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1、
(時間：40分鐘 滿分：60分)
一、填空題(每小題5分，共40分)
1．如圖所示，AB是⊙O的直徑，MN與⊙O切于點C，AC＝BC，則sin∠MCA＝________.
解析 由弦切角定理得，
∠MCA＝∠ABC，
sin ∠ABC＝＝＝＝.
答案
2．如圖所示，已知AB是⊙O的直徑，CD與AB相交于點E，∠ACD＝60°，∠ADC＝45°，則∠AEC＝________.
解析 如圖，連接BC，由圓周角定理推論2知，∠ACB＝90°.
∵∠ACD＝60°，
∴∠DCB＝30°， 的度數＝6
2、0°.
∴∠ADC＝45°，∴ 的度數＝90°.
∴∠AEC＝( )的度數＝75°.
答案 75°
3．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點．AD和過C點的切線互相垂直，垂足為D，∠DAB＝80°，則∠ACO＝________.
解析 ∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD，又∵AD⊥CD，∴OC∥AD.
由此得，∠ACO＝∠CAD，
∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO，
∴∠CAD＝∠CAO，故AC平分∠DAB.∴∠CAO＝40°，
又∵∠ACO＝∠CAO，∴∠ACO＝40
3、6;.
答案 40°
4．如右圖所示，已知⊙O的直徑與弦AC的夾角為30°，
過C點的切線PC與AB的延長線交于P，PC＝5，
則⊙O的半徑為________．
解析 如圖，連接OC，則有∠COP＝60°，
OC⊥PC，可求OC＝.
答案
5．(20xx·深圳模擬)如圖，P是等邊三角形ABC外接圓 上任一點，AP交BC于點D，AP＝4，AD＝2，則AC＝________.
解析 如圖，連接PC、PB，在等邊三角形ABC中，有∠ABC＝∠ACB＝60°，
又∠ABC＝∠APC，所以∠ACB＝∠APC.
而∠PAC是
4、公共角，
所以△APC和△ACD相似，
所以＝，
即AC2＝AP·AD＝4×2＝8，
即AC＝2.
答案 2
6．(20xx·東莞調研)如圖，PA、PB是圓O的切線 ，切點分別為A、B，點C在圓O上，如果∠P＝50°，那么∠ACB＝________.
解析 連接OA、OB，因為PA、PB是圓O的切線，所以∠OBP＝∠OAP＝90°，又因為∠P＝50°，所以∠AOB＝130°，所以∠ACB＝65°.
答案 65°
7．(20xx·汕頭調研)如圖，已知PA是圓O(O為圓心)的切
5、線，切點為A，PO交圓O于B，C兩點，AC＝，∠PAB＝30°，則圓O的面積為________．
解析 連接OA，由∠PAB＝30°，得∠OCA＝∠OAC＝30°，
由余弦定理得，AC2＝OA2＋OC2－2OA·OCcos 120°＝3OA2，
OA＝AC＝1，因此圓O的面積等于π×12＝π.
另解 由∠PAB＝30°，∴∠ACB＝30°，在Rt△ABC中，
AC＝，∴CB＝2，∴OC＝1，因此圓O的面積等于π×12＝π.
答案 π
8．(20xx·韶關調研)如圖所示，CA和
6、CB都是⊙O的切線，切點分別是A、B，如果⊙O的半徑為2，且AB＝6，則∠ACB＝________.
解析 如圖，連接OC交于AB于點D.∵CA、CB分別是
⊙O的切線，∴CA＝CB，OC平分∠ACB，故OC⊥AB.
由AB＝6，可知BD＝3，在Rt△OBD中，OB＝2，
故sin∠BOD＝＝＝，所以∠BOD＝60°，又因為B是切點，故OB⊥BC，所以∠OCB＝30°.故∠ACB＝60°.
答案 60°
二、解答題(共20分)
9．(10分)如右圖所示，AB為圓O的直徑，BC，CD
為圓O的切線，B、D為切點．
(1)求證：AD∥
7、OC；
(2)若圓O的半徑為1，求AD·OC的值．
(1)證明 如圖所示，連接OD，BD，
∵BC，CD為⊙O的切線，∴BD⊥OC，
∴又AB為圓O的直徑，∴AD⊥DB，
∴AD∥OC.
(2)解 因為AO＝OD，則∠1＝∠A＝∠3，Rt△BAD∽Rt△COD，∴＝，即AD·OC＝AB·OD＝2.
10．(10分)如圖，△ABC的角平分線AD的延長線交它的外接圓于點E.
(1)證明：△ABE∽△ADC；
(2)若△ABC的面積S＝AD·AE，求∠BAC的大?。?
(1)證明 由已知條件，可得∠BAE＝∠CAD.
因為∠AEB與∠ACB是同弧上的圓周角，
所以∠AEB＝∠ACD.
故△ABE∽△ADC.
(2)解 因為△ABE∽△ADC，
所以＝，
即AB·AC＝AD·AE.
又S＝AB·ACsin∠BAC，且S＝AD·AE.
故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE.
則sin∠BAC＝1，又∠BAC為三角形內角，
所以∠BAC＝90°.
高考理科數學 第一輪復習測試題6
