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1、 精品資料 §7.2　空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系 1． 平面的基本性質(zhì) 公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)． 公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面． 公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線． 2． 直線與直線的位置關(guān)系 (1)位置關(guān)系的分類 (2)異面直線所成的角 ①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a，b所成的角(或夾角)． ②范

2、圍：. 3． 直線與平面的位置關(guān)系有平行、相交、在平面內(nèi)三種情況． 4． 平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況． 5． 公理4 平行于同一條直線的兩條直線互相平行． 6． 定理 空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補． 1． 判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)如果兩個不重合的平面α，β有一條公共直線a，就說平面α，β相交，并記作α∩β＝a. (　√　) (2)兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于過A點的任意一條直線．(　×　) (3)兩個平面α，β有一個公共點A

3、，就說α，β相交于A點，并記作α∩β＝A. (　×　) (4)兩個平面ABC與DBC相交于線段BC. (　×　) (5)經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面． (　√　) 2． 已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b (　　) A．一定是異面直線 B．一定是相交直線 C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線 答案　C 解析　由已知得直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若b∥c，則a∥b，與已知a、b為異面直線相矛盾． 3． 下列命題正確的個數(shù)為 (　　)

4、 ①經(jīng)過三點確定一個平面 ②梯形可以確定一個平面 ③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面 ④如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合 A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　經(jīng)過不共線的三點可以確定一個平面，∴①不正確； 兩條平行線可以確定一個平面，∴②正確； 兩兩相交的三條直線可以確定一個或三個平面，∴③正確； 命題④中沒有說清三個點是否共線，∴④不正確． 4． 如圖，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l＝M，過A，B， C三點的平面記作γ，則γ與β的交線必通過 (　　) A．點A B．點B C．點C但不

5、過點M D．點C和點M 答案　D 解析　∵AB?γ，M∈AB，∴M∈γ. 又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β. 根據(jù)公理3可知，M在γ與β的交線上． 同理可知，點C也在γ與β的交線上． 5． 已知空間四邊形ABCD中，M、N分別為AB、CD的中點，則下列判斷：①MN≥(AC＋BD)；②MN>(AC＋BD)；③MN＝(AC＋BD)；④MN<(AC＋BD)． 其中正確的是________． 答案?、? 解析　如圖，取BC的中點O， 連接MO、NO， 則OM＝AC，ON＝BD， 在△MON中，MN<OM＋ON＝(AC＋BD)， ∴④正確. 題型一　平面基

6、本性質(zhì)的應(yīng)用 例1　如圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1 的中點．求證： (1)E、C、D1、F四點共面； (2)CE、D1F、DA三線共點． 思維啟迪　(1)兩條相交直線或兩條平行直線確定一個平面； (2)可以先證CE與D1F交于一點，然后再證該點在直線DA上． 證明　(1)連接EF，CD1，A1B. ∵E、F分別是AB、AA1的中點， ∴EF∥BA1. 又A1B∥D1C，∴EF∥CD1， ∴E、C、D1、F四點共面． (2)∵EF∥CD1，EF<CD1， ∴CE與D1F必相交，設(shè)交點為P， 則由P∈CE，CE?平面ABCD

7、，得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA， ∴P∈直線DA.∴CE、D1F、DA三線共點． 思維升華　公理1是判斷一條直線是否在某個平面的依據(jù)；公理2及其推論是判斷或證明點、線共面的依據(jù)；公理3是證明三線共點或三點共線的依據(jù)． 　(1)以下四個命題中 ①不共面的四點中，其中任意三點不共線； ②若點A、B、C、D共面，點A、B、C、E共面，則點A、B、C、D、E共面； ③若直線a、b共面，直線a、c共面，則直線b、c共面； ④依次首尾相接的四條線段必共面． 正確命題的個數(shù)是 (　　) A．0

8、B．1 C．2 D．3 (2)a、b是異面直線，在直線a上有5個點，在直線b上有4個點，則這9個點可確定________個平面． 答案　(1)B　(2)9 解析　(1)①假設(shè)其中有三點共線，則該直線和直線外的另一點確定一個平面．這與四點不共面矛盾，故其中任意三點不共線，所以①正確．②從條件看出兩平面有三個公共點A、B、C，但是若A、B、C共線，則結(jié)論不正確；③不正確；④不正確，因為此時所得的四邊形的四條邊可以不在一個平面上，如空間四邊形． (2)∵a、b是異面直線， ∴a上任一點與直線b確定一平面，共5個，b上任一點與直線a確定一平面，共4個，一共9個． 題型二　判

9、斷空間兩直線的位置關(guān)系 例2　如圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別是A1B1、B1C1 的中點．問： (1)AM和CN是否是異面直線？說明理由； (2)D1B和CC1是否是異面直線？說明理由． 思維啟迪　第(1)問，連接MN，AC，證MN∥AC，即AM與CN共面；第(2)問可采用反證法． 解　(1)不是異面直線．理由如下： 連接MN、A1C1、AC. ∵M、N分別是A1B1、B1C1的中點， ∴MN∥A1C1. 又∵A1A綊C1C， ∴A1ACC1為平行四邊形， ∴A1C1∥AC，∴MN∥AC， ∴A、M、N、C在同一平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直

10、線． (2)是異面直線．證明如下： ∵ABCD—A1B1C1D1是正方體， ∴B、C、C1、D1不共面． 假設(shè)D1B與CC1不是異面直線， 則存在平面α，使D1B?平面α，CC1?平面α， ∴D1、B、C、C1∈α，與ABCD—A1B1C1D1是正方體矛盾． ∴假設(shè)不成立，即D1B與CC1是異面直線． 思維升華　(1)證明直線異面通常用反證法； (2)證明直線相交，通常用平面的基本性質(zhì)，平面圖形的性質(zhì)等； (3)利用公理4或平行四邊形的性質(zhì)證明兩條直線平行． 　(1)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是 BC1，CD1的中點，則下列判斷錯誤的是

11、 (　　) A．MN與CC1垂直 B．MN與AC垂直 C．MN與BD平行 D．MN與A1B1平行 (2)在圖中，G、N、M、H分別是三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有________．(填上所有正確答案的序號) 答案　(1)D　(2)②④ 解析　(1)連接B1C，B1D1，則點M是B1C的中點，MN是△B1CD1的中位線，∴MN∥B1D1， ∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1， ∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD. 又∵A1B1與B1D1相交， ∴MN與A1B1不平行，故選D. (2)圖①中，直線GH∥MN；

12、圖②中，G、H、N三點共面，但M?面GHN， 因此直線GH與MN異面； 圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面； 圖④中，G、M、N共面，但H?面GMN， 因此GH與MN異面． 所以圖②、④中GH與MN異面． 題型三　求兩條異面直線所成的角 例3　空間四邊形ABCD中，AB＝CD且AB與CD所成的角為30°，E、F 分別為BC、AD的中點，求EF與AB所成角的大小． 思維啟迪　取AC中點，利用三角形中位線的性質(zhì)作出所求角． 解　取AC的中點G，連接EG、FG， 則EG綊AB，GF綊CD， 由AB＝CD知EG＝FG， ∴∠GEF(或它的補角)為EF

13、與AB所成的角，∠EGF(或它的補角)為 AB與CD所成的角． ∵AB與CD所成的角為30°， ∴∠EGF＝30°或150°. 由EG＝FG知△EFG為等腰三角形， 當∠EGF＝30°時，∠GEF＝75°； 當∠EGF＝150°時，∠GEF＝15°. 故EF與AB所成的角為15°或75°. 思維升華　(1)求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補形平移． (2)求異面直線所成的角的三步曲：即“一

14、作、二證、三求”．其中空間選點任意，但要靈活，經(jīng)常選擇“端點、中點、等分點”，通過作三角形的中位線，平行四邊形等進行平移，作出異面直線所成的角，轉(zhuǎn)化為解三角形問題，進而求解． 　直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于 (　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案　C 解析　如圖，可補成一個正方體， ∴AC1∥BD1. ∴BA1與AC1所成角的大小為∠A1BD1. 又易知△A1BD1為正三角形， ∴∠A1

15、BD1＝60°. 即BA1與AC1成60°的角．  求解兩條直線所成角問題概念不準確致誤 典例：(5分)過正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點A作直線l，使l與棱AB，AD，AA1所成的角都相等，這樣的直線l可以作 (　　) A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 易錯分析　忽視異面直線所成的角，只找兩條相交直線所成角，沒有充分認識正方體中的平行關(guān)系． 解析　如圖，連接體對角線AC1，顯然AC1與棱AB、AD、AA1所成的 角都相等，所成角的正切值都為.聯(lián)想正方體的其他體對角線，如連 接BD1，則BD1與棱

16、BC、BA、BB1所成的角都相等， ∵BB1∥AA1，BC∥AD， ∴體對角線BD1與棱AB、AD、AA1所成的角都相等，同理，體對角線A1C、DB1也與棱AB、AD、AA1所成的角都相等，過A點分別作BD1、A1C、DB1的平行線都滿足題意，故這樣的直線l可以作4條． 答案　D 溫馨提醒　求空間直線所成的角時，常犯以下錯誤： (1)不能挖掘題中的平行關(guān)系，找不到其所成的角； (2)線多、圖形復(fù)雜、空間想象力不夠，感覺無從下手． 方法與技巧 1． 主要題型的解題方法 (1)要證明“線共面”或“點共面”可先由部分直線或點確定一個平面，再證其余直線或點也在這個平面內(nèi)(即“納入

17、法”)． (2)要證明“點共線”可將線看作兩個平面的交線，只要證明這些點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)公理3可知這些點在交線上，因此共線． 2． 判定空間兩條直線是異面直線的方法 (1)判定定理：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點B的直線是異面直線． (2)反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面． 3． 求兩條異面直線所成角的大小，一般方法是通過平行移動直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決．根據(jù)空間等角定理及推論可知，異面直線所成角的大小與頂點位置無關(guān)，往往可以選在其中一條直線上(線面的端點或中點)利用三角形求解． 失誤與防范 1．

18、正確理解異面直線“不同在任何一個平面內(nèi)”的含義，不要理解成“不在同一個平面內(nèi)”． 2． 不共線的三點確定一個平面，一定不能丟掉“不共線”條件． 3． 兩條異面直線所成角的范圍是(0°，90°]． A組　專項基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時間：40分鐘) 一、選擇題 1． 若空間中有兩條直線，則“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點”的 (　　) A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充分必要條件 D．既非充分又非必要條件 答案　A 解析　“兩條直線為異面直線”?“兩條直線無公共點”．“兩直線無公共點”?“兩直線異面或平行”．故選A.

19、 2． 若空間三條直線a，b，c滿足a⊥b，b⊥c，則直線a與c (　　) A．一定平行 B．一定相交 C．一定是異面直線 D．平行、相交、是異面直線都有可能 答案　D 解析　當a，b，c共面時，a∥c；當a，b，c不共面時，a與c可能異面也可能相交． 3． 設(shè)四面體的六條棱的長分別為1,1,1,1，和a，且長為a的棱與長為的棱異面，則a的取值范圍是 (　　) A．(0，) B．(0，) C．(1，) D．(1，) 答案　A 解析　此題相當于一個正方形沿著對角線折成一個四面體，長為a的棱長一定大于0且小于.選A. 4

20、． 四棱錐P－ABCD的所有側(cè)棱長都為，底面ABCD是邊長為2的正方形，則CD與PA所成角的余弦值為 (　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因為四邊形ABCD為正方形，故CD∥AB，則CD與PA所成的角即為AB與PA所成的角，即為∠PAB. 在△PAB內(nèi)，PB＝PA＝，AB＝2，利用余弦定理可知cos∠PAB＝＝＝，故選B. 5． 設(shè)P表示一個點，a、b表示兩條直線，α、β表示兩個平面，給出下列四個命題，其中正確的命題是 (　　) ①P∈a，P∈α?a?α ②a∩b＝P，b?β?a?β ③a∥b，a

21、?α，P∈b，P∈α?b?α ④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈b A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 答案　D 解析　當a∩α＝P時，P∈a，P∈α，但a?α，∴①錯；a∩β＝P時，② 錯； 如圖，∵a∥b，P∈b，∴P?a， ∴由直線a與點P確定唯一平面α， 又a∥b，由a與b確定唯一平面β，但β經(jīng)過直線a與點P， ∴β與α重合，∴b?α，故③正確； 兩個平面的公共點必在其交線上，故④正確． 二、填空題 6． 平面α、β相交，在α、β內(nèi)各取兩點，這四點都不在交線上，這四點能確定________個平面． 答案　1或4 解析　若過四點中任意兩點

22、的連線與另外兩點的連線相交或平行，則確定一個平面；否則確定四個平面． 7． a，b，c是空間中的三條直線，下面給出四個命題： ①若a∥b，b∥c，則a∥c； ②若a與b相交，b與c相交，則a與c相交； ③若a?平面α，b?平面β，則a，b一定是異面直線； ④若a，b與c成等角，則a∥b. 上述命題中正確的命題是________(只填序號)． 答案?、? 解析　由公理4知①正確；當a與b相交，b與c相交時，a與c可以相交、平行，也可以異面，故②不正確；a?α，b?β，并不能說明a與b“不同在任何一個平面內(nèi)”，故③不正確；當a，b與c成等角時，a與b可以相交、平行，也可以異面，故④不

23、正確． 8． 若兩條異面直線所成的角為60°，則稱這對異面直線為“黃金異面直線對”，在連接正方體各頂點的所有直線中，“黃金異面直線對”共有________對． 答案　24 解析　正方體如圖，若要出現(xiàn)所成角為60°的異面直線，則直線為面 對角線，以AC為例，與之構(gòu)成黃金異面直線對的直線有4條，分別 是A′B，BC′，A′D，C′D，正方體的面對角線有12條，所以所 求的黃金異面直線對共有＝24(對)． 三、解答題 9． 如圖，空間四邊形ABCD中，E、F、G分別在AB、BC、CD上，且滿 足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，過E、F、G的平

24、面交 AD于點H. (1)求AH∶HD； (2)求證：EH、FG、BD三線共點． (1)解　∵＝＝2，∴EF∥AC， ∴EF∥平面ACD，而EF?平面EFGH， 平面EFGH∩平面ACD＝GH， ∴EF∥GH，∴AC∥GH. ∴＝＝3. ∴AH∶HD＝3∶1. (2)證明　∵EF∥GH，且＝，＝， ∴EF≠GH，∴EFGH為梯形． 令EH∩FG＝P，則P∈EH，而EH?平面ABD， 又P∈FG，F(xiàn)G?平面BCD， 平面ABD∩平面BCD＝BD， ∴P∈BD. ∴EH、FG、BD三線共點． 10．如圖，在四棱錐O－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，OA

25、⊥ 底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點． (1)求四棱錐O－ABCD的體積； (2)求異面直線OC與MD所成角的正切值的大小． 解　(1)由已知可求得，正方形ABCD的面積S＝4， 所以，四棱錐O－ABCD的體積V＝×4×2＝. (2)連接AC，設(shè)線段AC的中點為E，連接ME，DE， 則∠EMD為異面直線OC與MD所成的角(或其補角)， 由已知，可得DE＝，EM＝，MD＝， ∵()2＋()2＝()2， ∴△DEM為直角三角形， ∴tan∠EMD＝＝＝. B組　專項能力提升 (時間：30分鐘) 1． l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列

26、命題正確的是 (　　) A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3 C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共點?l1，l2，l3共面 答案　B 解析　當l1⊥l2，l2⊥l3時，l1與l3也可能相交或異面，故A不正確；l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3，故B正確；當l1∥l2∥l3時，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故C不正確；l1，l2，l3共點時，l1，l2，l3未必共面，如正方體中從同一頂點出發(fā)的三條棱，故D不正確． 2． 如圖是正四面體(各面均為正三角形)的平面展開圖，G、H、M、N 分

27、別為DE、BE、EF、EC的中點，在這個正四面體中， ①GH與EF平行； ②BD與MN為異面直線； ③GH與MN成60°角； ④DE與MN垂直． 以上四個命題中，正確命題的序號是________． 答案?、冖邰? 解析　還原成正四面體知GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成 60°角，DE⊥MN. 3． (2012·四川)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是棱 CD、CC1的中點，則異面直線A1M與DN所成的角的大小是 ________． 答案　90° 解析　如圖，取CN的中點K，連接MK，則

28、MK為△CDN的中位線， 所以MK∥DN. 所以∠A1MK為異面直線A1M與DN所成的角． 連接A1C1，AM.設(shè)正方體棱長為4， 則A1K＝＝， MK＝DN＝＝， A1M＝＝6， ∴A1M2＋MK2＝A1K2，∴∠A1MK＝90°. 4． 如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心， H為直線B1D與平面ACD1的交點．求證：D1、H、O三點共線． 證明　連接BD，B1D1， 則BD∩AC＝O， ∵BB1綊DD1，∴四邊形BB1D1D為平行四邊形，又 H∈B1D， B1D?平面BB1D1D， 則H∈平面BB1D1D， ∵平面

29、ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1. 即D1、H、O三點共線． 5． 如圖所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝，DA⊥AC， DA⊥AB，若DA＝1，且E為DA的中點．求異面直線BE與CD所成角 的余弦值． 解　取AC的中點F，連接EF，BF， 在△ACD中，E、F分別是AD、AC的中點， ∴EF∥CD. ∴∠BEF或其補角即為異面直線BE與CD所成的角． 在Rt△EAB中，AB＝AC＝1，AE＝AD＝， ∴BE＝. 在Rt△EAF中，AF＝AC＝，AE＝， ∴EF＝. 在Rt△BAF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝. 在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝＝＝. ∴異面直線BE與CD所成角的余弦值為.