《精校版高中數(shù)學人教A版選修41學案：第2講 5 與圓有關的比例線段 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《精校版高中數(shù)學人教A版選修41學案：第2講 5 與圓有關的比例線段 Word版含解析（21頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料 五　與圓有關的比例線段 1．會論證相交弦、割線、切割線、切線長定理．(重點) 2．能運用相交弦、割線、切割線、切線長定理進行計算與證明．(重點、難點) [基礎·初探] 教材整理1　相交弦定理 閱讀教材P34～P35“定理”及以上部分，完成下列問題． 1．文字語言 圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等． 2．圖形語言 如圖2­5­1，弦AB與CD相交于P點，則PA·PB＝PC·PD. 圖2­5­1 AB是⊙O的直徑，弦CD⊥A

2、B，垂足為M，AM＝4，BM＝9，則弦CD的長為__________． 【解析】　根據(jù)相交弦定理，AM·BM＝2， 所以＝6，CD＝12. 【答案】　12 教材整理2　割線定理 閱讀教材P35～P36“割線定理”及以上部分，完成下列問題． 1．文字語言 從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等． 2．圖形語言 如圖2­5­2，⊙O的割線PAB與PCD，則有PA·PB＝PC·PD. 圖2­5­2 如圖2­5­3，⊙O的弦ED，CB的延長線交于點A

3、.若BD⊥AE，AB＝4，BC＝2，AD＝3，則DE＝__________. 圖2­5­3 【解析】　由割線定理知， AB·AC＝AD·AE， 即4×6＝3×(3＋DE)，解得DE＝5. 【答案】　5 教材整理3　切割線定理 閱讀教材P36“切割線定理”及以上部分，完成下列問題． 1．文字語言 從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項． 2．圖形語言 如圖2­5­4，⊙O的切線PA，切點為A，割線PBC，則有PA2＝PB·PC. 圖2&#

4、173;5­4 如圖2­5­5，P是⊙O外一點，PA與⊙O相切于點A，過點P的直線l交⊙O于B，C，且PB＝4，PC＝9，則PA等于(　　) 圖2­5­5 A．4　　　　　 B．6 C．9 D．36 【解析】　由切割線定理知，PA2＝PB·PC＝4×9＝36，∴PA＝6. 【答案】　B 教材整理4　切線長定理 閱讀教材P36～P40，完成下列問題 1．文字語言 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角． 2．圖形表示 如圖2­5­6，

5、⊙O的切線PA，PB，則PA＝PB，∠OPA＝∠OP B. 圖2­5­6 [質疑·手記] 預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：　 解惑：　 疑問2：　 解惑：　 疑問3：　 解惑：　 [小組合作型] 切割線定理 　如圖2­5­7所示，已知AD為⊙O的直徑，AB為⊙O的切線，割線BMN交AD的延長線于C，且BM＝MN＝NC，若AB＝2.求： 圖2­5­7 (1)BC的長； (2)⊙O的半徑r. 【精彩點撥】　 →→ 【自主解答】　(1)不妨設BM

6、＝MN＝NC＝x. 根據(jù)切割線定理，得AB2＝BM·BN， 即22＝x(x＋x)， 解得x＝，∴BC＝3x＝3. (2)在Rt△ABC中， AC＝＝， 由割線定理，得 CD·AC＝CN·CM，由(1)可知， CN＝，BC＝3， CM＝BC－BM＝3－＝2， AC＝， ∴CD＝＝， ∴r＝(AC－CD) ＝＝. 1．解答本題的關鍵是先根據(jù)切割線定理求BC. 2．切割線定理常常與弦切角定理、相交弦定理、平行線分線段成比例定理、相似三角形結合在一起解決數(shù)學問題，有時切割線定理利用方程進行計算、求值等． [再練一題] 1．(2

7、016·唐山期末)如圖2­5­8，△ABC內接于⊙O上，AB＝AC，AD⊥AB，AD交BC于點E，點F在DA的延長線上，AF＝AE，求證： (1)BF是⊙O的切線； (2)BE2＝AE·DF. 圖2­5­8 【證明】　(1)連接BD. 因為AD⊥AB，所以BD是⊙O的直徑． 因為AE＝AF，所以∠FBA＝∠EBA. 又因為AB＝AC，所以∠EBA＝∠C. 又因為∠C＝∠D，∠D＋∠ABD＝90°， 所以∠FBA＋∠ABD＝90°，即∠FBD＝90°，所以BF是⊙O的切線． (

8、2)由切割線定理，得BF2＝AF·DF. 因為AF＝AE，BE＝BF，所以BE2＝AE·DF. 　切線長定理 　如圖2­5­9，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點C的切線與過A，B兩點的切線分別交于點E，F(xiàn)，AF與BE交于點P. 圖2­5­9 求證：∠EPC＝∠EBF. 【精彩點撥】　 →→→→ 【自主解答】　∵EA，EF，F(xiàn)B是⊙O的切線， ∴EA＝EC，F(xiàn)C＝FB. ∵EA，F(xiàn)B切⊙O于A，B，AB是直徑， ∴EA⊥AB，F(xiàn)B⊥AB， ∴EA∥FB，∴＝，∴＝， ∴CP∥FB， ∴∠EPC＝

9、∠EBF. 1．解答本題的關鍵是利用對應線段成比例得到CP∥F B. 2．運用切線長定理時，注意分析其中的等量關系，即(1)切線長相等，(2)圓外點與圓心的連線平分兩條切線的夾角，然后結合三角形等圖形的有關性質進行計算與證明． [再練一題] 2.如圖2­5­10所示，已知⊙O的外切等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB＝DC，梯形中位線為EF. 圖2­5­10 (1)求證：EF＝AB； (2)若EF＝5，AD∶BC＝1∶4，求此梯形ABCD的面積． 【解】　(1)證明：∵⊙O為等腰梯形ABCD的內切圓， ∴AD＋BC＝AB

10、＋CD. ∵EF為梯形的中位線，∴AD＋BC＝2EF. 又∵AB＝DC，∴2EF＝2AB，∴EF＝AB. (2)∵EF＝5，∴AB＝5，AD＋BC＝10. ∵AD∶BC＝1∶4，∴AD＝2，BC＝8. 作AH⊥BC于H， 則BH＝(BC－AD)＝(8－2)＝3. 在Rt△ABH中，AH＝＝＝4， ∴S梯形ABCD＝EF·AH＝5×4＝20. [探究共研型] 相交弦定理 探究1　能否用三角形相似證明相交弦定理？ 【提示】　能．如圖，⊙O的弦AB，CD相交于P點，連接AD，BC，則△APD∽△CPB.故有＝，即PA·PB＝PC·P

11、D. 探究2　垂徑定理、切線長定理、射影定理、相交弦定理、切割線定理之間有何關系？ 【提示】　如圖，PA，PB為⊙O的兩條切線，A，B為切點，PCD為過圓心O的割線，連接AB，交PD于點E，則有下列結論： (1)PA2＝PB2＝PC·PD＝PE·PO； (2)AE2＝BE2＝DE·CE＝OE·PE； (3)若AC平分∠BAP，則C為△PAB的內心； (4)OA2＝OC2＝OE·OP＝OD2； (5) ＝，＝，PD⊥AB； (6)∠AOP＝∠BOP，∠APD＝∠BPD. 　(2016·南京、鹽城模擬)如圖2&#

12、173;5­11，AB，CD是半徑為1的圓O的兩條弦，它們相交于AB的中點P，若PC＝，OP＝，則PD＝________. 圖2­5­11 【精彩點撥】　由垂徑定理知OP⊥AB，由勾股定理知PB＝，由相交弦定理得PD＝. 【自主解答】　∵P為AB中點，∴OP⊥AB，∴PB＝＝， 又∵PC·PD＝PA·PB＝PB2＝，由PC＝，得PD＝. 【答案】　 1．解答本題的關鍵是先用勾股定理求PB，再用相交弦定理求PD. 2．相交弦定理的運用往往與相似形聯(lián)系密切，也經常與垂徑定理、射影定理等相結合進行某些計算與證明． [

13、再練一題] 3．如圖2­5­12，PC切⊙O于點C，割線PAB經過圓心O，弦CD⊥AB于點E，PC＝4，PB＝8，則CD＝________. 圖2­5­12 【解析】　由于PC切⊙O于點C，由切割線定理得PC2＝PA·PB，所以PA＝＝＝2，∴AB＝PB－PA＝8－2＝6，由于CD⊥AB，且AB為圓O的直徑，由垂徑定理知CE＝DE.設 AE＝x，由相交弦定理得CE·DE＝AE·BE＝x(6－x)，即CE2＝x(6－x)，由勾股定理得CE2＝PC2－PE2＝42－(x＋2)2，故有x(6－x)＝42－(x＋2)2，

14、解得x＝，∴CE2＝×＝，∴CE＝，∴CD＝2CE＝. 【答案】　 [構建·體系] 1．點C在⊙O的弦AB上，P為⊙O上一點，且OC⊥CP，則(　　) A．OC2＝CA·CB B．OC2＝PA·PB C．PC2＝PA·PB D．PC2＝CA·CB 【解析】　根據(jù)OC⊥CP，可知C為弦PC的中點，再由相交弦定理即有PC2＝CA·CB. 【答案】　D 2．如圖2­5­13，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，以BD為直徑的圓與BC交于點E，則(　　) A．CE·C

15、B＝AD·DB B．CE·CB＝AD·AB C．AD·AB＝CD2 D．CE·EB＝CD2 圖2­5­13 【解析】　在直角三角形ABC中，根據(jù)直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，再根據(jù)切割線定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB. 【答案】　A 3.如圖2­5­14，AB是圓O的直徑，過A，B的兩條弦AD和BE相交于點C，若圓O的半徑是3，那么AC·AD＋BC·BE的值等于________． 圖2&

16、#173;5­14 【解析】　由相交弦定理得AC·CD＝BC·CE，∴AC·AD＝AC·(AC＋CD)＝AC2＋AC·CD＝AC2＋BC·CE＝AE2＋CE2＋BC·CE＝AE2＋CE·(CE＋BC)＝AE2＋BE·CE， ∴AC·AD＋BC·BE＝AE2＋BE·CE＋BC·BE＝AE2＋BE·(CE＋BC)＝AE2＋BE2＝AB2＝36. 【答案】　36 4．如圖2­5­15，在△ABC中，∠ACB＝90°

17、，∠A＝60°，AB＝20，過C作△ABC的外接圓的切線CD，BD⊥CD，BD與外接圓交于點E，則DE的長為________． 圖2­5­15 【解析】　在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°， ∴∠ABC＝30°. ∵AB＝20，∴AC＝10，BC＝10. ∵CD為切線，∴∠BCD＝∠A＝60°. ∵∠BDC＝90°，∴BD＝15，CD＝5. 由切割線定理得 CD2＝DE·BD，即(5)2＝15DE，∴DE＝5. 【答案】　5 7．如圖2­5­16所

18、示，已知PA與⊙O相切，A為切點，PBC為割線，D為⊙O上的點，且AD＝AC，AD，BC相交于點E. 圖2­5­16 (1)求證：AP∥CD； (2)設F為CE上的一點，且∠EDF＝∠P，求證：CE·EB＝FE·EP. 【證明】　(1)∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC. 又∵PA與⊙O相切于點A，∴∠ACD＝∠PAD. ∴∠PAD＝∠ADC，∴AP∥CD. (2)∵∠EDF＝∠P，且∠FED＝∠AEP， ∴△FED∽△AEP，∴FE·EP＝AE·ED. 又∵A，B，D，C四點均在⊙O上， ∴CE·E

19、B＝AE·ED，∴CE·EB＝FE·EP. 我還有這些不足： (1)　 (2)　 我的課下提升方案： (1)　 (2)　 學業(yè)分層測評(十) (建議用時：45分鐘) [學業(yè)達標] 一、選擇題 1．如圖2­5­17，⊙O的兩條弦AB與CD相交于點E，EC＝1，DE＝4，AE＝2，則BE＝(　　) 圖2­5­17 A．1　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．4 【解析】　由相交弦定理得AE·EB＝DE·EC，即2EB＝4×1，∴BE＝2. 【答案】　

20、B 2．PT切⊙O于T，割線PAB經過點O交⊙O于A，B，若PT＝4，PA＝2，則cos∠BPT＝(　　) A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. 【解析】　如圖所示，連接OT，根據(jù)切割線定理，可得 PT2＝PA·PB，即42＝2×PB， ∴PB＝8，∴AB＝PB－PA＝6， ∴OT＝r＝3，PO＝PA＋r＝5， ∴cos∠BPT＝＝. 【答案】　A 3．如圖2­5­18，⊙O的直徑CD與弦AB交于P點，若AP＝4，BP＝6，CP＝3，則⊙O的半徑為(　　) 圖2­5­18 A．5.5 B．5

21、 C．6 D．6.5 【解析】　由相交弦定理知AP·BP＝CP·PD， ∵AP＝4，BP＝6，CP＝3， ∴PD＝＝＝8， ∴CD＝3＋8＝11，∴⊙O的半徑為5.5. 【答案】　A 4．如圖2­5­19，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.以BC上一點O為圓心作⊙O與AC，AB都相切，又⊙O與BC的另一個交點為D，則線段BD的長為(　　) 圖2­5­19 A．1　　 B.　　 C.　　 D. 【解析】　觀察圖形，AC與⊙O切于點C，AB與⊙O切于點E，則AB＝＝5. 如圖，連接OE

22、，由切線長定理得AE＝AC＝4， 故BE＝AB－AE＝5－4＝1. 根據(jù)切割線定理得BD·BC＝BE2， 即3BD＝1，故BD＝. 【答案】　C 5.如圖2­5­20，AD，AE，BC分別與圓O切于點D，E，F(xiàn)，延長AF與圓O交于另一點G.給出下列三個結論： 圖2­5­20 ①AD＋AE＝AB＋BC＋AC；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG. 其中正確結論的序號是(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【解析】　①項，∵BD＝BF，CE＝CF，∴AD＋AE＝AC＋

23、CE＋AB＋BD＝AC＋AB＋CF＋BF＝AC＋AB＋BC，故①正確； ②項，∵AD＝AE，AD2＝AF·AG，∴AF·AG＝AD·AE，故②正確； ③項，延長AD于M，連接FD，∵AD與圓O切于點D，則∠GDM＝∠GFD， ∴∠ADG＝∠AFD≠∠AFB，則△AFB與△ADG不相似，故③錯誤，故選A. 【答案】　A 二、填空題 6．如圖2­5­21，已知AB和AC是圓的兩條弦，過點B作圓的切線與AC的延長線交于D，過點C作BD的平行線與圓交于點E，與AB交于點F，AF＝3，F(xiàn)B＝1，EF＝，則CD＝________. 圖2&

24、#173;5­21 【解析】　因為AF·BF＝EF·CF，解得CF＝2，由CE∥BD，得＝，所以＝，即BD＝.設CD＝x，AD＝4x，所以4x2＝，所以x＝. 【答案】　 7．如圖2­5­22，AB為圓O的直徑，PA為圓O的切線，PB與圓O相交于D，若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，則PD＝________，AB＝________. 圖2­5­22 【解析】　由于PD∶DB＝9∶16，設PD＝9a，則DB＝16a. 根據(jù)切割線定理有PA2＝PD·P B.又PA＝3，PB＝25a， ∴9＝9a

25、83;25a，∴a＝，∴PD＝，PB＝5. 在Rt△PAB中，AB2＝PB2－AP2＝25－9＝16，故AB＝4. 【答案】　　4 8．如圖2­5­23所示，過點P的直線與⊙O相交于A，B兩點．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，則⊙O的半徑等于________． 圖2­5­23 【解析】　設⊙O的半徑為r(r>0)，∵PA＝1，AB＝2， ∴PB＝PA＋AB＝3. 延長PO交⊙O于點C，則PC＝PO＋r＝3＋r. 設PO交⊙O于點D，則PD＝3－r. 由圓的割線定理知，PA·PB＝PD·PC， ∴1

26、5;3＝(3－r)(3＋r)， ∴9－r2＝3，∴r＝. 【答案】　 三、解答題 9．(2016·山西四校聯(lián)考)如圖2­5­24所示，PA為圓O的切線，A為切點，PO交圓O于B，C兩點，PA＝10，PB＝5，∠BAC的角平分線與BC和圓O分別交于點D和E. 圖2­5­24 (1)求證：＝； (2)求AD·AE的值． 【解】　(1)證明：∵PA為圓O的切線，∴∠PAB＝∠ACP.又∠P為公共角， △PAB∽△PCA，∴＝. (2)∵PA為圓O的切線，PC是過點O的割線， ∴PA2＝PB·PC，∴PC＝

27、20，BC＝15. 又∵∠CAB＝90°，∴AC2＋AB2＝BC2＝225. 又由(1)知＝＝，∴AC＝6，AB＝3，連接EC，則∠CAE＝∠EAB，∠AEC＝∠ABD. ∴△ACE∽△ADB，∴＝. ∴AD·AE＝AB·AC＝3×6＝90. 10．如圖2­5­25，已知PA，PB切⊙O于A，B兩點，PO＝4cm，∠APB＝60°，求陰影部分的周長． 圖2­5­25 【解】　如圖所示，連接OA，O B. ∵PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點， ∴PA＝PB，∠PAO＝∠PB

28、O＝， ∠APO＝∠APB＝， 在Rt△PAO中， AP＝PO·cos＝4×＝2 (cm)， OA＝PO＝2 (cm)，PB＝2 (cm)． ∵∠APO＝，∠PAO＝∠PBO＝，∴∠AOB＝， ∴l(xiāng)＝∠AOB·R＝×2＝π(cm)， ∴陰影部分的周長為 PA＋PB＋l＝2＋2＋π＝(cm)． [能力提升] 1．如圖2­5­26，已知PT切⊙O于點T，TC是⊙O的直徑，割線PBA交TC于點D，交⊙O于B，A(B在PD上)，DA＝3，DB＝4，DC＝2，則PB等于(　　) 圖2­5­26

29、A．20　　 B．10 C．5 D．8 【解析】　∵DA＝3，DB＝4，DC＝2， 由相交弦定理得DB·DA＝DC·DT， 即DT＝＝＝6. 因為TC為⊙O的直徑，所以PT⊥DT. 設PB＝x， 則在Rt△PDT中， PT2＝PD2－DT2＝(4＋x)2－36. 由切割線定理得PT2＝PB·PA＝x(x＋7)， 所以(4＋x)2－36＝x(x＋7)， 解得x＝20，即PB＝20. 【答案】　A 2．如圖2­5­27，△ABC中，∠C＝90°，⊙O的直徑CE在BC上，且與AB相切于D點，若CO∶OB＝1∶3，A

30、D＝2，則BE等于(　　) 圖2­5­27 A. B．2 C．2 D．1 【解析】　連接OD， 則OD⊥BD， ∴Rt△BOD∽Rt△BAC， ∴＝. 設⊙O的半徑為a， ∵OC∶OB＝1∶3，OE＝OC， ∴BE＝EC＝2a. 由題知AD，AC均為⊙O的切線，AD＝2， ∴AC＝2. ∴＝，∴BD＝2a2. 又BD2＝BE·BC， ∴BD2＝2a·4a＝8a2， ∴4a4＝8a2，∴a＝， ∴BE＝2a＝2. 【答案】　B 3．如圖2­5­28，已知P是⊙O外一點，PD為⊙O的切線，D為

31、切點，割線PEF經過圓心O，若PF＝12，PD＝4，則圓O的半徑長為__________，∠EFD的度數(shù)為__________． 圖2­5­28 【解析】　由切割線定理得， PD2＝PE·PF， ∴PE＝＝＝4，EF＝8，OD＝4. ∵OD⊥PD，OD＝PO， ∴∠P＝30°，∠POD＝60°， ∴∠EFD＝30°. 【答案】　4　30° 4．如圖2­5­29，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，BC交⊙O于點E. 圖2­5­29 (1)若D為AC的中點，

32、證明：DE是⊙O的切線； (2)若OA＝CE，求∠ACB的大?。? 【解】　(1)證明：如圖，連接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB. 在Rt△AEC中，由已知得DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE. 連接OE，則∠OBE＝∠OEB. 又∠ACB＋∠ABC＝90°， 所以∠DEC＋∠OEB＝90°， 故∠OED＝90°，即DE是⊙O的切線． (2)設CE＝1，AE＝x. 由已知得AB＝2，BE＝. 由射影定理可得AE2＝CE·BE， 即x2＝，即x4＋x2－12＝0， 解得x＝，所以∠ACB＝60°. 最新精品資料