《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第八章 :第八節(jié)曲線(xiàn)與方程突破熱點(diǎn)題型》由會(huì)員分享,可在線(xiàn)閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第八章 :第八節(jié)曲線(xiàn)與方程突破熱點(diǎn)題型(8頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 第八節(jié)圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題 考點(diǎn)一圓錐曲線(xiàn)中的最值(或取值范圍)問(wèn)題 例1(2013新課標(biāo)全國(guó)卷)平面直角坐標(biāo)系xOy中,過(guò)橢圓M:1 (ab0)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)xy0交M于A,B兩點(diǎn),P為AB的中點(diǎn),且OP的斜率為.(1)求M的方程;(2)C,D為M上的兩點(diǎn),若四邊形ACBD的對(duì)角線(xiàn)CDAB,求四邊形ACBD面積的最大值自主解答(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),則1,1,1,由此可得1.因?yàn)閤1x22x0,y1y22y0,所以a22b2.又由題意知,M的右焦點(diǎn)為(,0),故a2b23.因此a26,b23.所以M的方程為1.(2)由解得或因此|AB|.由題意可設(shè)直線(xiàn)CD
2、的方程為yxn,設(shè)C(x3,y3),D(x4,y4)由得3x24nx2n260.于是x3,4.來(lái)源:因?yàn)橹本€(xiàn)CD的斜率為1,所以|CD|x4x3|.由已知,四邊形ACBD的面積S|CD|AB|.當(dāng)n0時(shí),S取得最大值,最大值為.所以四邊形ACBD面積的最大值為.【互動(dòng)探究】若本例的條件不變,則四邊形ACBD的面積有最小值嗎?若有,求出其值;若沒(méi)有,說(shuō)明理由解:由(2)可知3x24nx2n260,又yxn與橢圓1相交,(4n)243(2n26)8(9n2)0,即3n3,0n29,而SACBD,01),試求的取值范圍解:(1)設(shè)動(dòng)圓圓心C的坐標(biāo)為(x,y),圓心C到直線(xiàn)l0的距離為d,由題意可知|
3、CA|d,故由拋物線(xiàn)的定義可知?jiǎng)訄A圓心C的軌跡D的方程為y24x.(2)易知曲線(xiàn)E的方程為y24x(x4),顯然當(dāng)直線(xiàn)l的斜率為零或不存在時(shí)不符合題意,故可設(shè)直線(xiàn)l的方程為ykx2(k0)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由 (1)知x1x2,且0x24,0x14.由消去y得k2x24(k1)x40,(*)則方程(*)在0,4內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,記f(x)k2x24(k1)x4,則從而可得k.由根與系數(shù)的關(guān)系可知x1x2,x1x2.又x1x2,所以42,而k,所以0,故可得12,從而可得4,解得1或11,所以的取值范圍是(1,9考點(diǎn)二定 點(diǎn) 問(wèn) 題 例2(2013陜西高考)已知?jiǎng)訄A過(guò)定
4、點(diǎn)A(4,0),且在y軸上截得弦MN的長(zhǎng)為8.(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程;(2)已知點(diǎn)B(1,0),設(shè)不垂直于x軸的直線(xiàn)l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,若x軸是PBQ的角平分線(xiàn),證明直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)自主解答(1)如圖,設(shè)動(dòng)圓圓心O1(x,y),由題意,|O1A|O1M|,當(dāng)O1不在y軸上時(shí),過(guò)O1作O1HMN交MN于H,則H是MN的中點(diǎn),|O1M|,又|O1A|,化簡(jiǎn)得y28x(x0)又當(dāng)O1在y軸上時(shí),O1與O重合,點(diǎn)O1的坐標(biāo)(0,0)也滿(mǎn)足方程y28x,動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為y28x.(2)證明:由題意,設(shè)直線(xiàn)l的方程為ykxb(k0),P(x1,y1),Q(x2,y2),將ykxb代
5、入y28x中,得k2x2(2bk8)xb20,其中32kb640.由根與系數(shù)的關(guān)系得,x1x2,x1x2,因?yàn)閤軸是PBQ的角平分線(xiàn),所以,即y1(x21)y2(x11)0,(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0,2kx1x2(kb)(x1x2)2b0,將代入,得2kb2(kb)(82bk)2k2b0,kb,此時(shí)0,直線(xiàn)l的方程為yk(x1),直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)(1,0)【方法規(guī)律】圓錐曲線(xiàn)中定點(diǎn)問(wèn)題的兩種解法(1)引進(jìn)參數(shù)法:引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線(xiàn)中系數(shù)為參數(shù)表示變化量,再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒(méi)有關(guān)系,找到定點(diǎn)(2)特殊到一般法:根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線(xiàn)的特殊情況探索出定點(diǎn),再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān)橢
6、圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,該橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且離心率為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線(xiàn)l:ykxm與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)(A,B不是左,右頂點(diǎn)),且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn),求證:直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)解:(1)設(shè)橢圓方程為1(ab0),由e,得a2c,a2b2c2,b23c2,則橢圓方程變?yōu)?.又橢圓過(guò)點(diǎn)P,將其代入求得c21,故a24,b23,即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立得(34k2)x28mkx4(m23)0,則又y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.橢圓的右頂點(diǎn)為A2(2,0)
7、,AA2BA2,(x12)(x22)y1y20,y1y2x1x22(x1x2)40.40.7m216mk4k20.解得m12k,m2,由得34k2m20.當(dāng)m12k時(shí),l的方程為yk(x2),直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)(2,0),與已知矛盾當(dāng)m2時(shí),l的方程為yk,直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為.高頻考點(diǎn)考點(diǎn)三 圓錐曲線(xiàn)中的定值問(wèn)題來(lái)源:1圓錐曲線(xiàn)中的定值問(wèn)題,是近幾年來(lái)高考命題的熱點(diǎn),多以解答題的形式出現(xiàn),試題難度較大,多為高檔題2高考中關(guān)于圓錐曲線(xiàn)中的定值問(wèn)題有以下幾個(gè)命題角度:(1)求代數(shù)式為定值;(2)求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為定值;(3)求某線(xiàn)段長(zhǎng)為定值例3(2013江西高考)橢圓C:1(ab0)的離
8、心率e,ab3.(1)求橢圓C的方程;(2)如圖所示,A,B,D是橢圓C的頂點(diǎn),P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn),直線(xiàn)DP交x軸于點(diǎn)N,直線(xiàn)AD交BP于點(diǎn)M,設(shè)BP的斜率為k,MN的斜率為m.證明:2mk為定值自主解答(1)因?yàn)閑,所以ac,bc.代入ab3,得c,a2,b1.故橢圓C的方程為y21.(2)證明:法一:因?yàn)锽(2,0),P不為橢圓頂點(diǎn),則直線(xiàn)BP的方程為yk(x2),把代入y21,解得P.直線(xiàn)AD的方程為:yx1.與聯(lián)立解得M.由D(0,1),P,N(x,0)三點(diǎn)共線(xiàn)知,解得N.所以MN的斜率為m,則2mkk(定值)法二:設(shè)P(x0,y0)(x00,x02),則k,直線(xiàn)AD的方程
9、為:y(x2),直線(xiàn)BP的方程為:y(x2),直線(xiàn)DP的方程為:y1x,令y0,由于y01,可得N聯(lián)立解得M,因此MN的斜率為m來(lái)源:,所以2mk(定值)圓錐曲線(xiàn)中的定值問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值依題意設(shè)條件,得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式,代入代數(shù)式、化簡(jiǎn)即可得出定值;(2)求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為定值利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得出距離的解析式,再利用題設(shè)條件化簡(jiǎn)、變形求得;(3)求某線(xiàn)段長(zhǎng)度為定值利用長(zhǎng)度公式求得解析式,再依據(jù)條件對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形即可求得如圖所示,已知點(diǎn)A(1,)是離心率為的橢圓C:1(ab0)上的一點(diǎn),斜率為的直線(xiàn)BD交橢圓C于B、D兩點(diǎn),且A、B、D三點(diǎn)不重合
10、(1)求橢圓C的方程;(2)ABD的面積是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)求證:直線(xiàn)AB、AD斜率之和為定值來(lái)源:解:(1)由題意,可得e,1,a2b2c2,解得a2,b,c,所以橢圓C的方程為1.(2)設(shè)直線(xiàn)BD的方程為yxm,D(x1,y1),B(x2,y2),由得4x22mxm240,所以8m2640,則2m2,x1x2m,x1x2.所以|BD|x1x2|.設(shè)d為點(diǎn)A到直線(xiàn)BD:yxm的距離,所以d.所以SABD|BD|d,當(dāng)且僅當(dāng)8m2m2,即m2時(shí)取等號(hào)因?yàn)?(2,2),所以當(dāng)m2時(shí),ABD的面積最大,最大值為.(3)證明:設(shè)直線(xiàn)AB、AD的斜率分別
11、為kAB、kAD,則kADkAB2m,(*)將(2)中、式代入(*)式,整理得2m0,即kADkAB0.故直線(xiàn)AB、AD斜率之和為定值課堂歸納通法領(lǐng)悟2種方法求定值問(wèn)題常見(jiàn)的兩種方法(1)從特殊入手,求出定值,再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān);(2)直接推理、計(jì)算,并在此過(guò)程中消去變量,從而得到定值4個(gè)重視求定值、最值等圓錐曲線(xiàn)綜合問(wèn)題要四重視(1)重視定義在解題中的作用;(2)重視平面幾何知識(shí)在解題中的作用;(3)重視根與系數(shù)的關(guān)系在解題中的作用;(4)重視曲線(xiàn)的幾何特征與方程的代數(shù)特征在解題中的作用5方面考慮求最值(或范圍)問(wèn)題需從以下五方面考慮見(jiàn)本節(jié)考點(diǎn)一方法規(guī)律(1)利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍;(2)利用已知參數(shù)的范圍,求新參數(shù)的范圍,解這類(lèi)問(wèn)題的核心是兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系;(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;(5)利用函數(shù)的值域的求法,確定參數(shù)的取值范圍s