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1、 專(zhuān)題10 立體幾何 一．選擇題 10． 1.【2005年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷10】如圖，在三棱柱ABC—A′B′C′中，點(diǎn)E、F、H、 K分別為AC′、CB′、A′B、B′C′的中點(diǎn)，G為△ABC的重心. 從K、H、G、B′中取一點(diǎn)作為P， 使得該棱柱恰有2條棱與平面PEF平行，則P為 （ ） A.K B．H C．G D．B′ 【答案】C 2. 【2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷】關(guān)于直線與平面，有以下四個(gè)命題： ①若且，則； ②若且，則； ③若且，則； ④若且，則； 其中真命題的序號(hào)是 ( )

2、 A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】D. 【解析】 試題分析：用排除法可得選D. 3.【2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷4】平面外有兩條直線和，如果和在平面內(nèi)的射影分別是和，給出下列四個(gè)命題： ①； ②； ③與相交與相交或重合； ④與平行與平行或重合． 其中不正確的命題個(gè)數(shù)是（　　） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 【答案】D A B C D A1 B1 C1 D1 4.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖

3、北卷4】已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( ) 俯視圖 側(cè)視圖 2 正視圖 第4題圖 4 2 4 2 A． B． C． D． 5.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷8】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體從上到下由四個(gè)簡(jiǎn)單幾何體組成，其體積分別記為，，，，上面兩個(gè)簡(jiǎn)單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個(gè)簡(jiǎn)單幾何體均為多面體，則有（ ） A. B. C. D.

4、 【答案】C 【解析】 試題分析：由柱體和臺(tái)體的體積公式可知選C 6.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷5】在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），給出編號(hào)①、②、③、④的四個(gè)圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為（ ） A.①和② B.③和① C. ④和③ D.④和② 二．填空題 1.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷14】如圖，直角坐標(biāo)系xOy所在的平面為，直角坐標(biāo)系（其中軸與y軸重合）所在的平面， （Ⅰ）已

5、知平面內(nèi)有一點(diǎn)，則點(diǎn)在平面內(nèi)的射影P的坐標(biāo)為（Ⅱ）已知平面內(nèi)的曲線C/的方程是，則曲線C/在平面內(nèi)的射影C的方程是 【答案】 【解析】 試題分析：設(shè)平面內(nèi)的點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為，則，故在平面內(nèi)的射影P的坐標(biāo)為；另：由得，即. 三．解答題 1.【2005年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷20】如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E為PD的中點(diǎn). （Ⅰ）求直線AC與PB所成角的余弦值； （Ⅱ）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N，使NE⊥面PAC，并求出N點(diǎn)到AB和AP的距離. 【解析】解法1：

6、（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)為A（0，0，0）、 B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、 P（0，0，2）、E（0，，1）， 解法2：（Ⅰ）設(shè)AC∩BD=O，連OE，則OE//PB， ∴∠EOA即為AC與PB所成的角或其補(bǔ)角. 在△AOE中，AO=1，OE= ∴ 即AC與PB所成角的余弦值為. （Ⅱ）在面ABCD內(nèi)過(guò)D作AC的垂線交AB于F，則. 2.【2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷】如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是側(cè)棱上的一點(diǎn)，。 （Ⅰ）、試確定，使直線與平面所成角的正切值為； （Ⅱ）、在

7、線段上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得對(duì)任意的，D1Q在平面上的射影垂直于，并證明你的結(jié)論。 3.【2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷18】如圖，在三棱錐V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC， D是AB的中點(diǎn)，且AC=BC=a，∠VDC=θ. （Ⅰ）求證：平面VAB⊥平面VCD； （Ⅱ）當(dāng)角θ變化時(shí)，求直線BC與平面VAB所成的角的取 值范圍. A D B C H V 解法2：（Ⅰ）以所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則， A D B C V x y z 解法3：（Ⅰ）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的

8、直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)即直線與平面所成角的取值范圍為． A D B C V x y A D B C V x y z （Ⅱ）設(shè)直線與平面所成的角為， 4.【2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷18】如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥側(cè)面A1ABB1. （Ⅰ）求證：AB⊥BC； （Ⅱ）若直線AC與平面A1BC所成的角為θ,二面角A1-BC-A的大小為φ的大小關(guān)系，并予以證明. 【解析】（Ⅰ）證明：如右圖，過(guò)點(diǎn)A在平面A1ABB1內(nèi)作 AD⊥A1B于D，則 由平面A1BC⊥側(cè)面A1ABB1,且

9、平面A1BC側(cè)面A1ABB1=A1B,得 AD⊥平面A1BC,又BC平面A1BC， 所以AD⊥BC. 因?yàn)槿庵鵄BC—A1B1C1是直三棱柱， 則AA1⊥底面ABC， 所以AA1⊥BC. 又AA1AD=A,從而B(niǎo)C⊥側(cè)面A1ABB1， 又AB側(cè)面A1ABB1，故AB⊥BC. 所以 于是由c＜b，得 即又所以 5.【2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷18】如圖，四棱錐S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且 （Ⅰ）求證：對(duì)任意的，都有 （Ⅱ）設(shè)二面角C—AE—D的大小為，直線BE與平面ABCD所成的角為，若，求的

10、值 18.【解析】（Ⅰ）證法1：如圖1，連接BE、BD，由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD。 SD⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，AC⊥BE 解法2：由（I）得. 設(shè)平面ACE的法向量為n=(x，y，z)，則由得 。 易知平面ABCD與平面ADE的一個(gè)法向量分別為. . 0<，， . 由于，解得，即為所求。 6.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷18】如圖， 在四面體ABOC中, , 且 （Ⅰ）設(shè)為為的中點(diǎn)， 證明： 在上存在一點(diǎn)，使，并計(jì)算的值； （Ⅱ）求二面角的

11、平面角的余弦值。 （Ⅱ） 連接 ， 由，知：. 又， 又由，。 是在平面內(nèi)的射影。 在等腰中，為的中點(diǎn)， 根據(jù)三垂線定理，知： 7.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷18】如圖，已知正三棱柱的各棱長(zhǎng)是4，E是BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F在側(cè)棱上，且不與點(diǎn)C重合 （Ⅰ）當(dāng)CF=1時(shí)，求證：; （Ⅱ）設(shè)二面角C-AF-E的大小為，求的最小值。 8.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷19】如圖1，，，過(guò)動(dòng)點(diǎn)A作，垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B，連接AB，沿將△折起，使（如圖2所示）． （Ⅰ）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)

12、為多少時(shí)，三棱錐的體積最大； （Ⅱ）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，設(shè)點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)，試在D A B C A C D B 圖2 圖1 M E . 棱上確定一 點(diǎn)，使得，并求與平面所成角的大?。? 【解析】 解法1：在如圖1所示的△中，設(shè)，則． 由，知，△為等腰直角三角形，所以. 由折起前知，折起后（如圖2），，，且， 所以平面．又，所以．于是 設(shè)與平面所成角的大小為，則由，，可得 ，即． 故與平面所成角的大小為 解法2：由（Ⅰ）知，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，，． 如圖

13、b，取的中點(diǎn)，連結(jié)，，，則∥. 由（Ⅰ）知平面，所以平面. 如圖c，延長(zhǎng)至P點(diǎn)使得，連，，則四邊形為正方形， 所以. 取的中點(diǎn)，連結(jié)，又為的中點(diǎn)，則∥， 9.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷19】如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)，直線平面，，分別是，的中點(diǎn)。 （I）記平面與平面的交線為，試判斷直線與平面的位置關(guān)系，并加以證明； （II）設(shè)（I）中的直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，且點(diǎn)滿足。記直線與平面所成的角為，異面直線與所成的角為，二面角的大小為，求證：。 第19題圖 【解析】(1)解：直線l∥平面PAC，證明如下： 連接EF，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是PA，PC的中

14、點(diǎn)， 所以EF∥AC. 又EF平面ABC，且AC平面ABC， 所以EF∥平面ABC. 而EF平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l. 因?yàn)閘平面PAC，EF平面PAC， 所以直線l∥平面PAC. (2)證明：(綜合法)如圖1，連接BD，由(1)可知交線l即為直線BD，且l∥AC. 因?yàn)锳B是O的直徑， 圖1 即sin θ＝sin αsin β. (向量法)如圖2，由，作DQ∥CP，且. 圖2 故sin αsin β＝＝sin θ，即sin θ＝sin αsin β. 10. 【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷19】如圖，在棱長(zhǎng)

15、為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在棱,上移動(dòng)，且. （I）當(dāng)時(shí)，證明：直線平面； （II）是否存在，使平面與面所成的二面角為直二面角？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由. 【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2） 【解析】幾何法： （I）證明：如圖1，連結(jié)，由是正方體，知， 當(dāng)時(shí)，是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，所以， 所以， 而平面，且平面， 故平面. （II）如圖2，連結(jié)，因?yàn)?、分別是、的中點(diǎn)， 由得，解得， 故存在，使平面與平面所成的二面角為直二面角. 向量法： 以為原點(diǎn)，射線分別為軸的正半軸建立如圖3的空間直角坐標(biāo)系， 由已知得， 所以，，， （I）證

16、明：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋? 所以，即， 而平面，且平面， 故直線平面. （II）設(shè)平面的一個(gè)法向量， 由可得，于是取， 同理可得平面的一個(gè)法向量為， 若存在，使平面與平面所成的二面角為直二面角， 則， 即，解得， 故存在，使平面與平面所成的二面角為直二面角. 考點(diǎn)：正方體的性質(zhì)，空間中的線線、線面、面面平行于垂直，二面角. 11. 【20xx高考湖北，理19】《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)之為鱉臑．如圖，在陽(yáng)馬中，側(cè)棱底面，且，過(guò)棱的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接 （Ⅰ）證明：．試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫(xiě)出其每個(gè)面的直角（只需寫(xiě) 出結(jié)論）；若不是，說(shuō)明理由； （Ⅱ）若面與面所成二面角的大小為，求的值． 【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）. （Ⅰ）如圖2，以為原點(diǎn)，射線分別為軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)，，則，，點(diǎn)是的中點(diǎn)， 所以，， 于是，即. 又已知，而，所以. 因, , 則, 所以. 由平面，平面，可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形， 即四面體是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為.