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1、夢幻網絡 ( ) 數百萬免費課件下載，試題下載，教案下載，論文范文，計劃總結 新課標高二數學同步測試（ 4）— （2－1 第三章 3.1） 說明：本試卷分第一卷和第二卷兩部分，第一卷 74 分，第二卷 76 分，共 150 分；答題 時間 120 分鐘． 一、選擇題： 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把正確答案的代 號填在題后的括號內（每小題 5 分，共 50 分）． 1．在平行六面體 ABCD — A B C D 中， M 為 AC 與 BD 的交點，若 1 1 1 1 A1 B = a ， A

2、1 D1 = b ， A1 A = c .則下列向量中與 B1M 相等的向 量是（ ） A ． 1 a 1 b c B． 2 2 C． 1 a 1 b c D． 2 2  1 a 1 b c 2 2 1 a 1 b 圖 c 2 2 2．在下列條件中，使 M 與 A 、B、 C 一定共面的是 （ ） A ． OM 2OA OB OC B． OM 1 OA 1 OB 1 OC

3、 5 3 2 C． MA MB MC 0 D． OM OA OB OC 0 3 ． 已知平行六面體 ABCD A' B'C ' D ' 中， AB=4 ， AD=3 ， AA' 5 ， BAD 90 0 ， BAA' DAA ' 600 ，則 AC ' 等于 （ ） A ． 85 B ． 85 C． 5 2 D． 50 r (1, 3,2)

4、 4．與向量 a 平行的一個向量的坐標是 （ ） A ．（ 1 ， 1，1） B．（－ 1，－ 3， 2） 3 1 ， 3 ，－ 1） C．（－ D．（ 2 ，－ 3，－ 2 2 ） 2 2 uuur uuur 5．已知 A（－ 1，－ 2，6），B（1，2，－ 6）O 為坐標原點， 則向量 OA, 與OB 的夾角是 （ ）

5、 A ． 0 B ． C． D． 3 2 2 6．已知空間四邊形 ABCD 中， OA a，OB b，OC c ，點 M 在 OA 上，且 OM=2MA ，N 夢幻網絡 ( ) ——最大的免費教育資源網站 夢幻網絡 ( ) 數百萬免費課件下載，試題下載，教案下載，論文范文，計劃總結 為 BC 中點，則 MN = （ ） A ． 1 a 2 b 1

6、 c B． 2 a 1 b 1 c 2 3 2 3 2 2 C． 1 a 1 b 1 c D． 2 a 2 b 1 c 2 2 2 3 3 2 7．設 A 、B 、C、D 是空間不共面的四點， 且滿足 AB ? AC 0，AC ? AD 0，AB ? AD 0 ， 則 BCD 是 （ ） A ．鈍角三角形 B ．銳角三角形 C．直角

7、三角形 D．不確定 8．空間四邊形 OABC 中， OB=OC ， AOB= AOC=60 0 ， = （ ） ，則 cos OA BC A ． 1 B ． 2 C． 1 D． 0 2 2 2 9．已知 A （ 1， 1，1）、 B（ 2， 2， 2）、 C（3， 2， 4），則 ABC 的面積為 （ ） A ． 3 B ． 2 3 C

8、． 6 6 D． 2 10． 已知 a (1 t ,1 t,t ), b (2,t ,t ) ，則 | a b | 的最小值為 （ ） A ． 5 B ． 55 C． 3 5 D． 11 5 5 5 5 二、填空題：請把答案填在題中橫線上 （每小題 6 分，共 24 分）．

9、11．若 a ( 2,3, 1) ， b ( 2,1,3) ，則 a, b 為鄰邊的平行四邊形的面積為 ． 12．已知空間四邊形 OABC ，其對角線為 OB、AC ，M 、N 分別是對邊 OA 、BC 的中點，點 G 在線段 MN 上，且 MG 2GN ，現用基組 OA,OB, OC 表示向量 OG ，有 OG =x OA yOB zOC ，則 x、 y、 z 的值分別為 ． 13．已知點 A(1 ， 2， 11)、 B(4 ，2，3) ，C(6， 1，4)，則 ABC 的形狀是

10、 ． 14．已知向量 a (2, 3,0) ， b (k ,0,3) ，若 a, b 成 1200 的角，則 k= ． 三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟(共 76分)． z D' N C' O' A&#

11、39; B' 夢幻網絡 ( ) ——最大的免費教育資源網站 M D C y A B x 夢幻網絡 ( ) 數百萬免費課件下載，試題下載，教案下載，論文范文，計劃總結 15．（ 12 分）如圖，已知正

12、方體 ABCD A'B 'C ' D ' 的棱長為 a，M 為 BD '的中點，點 N 在 AC ' '上，且 | A' N | 3| NC ' |，試求 MN 的長． 16．（ 12 分）如圖在空間直角坐標系中 BC=2，原點 O 是 BC 的中點，點 A 的坐標是（ 3 , 1 ， 0），點 D 在平面 yOz 上，且∠ BDC =90°，∠ DCB=30 ° . 2 2 （ 1）求向量 OD 的坐標； （

13、 2）設向量 AD 和 BC 的夾角為 θ，求 cosθ的值 圖 17．（ 12 分）若四面體對應棱的中點間的距離都相等，證明這個四面體的對棱兩兩垂直． 18．（ 12 分）四棱錐 P— ABCD 中，底面 ABCD 是一個平行四邊形， AB ={2 ，－ 1，－ 4} ， AD ={4 ， 2， 0} ， AP ={ － 1， 2，－ 1}. （ 1）求證： PA⊥底面 ABCD ； （ 2）求四棱錐 P— ABCD 的體積； （ 3）對于向量 a ={ x1， 1， 1 ， b

14、 ={ x 2， 2， 2 ， c ={ x 3， 3， 3 ，定義一種運算： y z } y z } y z } （ a × b ）· c =x1y2z3+x2 y3z1+x3y1z2 －x1 y3z2－ x2y1z3－ x3y2z1 ，試計算（ AB × AD ）· AP 的絕 對值的值；說明其與四棱錐 P— ABCD 體積的關系，并由此猜想向量這一運算（ AB × AD ）· AP 的絕對值的幾何意義 .．

15、 19．（ 14 分）如圖所示， 直三棱柱 ABC— A1B1C1 中， CA=CB=1，∠BCA =90°， 棱 AA1=2，M、 N 分別是 A1 B1、 A1A 的中點 . （ 1）求 BN 的長； 夢幻網絡 ( ) ——最大的免費教育資源網站 夢幻網絡 ( ) 數百萬免費課件下載，試題下載，教案下載，論文范文，計劃總結 （ 2）求 cos< BA1 ,CB1 >的值； （ 3）求證： A1B⊥ C1M.

16、 20（． 14 分）如圖，已知平行六面體 ABCD — A1B1C1 D1 的底面 ABCD 是菱形且∠ C1CB=∠ C1CD= ∠ BCD=60 ° . （ 1）證明： C1C⊥ BD ； 3 （ 2）假定 CD =2，CC 1= ，記面 C1 BD 為α，面 CBD 為 β，求二面角 α— BD — β的平面角 2 的余弦值； （ 3）當 CD 的值為多少時，能使 A1C⊥平面 C1BD ？請給出證明 . CC1

17、 參考答案 夢幻網絡 ( ) ——最大的免費教育資源網站 夢幻網絡 ( ) 數百萬免費課件下載，試題下載，教案下載，論文范文，計劃總結 一、 1 ． A ；解析： B1 M B1 B BMA1 A 1 (BA BC) = c + 1 2 2  （－ a b ） = － 1 1 a + b + c ．評述：用向量的方法處理立體幾何問題，使復雜的線面空間關系代數化，本 2 2 題考查的是基本的向量相等，與向量的加法 .考查學生的空間想象能力 . 2．A ；解析：空間的四

18、點 P、A 、B 、C 共面只需滿足 OP xOA yOB zOC, 且 x y z 1 既可．只有選項 A ． 3．B ；解析：只需將 AC AB AD AA ，運用向量的內即運算即可， | AC | AC 2 ． 4． C；解析：向量的共線和平行使一樣的，可利用空間向量共線定理寫成數乘的形式．即 b 0, a // b a b ． 5． C；解析： cos a b ，計算結果為－ 1．

19、 | a | | b | 6． B；解析：顯然 MN ON OM 1 (OB OC ) 2 OA ． 2 3 7． B；解析：過點 A 的棱兩兩垂直，通過設棱長應用余弦定理可得三角形為銳角三角形． 8．D ；解析：建立一組基向量 OA,OB,OC ，再來處理 OA BC 的值． 9． D ；解析：應用向量的運算，顯然 cos AB, AC AB AC sin AB , AC

20、 ， | AB || AC | 從而得 S 1 | AB || AC | sin AB, AC ． 2 10．C； 二、 11． 6 5 ；解析： cos a, b a b 2 3 5 ，得 sin a, b ，可得結果． | a || b

21、 | 7 7 12． 1 OA 1 OB 1 OC ； 6 3 3 解析： 夢幻網絡 ( ) ——最大的免費教育資源網站 夢幻網絡 ( ) 數百萬免費課件下載，試題下載，教案下載，論文范文，計劃總結 OG OM MG 1 OA 2 MN 1 OA 2 (ON OM ) 2 3 2 3 1 2 1 1 OA [ (

22、OB OC ) OA] 2 3 2 2 1 OA 1 OB 1 OC 6 3 3 13．直角三角形；解析：利用兩點間距離公式得： | AB |2 | BC |2 | AC |2 ． 14． 39 ；解析： cos a, b a b 2k 1 ，得 k 39 ． | a | | b | 13 9 k 2 2 三、 15．解：以 D 為原

23、點，建立如圖空間直角坐標系．因為正方體棱長為 a，所以 B（ a，a， 0）， A' （ a， 0， a）， C '（ 0， a， a）， D ' （0， 0， a）． 由于 M 為 BD '的中點，取 A'C ' 中點 O'，所以 M（ a ， a ， a ）， O'（ a ， a ， a）．因為 2 2 2 2 2 | A' N | 3| NC ' |，所以 N 為 A'C ' 的四等分， 從而 N 為 O 'C ' 的 中點，故 N

24、（ a ， 3 a ， a）． 4 4 根據空間兩點距離公式，可得 | MN | ( a a) 2 ( a 3a )2 (a a)2 6 a ． 2 4 2 4 2 4 16．解：（ 1）過 D 作 DE ⊥ BC，垂足為 E，在 Rt△ BDC 中 ,由∠ BDC =90 °,∠ DCB =30°，BC=2， 得 BD =1， CD = 3 3 ，∴ DE=CD· sin30°=. 2 1 1 OE=OB－ BE=OB－BD ·

25、;cos60° =1－ . 2 2 ∴ D 點坐標為（ 0，－ 1 , 3 ），即向量 OD [TX → ]的坐標為 {0 ，－ 1 , 3 }. 2 2 2 2 （ 2）依題意： OA { 3 , 1 ,0}, OB { 0, 1,0}, OC {0,1,0} ， 2 2 夢幻網絡 ( ) ——最大的免費教育資源網站 夢幻網絡 ( ) 數百萬免費課件下載，試題下載，教案下載，論文范文，計劃總結 所以 AD OD OA { 3 , 1,

26、 3}, BC OC OB {0,2,0} . 2 2 設向量 AD 和 BC 的夾角為 θ，則 AD BC 3 0 ( 1) 2 3 0 1 2 2 cosθ= 10 . | AD | | BC | 3 )2 ( 1) 2 ( 3 ) 2 02 22 5 ( 02 2

27、 2 17． 證：如圖設 SA r1 , SB r2 , SC r3 ，則 SE, SF, SG, SH, SM , SN 分別為 1 r1 ， 2 1 1 r2 ) ， 1 1 1 (r2 r3 ) ， (r1 r3 ， (r1 r3 ) ， r2 ， 2 2 2 2 2 由條件 EH=GH=MN 得： ( r 2r3 r

28、1 ) 2 ( r1r 2 r3 ) 2 ( r1r3 r2 ) 2 2 2 2 展開得 r1 r2 r2 r3 r1 r3 ∴ ( r3 r2 ) 0 r1 0 r3 r2 0 r1 ，∵ ≠ ， ≠ ， ∴ r1 ⊥（ r3 r2 ）即 SA⊥ BC ． 同理可證 SB⊥ AC ， SC⊥AB ． 18． （ 1）證明：∵ AP AB =－ 2－ 2+4=0，∴ AP⊥AB . 又∵ AP

29、 AD =－ 4+4+0=0 ，∴ AP ⊥AD . ∵ AB、 AD 是底面 ABCD 上的兩條相交直線，∴ AP⊥底面 ABCD . （ 2）解：設 AB 與 AD 的夾角為 θ，則 夢幻網絡 ( ) ——最大的免費教育資源網站 夢幻網絡 ( ) 數百萬免費課件下載，試題下載，教案下載，論文范文，計劃總結 AB AD 8 2 3 cosθ= 4 1 16 16 4 105 | AB | | AD | V= 1 | AB |· | AD |·

30、;sin θ· | AP |= 2 105 1 9 1 4 1 16 3 3 105 （ 3）解： |（ AB × AD ）· AP |=|－ 4－ 32－ 4－ 8|=48 它是四棱錐 P— ABCD 體積的 3 倍 . 猜測： |（ AB × AD ）· AP |在幾何上可表示以 AB、AD、AP 為棱的平行六面體的體積 （或以 AB、 AD 、 AP 為棱的直四棱柱的體積） . 評述：本題考查了空間向量的坐標表示、空間向量的數量積、空間向量垂直的充要條件

31、、 空間向量的夾角公式和直線與平面垂直的判定定理、 棱錐的體積公式等 .主要考查考生的運 算能力，綜合運用所學知識解決問題的能力及空間想象能力 . 19．如圖，建立空間直角坐標系 O— xyz. （ 1）依題意得 B（ 0，1， 0）、N（ 1，0， 1） ∴ | BN |= (1 0) 2 (0 1) 2 (1 0)2 3 . （ 2）依題意得 A1（ 1， 0， 2）、 B（ 0， 1， 0）、 C（ 0， 0，0）、 B1（ 0， 1， 2） 圖 ∴ BA1 ={ － 1，－ 1，2} ， CB1 ={0 ，1，2，} ， BA1 

32、3; CB1 =3 ， | BA1 |= 6 ，| CB1 |= 5 ∴ cos< BA1 ， CB1 >= BA1 CB1 1 30 . | BA1 | | CB1 | 10 （ 3）證明：依題意，得 C1（ ， ， ）、 （ 1 1 ，2）， A B ={ － ， ， ， 1 1 ， 0 0 2 M

33、 2 , 1 1 1 2} C1M ={ , 2 2 2 0}. ∴ A1 B · C1 M =－ 1 1 A1 B ⊥ C1 M ，∴ A1 B⊥ C1M . 2 +0=0，∴ 2 評述：本題主要考查空間向量的概念及運算的基本知識 .考查空間兩向量垂直的充要條件. 20．（ 1）證明：設 CB = a ， CD = b ， CC1 = c

34、 ，則 | a |=| b |，∵ BD CD CB = b － a ， ∴ BD · CC1 =（ b － a ）· c = b · c － a · c =| b |· | c |cos60°－ | a |· | c |cos60° =0， ∴ C1C⊥ BD. 夢幻網絡 ( ) ——最大的免費教育資源網站 夢幻網絡 ( ) 數百萬免費課件下載，試題下載，教案下載，論文范文，計劃總結 （ 2）解：連 AC、BD，設 AC∩ BD=O，連 OC1，則∠ C1 OC

35、 為二面角 α— BD— β的平面角 . ∵ CO 1 (BC CD) 1 （ a + b ）， C1O CO CC1 1 （ a + b ）－ c 2 2 2 ∴ CO · C1O 1 1 （ a + b ）－ c ］ （ a + b ）·［ 2 2 = 1 a 2+2 a · b + b 2）－ 1 1 4 （ a

36、 · c － b · c 2 2 = 1 （ 4+2· 2· 2cos60° +4）－ 1 · 2· 3 cos60°－ 1 · 2· 3 cos60° = 3 . 4 2 2 2 2 2 則 |CO |= 3 ， |C1O |= 3 ，∴ cosC1OC= 2 （ 3）解：設 CD =x， CD =2， 則 CC1=

37、 CC1 ∵ BD⊥平面 AA1C1C，∴ BD ⊥ A1C  CO C1O | CO | | C1O | 2 . x  3 3 ∴只須求滿足： A1C C1 D =0 即可 . 設 A1 A = a ， AD = b ， DC = c ， ∵ A1C = a + b + c ， C1D = a － c ， ∴ A1C C1D =（ a + b + c ）（ a － c ） = a 2+ a · b － b · c － c 2= 4 2 － 6， x2 x 令 6－ 2 4 =0，得 x=1 或 x=－ 2 （舍去） . x x2 3 評述：本題蘊涵著轉化思想，即用向量這個工具來研究空間垂直關系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等問題 . 夢幻網絡 ( ) ——最大的免費教育資源網站