《高考數(shù)學浙江理科一輪【第五章】平面向量 第五章 5.1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數(shù)學浙江理科一輪【第五章】平面向量 第五章 5.1（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 精品資料 5.1　數(shù)列的概念及簡單表示法 1． 數(shù)列的定義 按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項． 2． 數(shù)列的分類 分類原則 類型 滿足條件 按項數(shù)分類 有窮數(shù)列 項數(shù)有限 無窮數(shù)列 項數(shù)無限 按項與項間的大小關系分類 遞增數(shù)列 an＋1__>__an 其中n∈N* 遞減數(shù)列 an＋1__<__an 常數(shù)列 an＋1＝an 按其他標準分類 有界數(shù)列 存在正數(shù)M，使|an|≤M 擺動數(shù)列 從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列

2、 3． 數(shù)列的表示法 數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法． 4． 數(shù)列的通項公式 如果數(shù)列{an}的第n項與序號n之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式． 5． 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，則an＝. 1． 判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“”) (1)所有數(shù)列的第n項都能使用公式表達． (　　) (2)根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)列的通項公式可能不止一個． (　√　) (3)數(shù)列：1,0,1,0,1,0，…，通項公式只能是an＝. (　　) (4)如果數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則對?

3、n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn. (　√　) (5)在數(shù)列{an}中，對于任意正整數(shù)m，n，am＋n＝amn＋1，若a1＝1，則a2＝2. (　√　) (6)若已知數(shù)列{an}的遞推公式為an＋1＝，且a2＝1，則可以寫出數(shù)列{an}的任何一項． (　√　) 2． 設數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2，則a8的值為 (　　) A．15 B．16 C．49 D．64 答案　A 解析　∵Sn＝n2，∴a1＝S1＝1. 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1. ∴an＝2n－1，∴a8

4、＝28－1＝15. 3． 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10等于 (　　) A．1 B．9 C．10 D．55 答案　A 解析　∵Sn＋Sm＝Sn＋m，a1＝1，∴S1＝1. 可令m＝1，得Sn＋1＝Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝1. 即當n≥1時，an＋1＝1，∴a10＝1. 4． (2013課標全國Ⅰ)若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝an＋，則{an}的通項公式是an＝________. 答案　(－2)n－1 解析　當n＝1時，a1＝1；當n≥2時， an＝Sn－Sn－1＝an－an－1， 故＝－2，

5、故an＝(－2)n－1. 當n＝1時，也符合an＝(－2)n－1. 綜上，an＝(－2)n－1. 5． (2013安徽)如圖，互不相同的點A1，A2，…，An，…和B1， B2，…，Bn…分別在角O的兩條邊上，所有AnBn相互平行， 且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面積均相等．設OAn＝an，若a1＝1， a2＝2，則數(shù)列{an}的通項公式是________． 答案　an＝ 解析　由已知 ＝ ＝， 即 ＝2 由相似三角形面積比是相似比的平方知OA＋OA＝2OA，即a＋a＝2a， 因此{a}為等差數(shù)列且a＝a＋3(n－1)＝3n－2， 故an＝. 題

6、型一　由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項 例1　寫出下面各數(shù)列的一個通項公式： (1)3,5,7,9，…； (2)，，，，，…； (3)－1，，－，，－，，…； (4)3,33,333,3 333，…. 思維啟迪　先觀察各項的特點，然后歸納出其通項公式，要注意項與項數(shù)之間的關系，項與前后項之間的關系． 解　(1)各項減去1后為正偶數(shù)，所以an＝2n＋1. (2)每一項的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21,22,23,24，…，所以an＝. (3)奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，故通項公式中含因子(－1)n；各項絕對值的分母組成數(shù)列1,2,3,4，…；而各項絕對值的分子組成的數(shù)列中，奇數(shù)項為1

7、，偶數(shù)項為3，即奇數(shù)項為2－1，偶數(shù)項為2＋1，所以an＝(－1)n. 也可寫為an＝ (4)將數(shù)列各項改寫為，，，，…，分母都是3，而分子分別是10－1,102－1,103－1,104－1，…， 所以an＝(10n－1)． 思維升華　根據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項時，需仔細觀察分析，抓住其幾方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相鄰項的聯(lián)系特征；拆項后的各部分特征；符號特征，應多進行對比、分析，從整體到局部多角度觀察、歸納、聯(lián)想． 　(1)數(shù)列－1,7，－13,19，…的一個通項公式是an＝________. (2)數(shù)列{an}的前4項是，1，，，則這個數(shù)列的一個通項公式是an＝

8、________. 答案　(1)(－1)n(6n－5)　(2) 解析　(1)符號問題可通過(－1)n或(－1)n＋1表示，其各項的絕對值的排列規(guī)律為后面的數(shù)的絕對值總比前面的數(shù)的絕對值大6，故通項公式為an＝(－1)n(6n－5)． (2)數(shù)列{an}的前4項可變形為，，，，故an＝. 題型二　由數(shù)列的前n項和Sn求數(shù)列的通項 例2　已知下面數(shù)列{an}的前n項和Sn，求{an}的通項公式： (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n＋b. 思維啟迪　當n＝1時，由a1＝S1，求a1； 當n≥2時，由an＝Sn－Sn－1消去Sn，得an＋1與an的關系．轉(zhuǎn)化成由遞推關系求通

9、項． 解　(1)a1＝S1＝2－3＝－1， 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1 ＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5， 由于a1也適合此等式，∴an＝4n－5. (2)a1＝S1＝3＋b， 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1 ＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝23n－1. 當b＝－1時，a1適合此等式． 當b≠－1時，a1不適合此等式． ∴當b＝－1時，an＝23n－1； 當b≠－1時，an＝ 思維升華　數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關系是an＝當n＝1時，a1若適合Sn－Sn－1，則n＝1的情況可并入n≥2時的通項an；當n＝1時，a1若不適合S

10、n－Sn－1，則用分段函數(shù)的形式表示． 　已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n2－2n＋1，則其通項公式為________________． 答案　an＝ 解析　當n＝1時，a1＝S1＝312－21＋1＝2； 當n≥2時， an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1] ＝6n－5，顯然當n＝1時，不滿足上式． 故數(shù)列的通項公式為an＝ 題型三　由數(shù)列的遞推關系求數(shù)列的通項公式 例3　(1)設數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，則通項an＝________. (2)數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2，則它的一個通項公式

11、為an＝________. (3)在數(shù)列{an}中，a1＝1，前n項和Sn＝an.則{an}的通項公式為________． 思維啟迪　觀察遞推式的特點，可以利用累加(乘)或迭代法求通項公式． 答案　(1)＋1　(2)23n－1－1　(3)an＝ 解析　(1)由題意得，當n≥2時， an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋＝＋1. 又a1＝2＝＋1，符合上式， 因此an＝＋1. (2)方法一　(累乘法) an＋1＝3an＋2，即an＋1＋1＝3(an＋1)， 即＝3， 所以＝3，＝3，＝3，…，＝3. 將這些等式

12、兩邊分別相乘得＝3n. 因為a1＝1，所以＝3n， 即an＋1＝23n－1(n≥1)， 所以an＝23n－1－1(n≥2)， 又a1＝1也滿足上式， 故數(shù)列{an}的一個通項公式為an＝23n－1－1. 方法二　(迭代法) an＋1＝3an＋2， 即an＋1＋1＝3(an＋1)＝32(an－1＋1)＝33(an－2＋1) ＝…＝3n(a1＋1)＝23n(n≥1)， 所以an＝23n－1－1(n≥2)， 又a1＝1也滿足上式， 故數(shù)列{an}的一個通項公式為an＝23n－1－1. (3)由題設知，a1＝1. 當n>1時，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1. ∴＝.

13、 ∴＝，…，＝， ＝，＝3. 以上n－1個式子的等號兩端分別相乘，得到＝， 又∵a1＝1，∴an＝. 思維升華　已知數(shù)列的遞推關系，求數(shù)列的通項時，通常用累加、累乘、構造法求解． 當出現(xiàn)an＝an－1＋m時，構造等差數(shù)列；當出現(xiàn)an＝xan－1＋y時，構造等比數(shù)列；當出現(xiàn)an＝an－1＋f(n)時，用累加法求解；當出現(xiàn)＝f(n)時，用累乘法求解． 　(1)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝an－1(n≥2)，則an＝________. (2)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，則a5等于 (　　) A．－16 B．16 C．31

14、 D．32 答案　(1)　(2)B 解析　(1)∵an＝an－1 (n≥2)， ∴an－1＝an－2，…，a2＝a1. 以上(n－1)個式子相乘得 an＝a1…＝＝. (2)當n＝1時，S1＝2a1－1，∴a1＝1. 當n≥2時，Sn－1＝2an－1－1， ∴an＝2an－2an－1， ∴an＝2an－1. ∴{an}是等比數(shù)列且a1＝1，q＝2， 故a5＝a1q4＝24＝16. 數(shù)列問題中的函數(shù)思想 典例：(14分)已知數(shù)列{an}． (1)若an＝n2－5n＋4， ①數(shù)列中有多少項是負數(shù)？ ②n為何值時，an有最小值？并求出最小值． (2

15、)若an＝n2＋kn＋4且對于n∈N*，都有an＋1>an.求實數(shù)k的取值范圍． 思維啟迪　(1)求使an<0的n值；從二次函數(shù)看an的最小值．(2)數(shù)列是一類特殊函數(shù)，通項公式可以看作相應的解析式f(n)＝n2＋kn＋4.f(n)在N*上單調(diào)遞增，但自變量不連續(xù)．從二次函數(shù)的對稱軸研究單調(diào)性． 規(guī)范解答 解　(1)①由n2－5n＋4<0，解得1

16、 [8分] (2)由an＋1>an知該數(shù)列是一個遞增數(shù)列，又因為通項公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是關于n的二次函數(shù)，考慮到n∈N*，所以－<，即得k>－3. [14分] 溫馨提醒　(1)本題給出的數(shù)列通項公式可以看做是一個定義在正整數(shù)集N*上的二次函數(shù)，因此可以利用二次函數(shù)的對稱軸來研究其單調(diào)性，得到實數(shù)k的取值范圍，使問題得到解決． (2)在利用二次函數(shù)的觀點解決該題時，一定要注意二次函數(shù)對稱軸位置的選?。? (3)易錯分析：本題易錯答案為k>－2.原因是忽略了數(shù)列作為函數(shù)的特殊性，即自變量是正整數(shù). 方法與技巧 1． 求數(shù)列通項或指定項．通常用觀察法(對

17、于交錯數(shù)列一般用(－1)n或(－1)n＋1來區(qū)分奇偶項的符號)；已知數(shù)列中的遞推關系，一般只要求寫出數(shù)列的前幾項，若求通項可用歸納、猜想和轉(zhuǎn)化的方法． 2． 強調(diào)an與Sn的關系：an＝. 3． 已知遞推關系求通項：對這類問題的要求不高，但試題難度較難把握．一般有二種常見思路： (1)算出前幾項，再歸納、猜想； (2)利用累加或累乘法可求數(shù)列的通項公式． 失誤與防范 1． 數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在利用函數(shù)觀點研究數(shù)列時，一定要注意自變量的取值，如數(shù)列an＝f(n)和函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性是不同的． 2． 數(shù)列的通項公式不一定唯一． A組　專項基礎訓練 (時間：40分鐘)

18、 一、選擇題 1． 數(shù)列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一個通項公式是an等于 (　　) A. B．cos C．cos π D．cos π 答案　D 解析　令n＝1,2,3，…逐一驗證四個選項，易得D正確． 2． 數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，則a6等于 (　　) A．344 B．344＋1 C．45 D．45＋1 答案　A 解析　當n≥1時，an＋1＝3Sn，則an＋2＝3Sn＋1， ∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，即an＋2＝4an＋1

19、， ∴該數(shù)列從第二項開始是以4為公比的等比數(shù)列． 又a2＝3S1＝3a1＝3，∴an＝ ∴當n＝6時，a6＝346－2＝344. 3． 若數(shù)列{an}的通項公式是an＝(－1)n(3n－2)，則a1＋a2＋…＋a10等于 (　　) A．15 B．12 C．－12 D．－15 答案　A 解析　由題意知，a1＋a2＋…＋a10 ＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10(310－2) ＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9(39－2)＋(－1)10(310－2)] ＝35＝15. 4． 已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝()n－1－()n－1

20、，則數(shù)列{an} (　　) A．有最大項，沒有最小項 B．有最小項，沒有最大項 C．既有最大項又有最小項 D．既沒有最大項也沒有最小項 答案　C 解析　∵數(shù)列{an}的通項公式為an＝()n－1－()n－1， 令t＝()n－1，t∈(0,1]，t是減函數(shù)， 則an＝t2－t＝(t－)2－， 由復合函數(shù)單調(diào)性知an先遞增后遞減． 故有最大項和最小項，選C. 5． 若Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且Sn＝，則等于 (　　) A. B. C. D．30 答案　D 解析　當n≥2時，an＝Sn－Sn－1 ＝－＝， 所以＝56＝30.

21、 二、填空題 6． 已知數(shù)列{}，則0.98是它的第________項． 答案　7 解析?。?.98＝，∴n＝7. 7． 無窮數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5，…的首項是1，隨后兩項都是2，接下來3項都是3，再接下來4項都是4，…，以此類推．記該數(shù)列為{an}，若an－1＝7，an＝8，則n＝________. 答案　29 解析　按題目給出數(shù)列的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，1個1,2個2,3個3,4個4，…，n個n，an－1＝7，an＝8，則第n－1項是出現(xiàn)7個組合的最后一個數(shù)，所以n－1＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，n＝29. 8． 已知{an}是遞增數(shù)列，且對于任意的n∈N

22、*，an＝n2＋λn恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍是________． 答案　(－3，＋∞) 解析　方法一　(定義法) 因為{an}是遞增數(shù)列，所以對任意的n∈N*，都有an＋1>an， 即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，整理，得 2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1)．(*) 因為n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3. 方法二　(函數(shù)法) 設f(n)＝an＝n2＋λn，其圖象的對稱軸為直線n＝－， 要使數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，只需使定義在正整數(shù)上的函數(shù)f(n)為增函數(shù)， 故只需滿足f(1)－3. 三、解答題 9．

23、 數(shù)列{an}的通項公式是an＝n2－7n＋6. (1)這個數(shù)列的第4項是多少？ (2)150是不是這個數(shù)列的項？若是這個數(shù)列的項，它是第幾項？ (3)該數(shù)列從第幾項開始各項都是正數(shù)？ 解　(1)當n＝4時，a4＝42－47＋6＝－6. (2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150， 解得n＝16或n＝－9(舍去)， 即150是這個數(shù)列的第16項． (3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)． 故數(shù)列從第7項起各項都是正數(shù)． 10．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝，試判斷此數(shù)列是否有最大項？若有，第幾項最大，最大項是多少？若沒有，說明理由． 解　an＋

24、1－an＝－＝， 當n<8時，an＋1－an>0，即an＋1>an； 當n＝8時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 當n>8時，an＋1－an<0，即an＋1a10>a11>…， 故數(shù)列{an}有最大項，為第8項和第9項， 且a8＝a9＝＝. B組　專項能力提升 (時間：30分鐘) 1． 跳格游戲：如圖，人從格子外只能進入第1個格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人從格子外跳到第8個格子的方法種數(shù)為 (　　) A．8種 B．13種 C．21種 D．34種 答案　C 解析　設跳到第

25、n個格子的方法種數(shù)有an，則到達第n個格子的方法有兩類： ①向前跳1格到達第n個格子，方法種數(shù)為an－1； ②向前跳2格到達第n個格子，方法種數(shù)為an－2，則an＝an－1＋an－2， 由數(shù)列的遞推關系得到數(shù)列的前8項分別是1,1,2,3,5,8,13,21. ∴跳到第8個格子的方法種數(shù)是21.故選C. 2． 數(shù)列{an}滿足an＋an＋1＝ (n∈N*)，a2＝2，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則S21為(　　) A．5 B. C. D. 答案　B 解析　∵an＋an＋1＝(n∈N*)， ∴a1＝－a2＝－2，a2＝2，a3＝－2，a4＝2，…， 故

26、a2n＝2，a2n－1＝－2. ∴S21＝10＋a1＝5＋－2＝. 3． 若數(shù)列{n(n＋4)()n}中的最大項是第k項，則k＝________. 答案　4 解析　由題意得， 所以，由k∈N*可得k＝4. 4． 已知數(shù)列{an}滿足前n項和Sn＝n2＋1，數(shù)列{bn}滿足bn＝，且前n項和為Tn，設cn＝T2n＋1－Tn. (1)求數(shù)列{bn}的通項公式； (2)判斷數(shù)列{cn}的增減性． 解　(1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)． ∴bn＝. (2)∵cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1 ＝＋＋…＋， ∴cn＋1－cn＝＋－ ＝－＝<0，

27、 ∴{cn}是遞減數(shù)列． 5． 設數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知a1＝a，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*. (1)設bn＝Sn－3n，求數(shù)列{bn}的通項公式； (2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范圍． 解　(1)依題意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n， 即Sn＋1＝2Sn＋3n， 由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)． 即bn＋1＝2bn，又b1＝S1－3＝a－3， 因此，所求通項公式為 bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*. (2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*， 于是，當n≥2時， an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2 ＝23n－1＋(a－3)2n－2， an＋1－an＝43n－1＋(a－3)2n－2 ＝2n－2[12()n－2＋a－3]， 當n≥2時，an＋1≥an?12()n－2＋a－3≥0?a≥－9. 又a2＝a1＋3>a1. 綜上，所求的a的取值范圍是[－9，＋∞)．