. 于是得a＝－b(中間結(jié)果)． 所以f為偶函數(shù)． 第2課時　反　證　法 [核心必知] 1．預(yù)習(xí)

24、教材，問題導(dǎo)入 根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P42～P43的內(nèi)容，回答下列問題． 著名的“道旁苦李”的故事：王戎小時候愛和小朋友在路上玩耍．一天，他們發(fā)現(xiàn)路邊的一棵樹上結(jié)滿了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，獨(dú)有王戎沒動．等到小朋友摘了李子一嘗，原來是苦的．他們都問王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎說：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這棵樹上卻結(jié)滿了李子，所以李子一定是苦的．” 王戎的論述運(yùn)用了什么推理思想？ 提示：反證法思想． 2．歸納總結(jié)，核心必記 (1)反證法 假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原

25、命題成立，這樣的證明方法叫做反證法． (2)反證法常見矛盾類型 反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾等． [問題思考] (1)反證法解題的實(shí)質(zhì)是什么？ 提示：反證法解題的實(shí)質(zhì)就是否定結(jié)論，導(dǎo)出矛盾，從而證明原命題結(jié)論正確． (2)用反證法證明命題時，“a、b、c都是偶數(shù)”的否定是什么？ 提示：a、b、c不都是偶數(shù)． [課前反思] 通過以上預(yù)習(xí)，必須掌握的幾個知識點(diǎn)． (1)反證法的定義是什么？ ??； (2)反證法常見的矛盾類型有哪些？ 　. 講一講 1．已知f(x)＝ax＋(a>1)

26、，證明方程f(x)＝0沒有負(fù)實(shí)根． [嘗試解答]　假設(shè)方程f(x)＝0有負(fù)實(shí)根x0， 則x0<0且x0≠－1且ax0＝－， 由0

27、明：假設(shè)f(x)＝0有整數(shù)根n， 則an2＋bn＋c＝0(n∈Z)， 而f(0)，f(1)均為奇數(shù)， 即c為奇數(shù)，a＋b為偶數(shù)， 則an2＋bn＝－c為奇數(shù)， 即n(an＋b)為奇數(shù)． ∴n，an＋b均為奇數(shù)， 又∵a＋b為偶數(shù)， ∴an－a為奇數(shù)， 即a(n－1)為奇數(shù)， ∴n－1為奇數(shù)，這與n為奇數(shù)矛盾． ∴f(x)＝0無整數(shù)根． 講一講 2．已知a，b，c∈(0,1)，求證：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于. [嘗試解答]　假設(shè)(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于. 因?yàn)閍，b，c∈(0,1)， 所以1－a＞0,1－b

28、＞0,1－c＞0. 所以＞＞＝. 同理＞，＞. 三式相加得 ＋＋＞， 即＞，矛盾． 所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c) a不能都大于. 證明時常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞” 練一練 2．已知函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上是增函數(shù)．求證：函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上至多有一個零點(diǎn)． 證明：假設(shè)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上至少有兩個零點(diǎn)，設(shè)x1，x2(x1≠x2)為函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上的兩個零點(diǎn)，且x1＜x2，則f(x1)＝f(x2)＝0. 因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上為增函數(shù)， x1，x2∈(a，b)且x1＜x2，

29、 ∴f(x1)＜f(x2)，與f(x1)＝f(x2)＝0矛盾，假設(shè)不成立，故原命題正確. 　 講一講 3．已知：一點(diǎn)A和平面α.求證：經(jīng)過點(diǎn)A只能有一條直線和平面α垂直． [嘗試解答]　根據(jù)點(diǎn)A和平面α的位置關(guān)系，分兩種情況證明． (1)如圖，點(diǎn)A在平面α內(nèi)，假設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A至少有平面α的兩條垂線AB，AC，那么AB，AC是兩條相交直線，它們確定一個平面β，平面β和平面α相交于經(jīng)過點(diǎn)A的一條直線a.因?yàn)锳B⊥平面α，AC⊥平面α，a?α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β內(nèi)經(jīng)過點(diǎn)A有兩條直線都和直線a垂直，這與平面幾何中經(jīng)過直線上一點(diǎn)只能有已知直線的一條垂線相矛盾． (2

30、)如圖，點(diǎn)A在平面α外，假設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A至少有平面α的兩條垂線AB，AC(B，C為垂足)，那么AB，AC是兩條相交直線，它們確定一個平面β，平面β和平面α相交于直線BC，因?yàn)锳B⊥平面α，AC⊥平面α，BC?α，所以AB⊥BC，AC⊥BC.在平面β內(nèi)經(jīng)過點(diǎn)A有兩條直線都和BC垂直，這與平面幾 何中經(jīng)過直線外一點(diǎn)只能有已知直線的一條垂線相矛盾． 綜上，經(jīng)過一點(diǎn)A只能有平面α的一條垂線． 證明“唯一性”問題的方法 “唯一性”包含“有一個”和“除了這個沒有另外一個”兩層意思．證明后一層意思時，采用直接證明往往會相當(dāng)困難，因此一般情況下都采用間接證明，即用反證法(假設(shè)“有另外一個”，推

31、出矛盾)或同一法(假設(shè)“有另外一個”，推出它就是“已知那一個”)證明，而用反證法有時比用同一法更方便． 提醒：證明“有且只有”的問題，需要證明兩個命題，即存在性和唯一性． 練一練 3．用反證法證明：過已知直線a外一點(diǎn)A有且只有一條直線b與已知直線a平行． 證明：由兩條直線平行的定義可知，過點(diǎn)A至少有一條直線與直線a平行．假設(shè)過點(diǎn)A還有一條直線b′與已知直線a平行，即b∩b′＝A，b′∥a. 因?yàn)閎∥a，由平行公理知b′∥b.這與假設(shè)b∩b′＝A矛盾，所以假設(shè)錯誤，原命題成立． —————————————[課堂歸納——感悟提升]————————————— 1．本節(jié)課的

32、重點(diǎn)是反證法及其應(yīng)用，難點(diǎn)是用反證法證明相關(guān)問題． 2．本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法 (1)用反證法證明“否定性”命題，見講1； (2)用反證法證明“至多”、“至少”型命題，見講2； (3)用反證法證明“唯一性”命題，見講3. 3．要正確掌握常見“結(jié)論詞”的“反設(shè)詞”，這是本節(jié)課的易錯點(diǎn)． 課下能力提升(六) [學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 題組1　用反證法證明“否定性”命題 1．應(yīng)用反證法推出矛盾的推理過程中，可作為條件使用的是(　　) ①結(jié)論的否定；②已知條件；③公理、定理、定義等；④原結(jié)論． A．①② B．②③

33、C．①②③ D．①②④ 解析：選C　根據(jù)反證法的基本思想，應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中可把“結(jié)論的否定”、“已知條件”、“公理、定理、定義”等作為條件使用． 2．用反證法證明“一個三角形不能有兩個直角”有三個步驟： ①∠A＋∠B＋∠C＝90＋90＋∠C>180，這與三角形內(nèi)角和為180矛盾，故假設(shè)錯誤． ②所以一個三角形不能有兩個直角． ③假設(shè)△ABC中有兩個直角，不妨設(shè)∠A＝90，∠B＝90. 上述步驟的正確順序?yàn)開_______． 答案：③①② 3．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn；

34、(2)設(shè)bn＝(n∈N*)，求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列． 解：(1)設(shè)公差為d，由已知得 解得d＝2，故an＝2n－1＋， Sn＝n(n＋)． (2)證明：由(1)得bn＝＝n＋. 假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項(xiàng)bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比數(shù)列，則b＝bpbr， 即(q＋)2＝(p＋)(r＋)， 所以(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0. 又p，q，r∈N*， 所以 所以2＝pr. (p－r)2＝0， 所以p＝r，這與p≠r矛盾． 所以數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列． 題組2　用反證法證明“至多”、“至少”型命

35、題 4．用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60”時，假設(shè)正確的是(　　) A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60 B．假設(shè)三內(nèi)角都大于60 C．假設(shè)三內(nèi)角至少有一個大于60 D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于60 解析：選B　“至少有一個”即“全部中最少有一個”． 5．設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足a＋b＋c＝1，則a、b、c中至少有一個數(shù)不小于________． 解析：假設(shè)a、b、c都小于， 則a＋b＋c＜1與a＋b＋c＝1矛盾． 故a、b、c中至少有一個不小于. 答案： 6．若x>0，y>0，且x＋y>2，求證：與中至少有一個小于2. 解：假設(shè)與都不小于2， 即≥2，≥2.

36、 又∵x>0，y>0， ∴1＋x≥2y,1＋y≥2x. 兩式相加得2＋x＋y≥2(x＋y)， 即x＋y≤2. 這與已知x＋y>2矛盾． 所以假設(shè)不成立， 所以與中至少有一個小于2. 題組3　用反證法證明“唯一性”命題 7．用反證法證明命題“關(guān)于x的方程ax＝b(a≠0)有且只有一個解”時，反設(shè)是關(guān)于x的方程ax＝b(a≠0)(　　) A．無解 B．有兩解 C．至少有兩解 D．無解或至少有兩解 解析：選D　“唯一”的否定上“至少兩解或無解”． 8．“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”的否定正確的為(　　) A．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù) B．a(chǎn)，b，c都是偶數(shù)

37、 C．a(chǎn)，b，c中至少有兩個偶數(shù) D．a(chǎn)，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù) 解析：選D　自然數(shù)a，b，c的奇偶性共有四種情形：(1)3個都是奇數(shù)；(2)2個奇數(shù)，1個偶數(shù)；(3)1個奇數(shù)，2個偶數(shù)；(4)3個都是偶數(shù)．所以否定正確的是a，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)． 9．求證：兩條相交直線有且只有一個交點(diǎn)． 證明：因?yàn)閮芍本€為相交直線，故至少有一個交點(diǎn)，假設(shè)兩條直線a，b不只有一個交點(diǎn)，則至少有兩個交點(diǎn)A和B，這樣同時經(jīng)過點(diǎn)A，B的直線就有兩條，這與“經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線”相矛盾． 綜上所述，兩條相交直線有且只有一個交點(diǎn)． [能力提升綜合練] 1．用反證法證明

38、命題“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1個能被5整除”，則假設(shè)的內(nèi)容是(　　) A．a(chǎn)，b都能被5整除 B．a(chǎn)，b都不能被5整除 C．a(chǎn)不能被5整除 D．a(chǎn)，b有1個不能被5整除 解析：選B　用反證法只否定結(jié)論即可，而“至少有一個”的反面是“一個也沒有”，故B正確． 2．有以下結(jié)論： ①已知p3＋q3＝2，求證p＋q≤2，用反證法證明時，可假設(shè)p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求證方程x2＋ax＋b＝0的兩根的絕對值都小于1，用反證法證明時可假設(shè)方程有一根x1的絕對值大于或等于1，即假設(shè)|x1|≥1.下列說法中正確的是(　　) A．①與

39、②的假設(shè)都錯誤 B．①與②的假設(shè)都正確 C．①的假設(shè)正確；②的假設(shè)錯誤 D．①的假設(shè)錯誤；②的假設(shè)正確 解析：選D　用反證法證題時一定要將對立面找準(zhǔn)．在①中應(yīng)假設(shè)p＋q>2. 故①的假設(shè)是錯誤的，而②的假設(shè)是正確的． 3．設(shè)a、b、c都是正數(shù)，則三個數(shù)a＋，b＋，c＋(　　) A．都大于2 B．至少有一個大于2 C．至少有一個不大于2 D．至少有一個不小于2 解析：選D　因?yàn)閍、b、c都是正數(shù)，則有＋＋＝＋＋≥6.故三個數(shù)中至少有一個不小于2. 4．已知數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式分別為an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常數(shù))，且a＞b，那

40、么兩個數(shù)列中序號與數(shù)值均相同的項(xiàng)的個數(shù)有(　　) A．0個 B．1個 C．2個 D．無窮多個 解析：選A　假設(shè)存在序號和數(shù)值均相等的項(xiàng)， 即存在n使得an＝bn， 由題意a＞b，n∈N*， 則恒有an＞bn，從而an＋2＞bn＋1恒成立， ∴不存在n使得an＝bn. 5．已知平面α∩平面β＝直線a，直線b?α，直線c?β，b∩a＝A，c∥a，求證：b與c是異面直線，若利用反證法證明，則應(yīng)假設(shè)________． 解析：∵空間中兩直線的位置關(guān)系有3種：異面、平行、相交，∴應(yīng)假設(shè)b與c平行或相交． 答案：b與c平行或相交 6．完成反證法證題的全過程． 題目：設(shè)a1，a2，

41、…，a7是1,2，…，7的一個排列，求證：乘積p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)為偶數(shù)． 證明：假設(shè)p為奇數(shù)，則________均為奇數(shù)．① 因奇數(shù)個奇數(shù)之和為奇數(shù)，故有 奇數(shù)＝________② ＝________③ ＝0. 這與0為偶數(shù)矛盾，說明p為偶數(shù)． 解析：證明過程應(yīng)為：假設(shè)p為奇數(shù)，則有a1－1，a2－2，…，a7－7均為奇數(shù)，因?yàn)槠鏀?shù)個奇數(shù)之和為奇數(shù)，故有奇數(shù)＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0. 這與0為偶數(shù)矛盾，說明p為偶數(shù)． 答案：a1－1，a2－2，…，a7－7 (a1－1)＋(a2－

42、2)＋…＋(a7－7) (a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7) 7．設(shè)a，b是異面直線，在a上任取兩點(diǎn)A1，A2，在b上任取兩點(diǎn)B1，B2，試證：A1B1與A2B2也是異面直線． 證明：假設(shè)A1B1與A2B2不是異面直線，則A1B1與A2B2可以確定一個平面α，點(diǎn)A1，A2，B1，B2都在平面α內(nèi)，于是A1A2?α，B1B2?α，即a?α，b?α，這與已知a，b是異面直線矛盾，所以假設(shè)錯誤．所以A1B1與A2B2也是異面直線． 8．用反證法證明：對于直線l：y＝x＋k，不存在這樣的非零實(shí)數(shù)k，使得l與雙曲線C：3x2－y2＝1的交點(diǎn)A、B關(guān)于直線y＝－x對稱． 證明：假設(shè)存在非零實(shí)數(shù)k，使得A、B關(guān)于直線y＝－x對稱，設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)， 則線段AB的中點(diǎn)M在直線y＝－x上， 由得2x2－2kx－1－k2＝0. ∴x1＋x2＝k，可得M. 這與M在直線y＝－x上矛盾． 所以假設(shè)不成立，故不存在非零實(shí)數(shù)k，使得A、B關(guān)于直線y＝－x對稱．