《高考數(shù)學浙江理科一輪【第七章】不等式【下】 第七章 7.4》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數(shù)學浙江理科一輪【第七章】不等式【下】 第七章 7.4（22頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 精品資料 7.4　直線、平面垂直的判定與性質(zhì) 1． 直線與平面垂直 (1)判定直線和平面垂直的方法 ①定義法． ②利用判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直． ③推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面． (2)直線和平面垂直的性質(zhì) ①直線垂直于平面，則垂直于平面內(nèi)任意直線． ②垂直于同一個平面的兩條直線平行． ③垂直于同一條直線的兩平面平行． 2． 斜線和平面所成的角 斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫斜線和平面所成的角． 3．

2、 平面與平面垂直 (1)平面與平面垂直的判定方法 ①定義法． ②利用判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直． (2)平面與平面垂直的性質(zhì) 兩平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面． 4． 二面角的有關概念 (1)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角． (2)二面角的平面角：二面角棱上的一點，在兩個半平面內(nèi)分別作與棱垂直的射線，則兩射線所成的角叫做二面角的平面角． 1． 判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“”) (1)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l⊥α. (　　) (2)若直線a⊥平面α，直

3、線b∥α，則直線a與b垂直． (　√　) (3)異面直線所成的角與二面角的取值范圍均為(0，]． (　　) (4)直線a⊥α，b⊥α，則a∥b. (　√　) (5)若α⊥β，a⊥β?a∥α. (　　) (6)a⊥α，a?β?α⊥β. (　√　) 2． (2013廣東)設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中正確的是(　　) A．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n B．若α∥β，m?α，n?β，，則m∥n C．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥β D．若m⊥α，m∥n

4、，n∥β，則α⊥β 答案　D 解析　A中，m與n可垂直、可異面、可平行；B中m與n可平行、可異面；C中若α∥β，仍然滿足m⊥n，m?α，n?β，故C錯誤；故D正確． 3． 設a，b，c是三條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則a⊥b的一個充分條件是(　　) A．a(chǎn)⊥c，b⊥c B．α⊥β，a?α，b?β C．a(chǎn)⊥α，b∥α D．a(chǎn)⊥α，b⊥α 答案　C 解析　對于選項C，在平面α內(nèi)作c∥b，因為a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B選項中，直線a，b可能是平行直線，也可能是異面直線；D選項中一定有a∥b. 4． 將圖1中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC的中線

5、折起得到空間四面體ABCD(如圖2)，則在空間四面體ABCD中，AD與BC的位置關系是 (　　) A．相交且垂直 B．相交但不垂直 C．異面且垂直 D．異面但不垂直 答案　C 解析　在題圖1中的等腰直角三角形ABC中，斜邊上的中線AD就是斜邊上的高，則AD⊥BC，翻折后如題圖2，AD與BC變成異面直線，而原線段BC變成兩條線段BD、CD，這兩條線段與AD垂直，即AD⊥BD，AD⊥CD，故AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC. 5． α、β是兩個不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同的直線，給出四個論斷：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中

6、三個論斷作為條件，剩余的一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題：____________________________. 答案　可填①③④?②與②③④?①中的一個 題型一　直線與平面垂直的判定與性質(zhì) 例1　如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD， AC⊥CD，∠ABC＝60，PA＝AB＝BC，E是PC的中點． 證明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 思維啟迪　第(1)問通過DC⊥平面PAC證明；也可通過AE⊥平面 PCD得到結論；第(2)問利用線面垂直的判定定理證明直線PD與平面ABE內(nèi)的兩條相交直線垂直． 證明　(1)在四棱錐

7、P—ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD， ∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面PAC. 而AE?平面PAC，∴CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60，可得AC＝PA. ∵E是PC的中點，∴AE⊥PC. 由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C， ∴AE⊥平面PCD. 而PD?平面PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A， ∴AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD， ∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A， ∴PD⊥平面ABE. 思維升華　(1)證明直線和平面垂直的

8、常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)． (2)證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想． (3)線面垂直的性質(zhì)，常用來證明線線垂直． 　如圖，在△ABC中，∠ABC＝90，D是AC的中點，S是 △ABC所在平面外一點，且SA＝SB＝SC. (1)求證：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC. 證明　(1)因為SA＝SC，D是AC的中點，所以SD⊥AC. 在Rt△ABC中，A

9、D＝BD，又SA＝SB，SD＝SD， 所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD. 又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC. (2)因為AB＝BC，D為AC的中點，所以BD⊥AC. 由(1)知SD⊥BD，又SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC. 題型二　平面與平面垂直的判定與性質(zhì) 例2　(2013北京)如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD， CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分別是CD、PC 的中點．求證： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD. 思維啟迪　(1)平面PAD⊥底面ABCD，

10、可由面面垂直的性質(zhì)證PA⊥底面ABCD； (2)由BE∥AD可得線面平行； (3)證明直線CD⊥平面BEF. 證明　(1)∵平面PAD∩平面ABCD＝AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD. ∴PA⊥底面ABCD. (2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點， ∴AB∥DE，且AB＝DE. ∴四邊形ABED為平行四邊形．∴BE∥AD. 又∵BE?平面PAD，AD?平面PAD， ∴BE∥平面PAD. (3)∵AB⊥AD，且四邊形ABED為平行四邊形． ∴BE⊥CD，AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD，則PA⊥CD， ∴CD⊥平面PAD，從而CD

11、⊥PD， 又E、F分別為CD、CP的中點， ∴EF∥PD，故CD⊥EF. 由EF，BE在平面BEF內(nèi)，且EF∩BE＝E， ∴CD⊥平面BEF. ∴平面BEF⊥底面PCD. 思維升華　(1)判定面面垂直的方法： ①面面垂直的定義； ②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)． (2)在已知平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化． 在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直． 　(2012江西)如圖所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E、F是線段AB上的兩點，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝4，DE＝4.現(xiàn)將△ADE，△CFB分

12、別沿DE，CF折起，使A，B兩點重合于點G，得到多面體CDEFG. (1)求證：平面DEG⊥平面CFG； (2)求多面體CDEFG的體積． (1)證明　因為DE⊥EF，CF⊥EF， 所以四邊形CDEF為矩形． 由GD＝5，DE＝4，得 GE＝＝3. 由GC＝4，CF＝4，得FG＝＝4， 所以EF＝5. 在△EFG中，有EF2＝GE2＋FG2， 所以EG⊥GF. 又因為CF⊥EF，CF⊥FG，所以CF⊥平面EFG. 所以CF⊥EG，所以EG⊥平面CFG. 又EG?平面DEG，所以平面DEG⊥平面CFG. (2)解　如圖，在平面EGF中， 過點G作GH⊥EF于點H

13、， 則GH＝＝. 因為平面CDEF⊥平面EFG， 所以GH⊥平面CDEF， 所以V多面體CDEFG＝S矩形CDEFGH＝16. 題型三　直線、平面垂直的綜合應用 例3　如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD， AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4. (1)設M是PC上的一點，求證：平面MBD⊥平面PAD； (2)求四棱錐P—ABCD的體積． 思維啟迪　(1)因為兩平面垂直與M點位置無關，所以在平面MBD 內(nèi)一定有一條直線垂直于平面PAD，考慮證明BD⊥平面PAD. (2)四棱錐底面為一梯形，高為P到面ABCD的距離

14、． (1)證明　在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝4， ∴AD2＋BD2＝AB2.∴AD⊥BD. 又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD， BD?面ABCD，∴BD⊥面PAD. 又BD?面MBD， ∴面MBD⊥面PAD. (2)解　過P作PO⊥AD， ∵面PAD⊥面ABCD， ∴PO⊥面ABCD， 即PO為四棱錐P—ABCD的高． 又△PAD是邊長為4的等邊三角形， ∴PO＝2. 在底面四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC， ∴四邊形ABCD為梯形． 在Rt△ADB中，斜邊AB邊上的高為＝， 此即為梯形的高． ∴S四邊形ABCD＝＝

15、24. ∴VP—ABCD＝242＝16. 思維升華　垂直關系綜合題的類型及解法 (1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化． (2)垂直與平行結合問題，求解時應注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應用． (3)垂直與體積結合問題，在求體積時，可根據(jù)線面垂直得到表示高的線段，進而求得體積． 　(2013江西)如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝，AA1＝3，E為CD上一點，DE＝1，EC＝3. (1)證明：BE⊥平面BB1C1C； (2)求點B1到平面EA1C1的距離． (1)證明　過B作CD的垂線

16、交CD于F，則 BF＝AD＝，EF＝AB－DE＝1，F(xiàn)C＝2. 在Rt△BFE中，BE＝. 在Rt△CFB中，BC＝. 在△BEC中，因為BE2＋BC2＝9＝EC2，故BE⊥BC. 由BB1⊥平面ABCD得BE⊥BB1， 所以BE⊥平面BB1C1C. (2)解　三棱錐E－A1B1C1的體積 V＝AA1S△A1B1C1＝. 在Rt△A1D1C1中，A1C1＝＝3. 同理，EC1＝＝3， A1E＝＝2. 故S△A1C1E＝3. 設點B1到平面A1C1E的距離為d， 則三棱錐B1－A1C1E的體積 V＝dS△A1C1E＝d， 從而d＝，d＝. 題型四　線面角、

17、二面角的求法 例4　如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD， ∠ABC＝60，PA＝AB＝BC，E是PC的中點． (1)求PB和平面PAD所成的角的大??； (2)證明：AE⊥平面PCD； (3)求二面角A—PD—C的正弦值． 思維啟迪　(1)先找出PB和平面PAD所成的角，線面角的定義要能靈活運用；(2)可以利用線面垂直根據(jù)二面角的定義作角． (1)解　在四棱錐P—ABCD中， 因為PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD， 故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A， 從而AB⊥平面PAD， 故PB在平面PAD內(nèi)的射影為PA， 從而∠A

18、PB為PB和平面PAD所成的角． 在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45. 所以PB和平面PAD所成的角的大小為45. (2)證明　在四棱錐P—ABCD中， 因為PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD， 故CD⊥PA.由條件CD⊥AC，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面PAC. 又AE?平面PAC，∴AE⊥CD. 由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60，可得AC＝PA. ∵E是PC的中點，∴AE⊥PC. 又PC∩CD＝C，綜上得AE⊥平面PCD. (3)解　過點E作EM⊥PD，垂足為M，連接AM，如圖所示． 由(2)知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD內(nèi)的射影是EM，

19、 則可證得AM⊥PD. 因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角． 由已知，可得∠CAD＝30. 設AC＝a，可得 PA＝a，AD＝a，PD＝a，AE＝a. 在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AMPD＝PAAD， 則AM＝＝＝a. 在Rt△AEM中，sin∠AME＝＝. 所以二面角A—PD—C的正弦值為. 思維升華　求線面角、二面角的常用方法． (1)線面角的求法：找出斜線在平面上的射影，關鍵是作垂線，找垂足，要把線面角轉(zhuǎn)化到一個三角形中求解． (2)二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角來度量．平面角的作法常見的有①定義法；②垂面法．注意利用等腰、等邊三角形的性質(zhì)

20、． 　(2012浙江)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長 為2的菱形，∠BAD＝120，且PA⊥平面ABCD，PA＝2，M， N分別為PB，PD的中點． (1)證明：MN∥平面ABCD； (2)過點A作AQ⊥PC，垂足為點Q，求二面角A－MN－Q的平面角 的余弦值． (1)證明　連接BD，因為M，N分別是PB，PD的中點， 所以MN是△PBD的中位線，所以MN∥BD. 又因為MN?平面ABCD，BD?平面ABCD， 所以MN∥平面ABCD. (2)解　如圖所示， 在菱形ABCD中， ∠BAD＝120， 得AC＝AB＝BC＝CD＝DA， BD＝AB. 又因為

21、PA⊥平面ABCD， 所以PA⊥AB， PA⊥AC，PA⊥AD. 所以PB＝PC＝PD. 所以△PBC≌△PDC. 而M，N分別是PB，PD的中點， 所以MQ＝NQ，且AM＝PB＝PD＝AN. 取線段MN的中點E，連接AE，EQ， 則AE⊥MN，QE⊥MN， 所以∠AEQ為二面角A－MN－Q的平面角． 由AB＝2，PA＝2， 故在△AMN中，AM＝AN＝3，MN＝BD＝3， 得AE＝. 在Rt△PAC中，AQ⊥PC，得AQ＝2，QC＝2，PQ＝4. 在△PBC中，cos∠BPC＝＝， 得MQ＝＝. 在等腰△MQN中，MQ＝NQ＝，MN＝3， 得QE＝＝. 在

22、△AEQ中，AE＝，QE＝，AQ＝2， 得cos∠AEQ＝＝. 所以二面角A－MN－Q的平面角的余弦值為. 立體幾何證明問題中的轉(zhuǎn)化思想 典例：(14分)如圖所示，M，N，K分別是正方體ABCD—A1B1C1D1的 棱AB，CD，C1D1的中點． 求證：(1)AN∥平面A1MK； (2)平面A1B1C⊥平面A1MK. 思維啟迪　(1)要證線面平行，需證線線平行．(2)要證面面垂直， 需證線面垂直，要證線面垂直，需證線線垂直． 規(guī)范解答 證明　(1)如圖所示，連接NK. 在正方體ABCD—A1B1C1D1中， ∵四邊形AA1D1D，DD1C1C都為正方形，

23、 ∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD. [2分] ∵N，K分別為CD，C1D1的中點， ∴DN∥D1K，DN＝D1K， ∴四邊形DD1KN為平行四邊形． [3分] ∴KN∥DD1，KN＝DD1， ∴AA1∥KN，AA1＝KN. ∴四邊形AA1KN為平行四邊形．∴AN∥A1K. [5分] ∵A1K?平面A1MK，AN?平面A1MK， ∴AN∥平面A1MK. [7分] (2)如圖所示，連接BC1.在正方體ABCD—A1B1C1D1中， AB∥C1D1，AB＝C1D1. ∵M，K分別為AB

24、，C1D1的中點，∴BM∥C1K，BM＝C1K. ∴四邊形BC1KM為平行四邊形．∴MK∥BC1. [9分] 在正方體ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C， BC1?平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1. ∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK. ∵四邊形BB1C1C為正方形，∴BC1⊥B1C. [12分] ∴MK⊥B1C.∵A1B1?平面A1B1C，B1C?平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.又∵MK?平面A1MK， ∴平面A1B1C⊥平面A1MK. [14分] 溫馨提醒　(1)線面平

25、行、垂直關系的證明問題的指導思想是線線、線面、面面關系的相互轉(zhuǎn)化，交替使用平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理； (2)線線關系是線面關系、面面關系的基礎．證題中要注意利用平面幾何中的結論，如證明平行時常用的中位線、平行線分線段成比例；證明垂直時常用的等腰三角形的中線等； (3)證明過程一定要嚴謹，使用定理時要對照條件、步驟書寫要規(guī)范． 方法與技巧 1． 證明線面垂直的方法 (1)線面垂直的定義：a與α內(nèi)任何直線都垂直?a⊥α； (2)判定定理1：?l⊥α； (3)判定定理2：a∥b，a⊥α?b⊥α； (4)面面平行的性質(zhì)：α∥β，a⊥α?a⊥β； (5)面面垂直的性質(zhì)：α⊥β

26、，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β. 2． 證明線線垂直的方法 (1)定義：兩條直線所成的角為90； (2)平面幾何中證明線線垂直的方法； (3)線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，b?α?a⊥b； (4)線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，b∥α?a⊥b. 3． 證明面面垂直的方法 (1)利用定義：兩個平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a?α，a⊥β?α⊥β. 4． 轉(zhuǎn)化思想：垂直關系的轉(zhuǎn)化 在證明兩平面垂直時一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存在，則可通過作輔助線來解決． 失誤與防范 1． 在解決直線與平面垂直的問題過程中，要注意直線與平面垂直的

27、定義、判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用，即注意線線垂直和線面垂直的互相轉(zhuǎn)化． 2． 面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個重要依據(jù)．我們要作一個平面的一條垂線，通常是先找這個平面的一個垂面，在這個垂面中，作交線的垂線即可． A組　專項基礎訓練 (時間：40分鐘) 一、選擇題 1． 已知m是平面α的一條斜線，點A?α，l為過點A的一條動直線，那么下列情形可能出現(xiàn)的是 (　　) A．l∥m，l⊥α B．l⊥m，l⊥α C．l⊥m，l∥α D．l∥m，l∥α 答案　C 解析　設m在平面α內(nèi)的射影為n，當l⊥n且與α無公共點時，l⊥m

28、，l∥α. 2． 如圖，已知△ABC為直角三角形，其中∠ACB＝90，M為AB的中點， PM垂直于△ABC所在平面，那么 (　　) A．PA＝PB>PC B．PA＝PB

29、則l⊥γ B．l∥α，l∥β，α∩β＝m，則l∥m C．α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，若l∥m，則l∥n D．α⊥γ，β⊥γ，則α⊥β或α∥β 答案　D 解析　對于A，∵如果兩個相交平面均垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面，∴該命題是真命題； 對于B，∵如果一條直線平行于兩個相交平面，那么該直線平行于它們的交線，∴該命題是真命題； 對于C，∵如果三個平面兩兩相交，有三條交線，那么這三條交線交于一點或相互平行，∴該命題是真命題； 對于D，當兩個平面同時垂直于第三個平面時，這兩個平面可能不垂直也不平行，∴D是假命題．綜上所述，選D. 4． 正方體ABCD—A′

30、B′C′D′中，E為A′C′的中點，則直線CE垂直于 (　　) A．A′C′ B．BD C．A′D′ D．AA′ 答案　B 解析　連接B′D′， ∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′＝C′， ∴B′D′⊥平面CC′E. 而CE?平面CC′E， ∴B′D′⊥CE. 又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE. 5． 如圖所示，直線PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC內(nèi)接于⊙O，且 AB為⊙O的直徑，點M為線段PB的中點．現(xiàn)有結論：①BC⊥PC； ②OM∥平面APC；③點B到平面PAC的距離等于線段BC的長， 其中正確的是 (　

31、　) A．①② B．①②③ C．① D．②③ 答案　B 解析　對于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC， ∵AB為⊙O的直徑，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC， 又PC?平面PAC，∴BC⊥PC； 對于②，∵點M為線段PB的中點，∴OM∥PA， ∵PA?平面PAC，∴OM∥平面PAC； 對于③，由①知BC⊥平面PAC，∴線段BC的長即是點B到平面PAC的距離，故①②③都正確． 二、填空題 6． 已知P為△ABC所在平面外一點，且PA、PB、PC兩兩垂直，則下列命題： ①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC. 其中正確的個數(shù)是___

32、_____． 答案　3 解析　如圖所示．∵PA⊥PC、PA⊥PB，PC∩PB＝P， ∴PA⊥平面PBC. 又∵BC?平面PBC， ∴PA⊥BC. 同理PB⊥AC、PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC. 7． 在正三棱錐P－ABC中，D，E分別是AB，BC的中點，有下列三個論斷：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正確論斷的序號為________． 答案?、佗? 解析　如圖， ∵P－ABC為正三棱錐， ∴PB⊥AC； 又∵DE∥AC，DE?平面PDE，AC?平面PDE， ∴AC∥平面PDE.故①②正確． 8． 正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB

33、1與平面ACD1所成角的余弦值為________． 答案　 解析　畫出圖形，如圖，BB1與平面ACD1所成的角等于DD1與平面 ACD1所成的角，在三棱錐D－ACD1中，由三條側(cè)棱兩兩垂直得點 D在底面ACD1內(nèi)的射影為等邊三角形ACD1的垂心即中心H，連接 D1H，DH，則∠DD1H為DD1與平面ACD1所成的角，設正方體的 棱長為a， 則cos∠DD1H＝＝. 三、解答題 9． 在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC， AD＝2，AB＝3，BC＝BE＝7，△DCE是邊長為6的正三角形． (1)求證：平面DEC⊥平面BDE； (2)求點

34、A到平面BDE的距離． (1)證明　因為四邊形ABCD為直角梯形， AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝3，所以BD＝， 又因為BC＝7，CD＝6，所以根據(jù)勾股定理可得BD⊥CD， 因為BE＝7，DE＝6，同理可得BD⊥DE. 因為DE∩CD＝D，DE?平面DEC，CD?平面DEC， 所以BD⊥平面DEC.因為BD?平面BDE， 所以平面DEC⊥平面BDE. (2)解　如圖，取CD的中點O，連接OE， 因為△DCE是邊長為6的正三角形， 所以EO⊥CD，EO＝3， 易知EO⊥平面ABCD， 則VE－ABD＝233＝3， 又因為直角三角形BDE的面積為6＝3， 設

35、點A到平面BDE的距離為h，則由VE－ABD＝VA－BDE， 得3h＝3，所以h＝， 所以點A到平面BDE的距離為. 10．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB ＝90，側(cè)棱AA1＝2，D，E分別為CC1與A1B的中點，E在平面ABD 上的射影是△ABD的重心． (1)求證：DE∥平面ABC； (2)求A1B與平面ABD所成角的正弦值． (1)證明　如圖，取AB的中點F，連接EF，F(xiàn)C， 由已知可得EF∥A1A，EF＝A1A. 又DC∥A1A，DC＝A1A， ∴四邊形DEFC為平行四邊形， 則ED∥CF，∵ED?平面ABC，F(xiàn)C?平

36、面ABC， ∴ED∥平面ABC. (2)解　如圖，過點E作EH⊥DF于H，連接HB， ?CC1⊥AB， ?AB⊥CF， 又CF∩CD＝C，CF，CD?平面DEFC， ∴AB⊥平面DEFC. 又EH?平面DEFC，∴AB⊥EH. 又EH⊥DF，DF∩AB＝F，AB，DF?平面ABD， ∴EH⊥平面ABD. ∴點H為△ABD的重心，在Rt△DEF中，EF2＝FHFD＝FD2＝1. ∴FD＝，HF＝，EH＝，CF＝，F(xiàn)B＝，EB＝， 則sin∠EBH＝＝， ∴A1B與平面ABD所成角的正弦值為. B組　專項能力提升 (時間：30分鐘) 1． 已知平面α與平面β相交，直

37、線m⊥α，則 (　　) A．β內(nèi)必存在直線與m平行，且存在直線與m垂直 B．β內(nèi)不一定存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直 C．β內(nèi)不一定存在直線與m平行，但必存在直線與m垂直 D．β內(nèi)必存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直 答案　C 解析　如圖，在平面β內(nèi)的直線若與α，β的交線a平行，則有m與 之垂直．但卻不一定在β內(nèi)有與m平行的直線，只有當α⊥β時才存 在． 2． 正方體ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－A1B－D的余弦值為________． 答案　 解析　設正方體的邊長為1，如圖，取A1B的中點E，連接DE，C1E， C1D，根據(jù)二面

38、角的定義可知，∠C1ED即為所求的二面角的平面角， 其中DE＝C1E＝，C1D＝，∴cos∠C1ED＝. 3． 如圖，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC， PA＝2AB，則下列結論中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③ 直線BC∥平面PAE；④∠PDA＝45. 其中正確的有________(把所有正確的序號都填上)． 答案　①④ 解析　由PA⊥平面ABC，AE?平面ABC，得PA⊥AE， 又由正六邊形的性質(zhì)得AE⊥AB，PA∩AB＝A， 得AE⊥平面PAB， 又PB?平面PAB，∴AE⊥PB，①正確； ∵平面PAD⊥平面ABC，∴平面AB

39、C⊥平面PBC不成立，②錯； 由正六邊形的性質(zhì)得BC∥AD， 又AD?平面PAD，BC?平面PAD，∴BC∥平面PAD， ∴直線BC∥平面PAE也不成立，③錯； 在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45， ∴④正確． 4． 如圖，A，B，C，D為空間四點，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝， 等邊三角形ADB以AB為軸轉(zhuǎn)動． (1)當平面ADB⊥平面ABC時，求CD的長； (2)當△ADB轉(zhuǎn)動時，是否總有AB⊥CD？證明你的結論． 解　(1)取AB的中點E，連接DE，CE. ∵△ADB是等邊三角形，∴DE⊥AB. 當平面ADB⊥平面ABC時， ∵平面A

40、DB∩平面ABC＝AB， ∴DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE. 由已知可得DE＝，EC＝1. 在Rt△DEC中，CD＝＝2. (2)當△ADB以AB為軸轉(zhuǎn)動時，總有AB⊥CD.證明如下： ①當D在平面ABC內(nèi)時，∵AC＝BC，AD＝BD， ∴C，D都在線段AB的垂直平分線上，即AB⊥CD. ②當D不在平面ABC內(nèi)時，由(1)知AB⊥DE. 又∵AC＝BC，∴AB⊥CE. 又DE，CE為相交直線，∴AB⊥平面CDE. 由CD?平面CDE，得AB⊥CD. 綜上所述，總有AB⊥CD. 5． 如圖1所示，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB＝60.點E、F分別在邊CD、CB上，

41、點E與點C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O.沿EF將△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED，如圖2所示． (1)求證：BD⊥平面POA； (2)當PB取得最小值時，求四棱錐P－BDEF的體積． (1)證明　因為菱形ABCD的對角線互相垂直， 所以BD⊥AC.所以BD⊥AO. 因為EF⊥AC，所以PO⊥EF. 因為平面PEF⊥平面ABFED， 平面PEF∩平面ABFED＝EF，且PO?平面PEF， 所以PO⊥平面ABFED. 因為BD?平面ABFED，所以PO⊥BD. 因為AO∩PO＝O，所以BD⊥平面POA. (2)解　設AO∩BD＝H. 因為∠DAB＝60，所以△BDC為等邊三角形． 故BD＝4，HB＝2，HC＝2. 設PO＝x，則OH＝2－x，OA＝4－x. 連接PH，OB，由OH⊥BD，得OB2＝(2－x)2＋22. 又由(1)知PO⊥平面BFED，則PO⊥OB. 所以PB＝＝ ＝. 當x＝時，PBmin＝，此時PO＝＝OH， 所以V四棱錐P－BDEF＝S梯形BDEFPO＝(42－22)＝3.