《精校版高中數(shù)學人教A版選修41學案：第1講 1 平行線等分線段定理 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《精校版高中數(shù)學人教A版選修41學案：第1講 1 平行線等分線段定理 Word版含解析（19頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料 一　平行線等分線段定理 1．掌握平行線等分線段定理及其兩個推論．(重點) 2．能運用平行線等分線段定理及其兩個推論進行簡單的證明或計算．(難點) [基礎(chǔ)初探] 教材整理1　平行線等分線段定理 閱讀教材P2～P3定理以上部分，完成下列問題． 1．文字語言 如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等． 2．圖形語言 如圖111，l1∥l2∥l3，l分別交l1，l2，l3于A，B，C，l′分別交l1，l2，l3于A1，B1，C1，若AB＝BC，則A1B1＝B1C1. 圖111 教

2、材整理2　平行線等分線段 定理的推論 閱讀教材P4～P5“習題”以上部分，完成下列問題． 1．推論1 經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊． 2．推論2 經(jīng)過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線平分另一腰． 在梯形ABCD中，M，N分別是腰AB與腰CD的中點，且AD＝2，BC＝4，則MN等于(　　) A．2.5　　　　　　　 B．3 C．3.5 D．不確定 【解析】　由梯形中位線定理知選 B. 【答案】　B [質(zhì)疑手記] 預(yù)習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：　 解惑：　 疑問2：　 解惑：　 疑問3：　 解

3、惑：　 [小組合作型] 平行線等分線段定理推論1的應(yīng)用 　如圖112，在△ABC中，AD，BF為中線，AD，BF交于G，CE∥FB交AD的延長線于E.求證：AG＝2DE. 圖112 【精彩點撥】　→→ → 【自主解答】　在△AEC中， ∵AF＝FC，GF∥EC， ∴AG＝GE. ∵CE∥FB， ∴∠GBD＝∠ECD，∠BGD＝∠E. 又BD＝DC， ∴△BDG≌△CDE. 故DG＝DE，即GE＝2DE， 因此AG＝2DE. 1．如果已知條件中出現(xiàn)中點，往往運用三角形的中位線定理來解決問題． 2．本例在證明DG＝DE時也可以過D作EC的平行線

4、DH. 因為BG∥DH∥CE且BD＝CD得DG＝DE，使用平行線等分線段定理來證明． [再練一題] 1．如圖113，已知AD是三角形ABC的中線，E為AD的中點，BE的延長線交AC于F.求證：AF＝AC. 圖113 【證明】　過D作DH∥BF，交AC于H. ∵BD＝CD，DH∥BF， ∴FH＝CH. 同理AF＝FH. ∴AF＝FH＝CH， ∴AF＝AC. 　平行線等分線段定理推論2的應(yīng)用 　如圖114所示，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B＝60，BC＝AB，E為AB的中點．求證：△ECD為等邊三角形． 圖114 【精彩點撥】　過E作E

5、F∥BC，先證明EC＝ED，再連接AC，證明∠BCE＝30，從而∠ECD＝60. 【自主解答】　過E作EF∥BC交DC于F，連接AC，如圖所示． ∵AD∥BC，E為AB中點， ∴F是DC中點．?、? 又∵DC⊥BC，EF∥BC， ∴EF⊥DC.?、? ∴由①②知，EF是DC的垂直平分線， ∴△ECD為等腰三角形．?、? ∵BC＝AB，∠B＝60， ∴△ABC是等邊三角形． 又∵E是AB中點， ∴CE是∠ACB的平分線， ∴∠BCE＝30，∴∠ECD＝60.?、? 由③④知，△ECD為等邊三角形． 1．解答本題的關(guān)鍵是通過證明△ABC是等邊三角形來證明∠BCE＝3

6、0. 2．有梯形且存在線段中點時，常過該點作平行線，構(gòu)造平行線等分線段定理的推論2的基本圖形，進而進行幾何證明或計算． [再練一題] 2．如圖115，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，EF交BD于G，交AC于H.求證：EG＝GH＝HF. 圖115 【證明】　∵E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，AD∥BC. ∴EF∥AD，EF∥BC. ∴G，H分別是BD，AC的中點． ∴EG綊AD，F(xiàn)H綊AD，∴EG＝FH. ∵BC＝2AD，EH＝BC，∴EH＝AD， 又EG＝AD，∴GH＝EH－EG＝AD－AD＝AD， ∴EG＝GH，即EG＝G

7、H＝HF. [探究共研型] 平行線等分線段定理 探究1　你還有其它證明定理的方法嗎？ 【提示】　 證明：過B2作CD∥A1A3，分別交l1，l3于C，D，則可得到?A1A2B2C和?A2A3DB2. ∴A1A2＝CB2，A2A3＝B2D. ∵A1A2＝A2A3， ∴CB2＝B2D. 又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴△B1B2C≌△B3B2D， ∴B1B2＝B2B3. 探究2　平行線等分線段定理的逆命題成立嗎？ 【提示】　平行線等分線段定理的逆命題是：如果一組直線截另一組直線成相等的線段，那么這組直線平行，這個命題是錯誤的．(如圖所示) 　如圖116，已知AC

8、⊥AB，DB⊥AB，O是CD的中點，求證：OA＝O B. 圖116 【精彩點撥】　由于線段OA和OB有共同端點，則轉(zhuǎn)化為證明△OAB是等腰三角形即可． 【自主解答】　過O作AB的垂線，垂足為E，如圖所示． 又∵AC⊥AB，DB⊥AB， ∴OE∥AC∥D B. 又∵O為CD的中點， ∴E為AB的中點，又OE⊥AB， ∴△OAB是等腰三角形，∴OA＝O B. 1．本題中由AC⊥AB，DB⊥AB知AC∥DB，聯(lián)想到作OE⊥AB，再根據(jù)平行線等分線段定理證明點E是AB的中點． 2．平行線等分線段定理應(yīng)在有線段的中點時應(yīng)用，在沒有線段的中點時構(gòu)造線段的中點來應(yīng)用．

9、 [再練一題] 3．如圖117，已知?ABCD的對角線AC，BD交于點O，過點A，B，C，D，O分別作直線a的垂線，垂足分別為A′，B′，C′，D′，O′.求證：A′D′＝B′C′. 圖117 【證明】　∵?ABCD的對角線AC，BD交于點O， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵AA′⊥a，OO′⊥a，CC′⊥a， ∴AA′∥OO′∥CC′， ∴O′A′＝O′C′， 同理O′D′＝O′B′， ∴A′D′＝B′C′. [構(gòu)建體系] 1．如圖118所示，DE是△ABC的中位線，F(xiàn)是BC上任一點，AF交DE于G，則有(　　) 圖118 A．AG>GF B．A

10、G＝GF C．AG

11、A．3 cm　　　　 B. cm C．5 cm D．10 cm 【解析】　由平行線等分線段定理知，BO＝ cm. 【答案】　B 4．如圖1111所示，AF＝FD＝BD，F(xiàn)G∥DE∥BC，若EP＝1，則BC＝________. 圖1111 【解析】　由平行線等分線段定理知AG＝GE＝EC，則EP是△CFG的中位線，故FG＝2，又FG是△ADE的中位線，∴DE＝4，DP＝3，又DP是△FBC的中位線， ∴BC＝6. 【答案】　6 5．如圖1112，已知以梯形ABCD的對角線AC及腰AD為鄰邊作?ACED，DC的延長線交BE于F.求證：EF＝BF. 圖1112

12、【證明】　連接AE交DC于O， ∵四邊形ACED是平行四邊形， ∴O是AE的中點(平行四邊形的對角線互相平分)． ∵四邊形ABCD是梯形， ∴DC∥A B.在△EAB中，OF∥AB，O是AE的中點， ∴F是EB的中點，∴EF＝BF. 我還有這些不足： (1)　 (2)　 我的課下提升方案： (1)　 (2)　 學業(yè)分層測評(一) (建議用時：45分鐘) [學業(yè)達標] 一、選擇題 1．如圖1113，已知l1∥l2∥l3，AB，CD相交于l2上一點O，且AO＝OB，則下列結(jié)論中錯誤的是(　　) 圖1113 A．AC＝BD B．AE＝ED C

13、．OC＝OD D．OD＝OB 【解析】　由l1∥l2∥l3知AE＝ED，OC＝OD， 由△AOC≌△BOD知AC＝BD， 但OD與OB不能確定其大小關(guān)系． 故選D. 【答案】　D 2．如圖1114，已知AE⊥EC，CE平分∠ACB ，DE∥BC，則DE等于(　　) 圖1114 A．BC－AC B．AC－BF C.(AB－AC) D.(BC－AC) 【解析】　由已知得CE是線段AF的垂直平分線． ∴AC＝FC，AE＝EF. ∵DE∥BC， ∴DE是△ABF的中位線， ∴DE＝BF＝(BC－AC)． 【答案】　D 3．如圖1115所示，過梯形ABCD的腰

14、AD的中點E的直線EF平行于底邊，交BC于F，若AE的長是BF的長的，則FC是ED的(　　) 圖1115 A.倍 B.倍 C．1倍 D.倍 【解析】　∵AB∥EF∥DC，且AE＝DE， ∴BF＝FC.又∵AE＝BF， ∴FC＝ED. 【答案】　B 4．如圖1116，在梯形ABCD中，E為AD的中點，EF∥AB，EF＝30 cm，AC交EF于G，若FG－EG＝10 cm，則AB＝(　　) 圖1116 A．30 cm B．40 cm C．50 cm D．60 cm 【解析】　由平行線等分線段定理及推論知，點G，F(xiàn)分別是線段AC，BC的中點，則 EG＝DC，

15、FG＝AB， ∴ 解得 【答案】　B 5.如圖1117，在梯形ABCD中，AD∥BC，E為BC中點，且AE∥DC，AE交BD于點F，過點F的直線交AD的延長線于點M，交CB的延長線于點N，則FM與FN的關(guān)系為(　　) 圖1117 A．FM>FN　　 B．FM

16、D∥BC，AD＝2，BC＝6，E，F(xiàn)分別為對角線BD，AC的中點，則EF＝____. 圖1118 【解析】　如圖所示，過E作GE∥BC交BA于G. ∵E是DB的中點， ∴G是AB的中點，又F是AC的中點， ∴GF∥BC，∴G，E，F(xiàn)三點共線， ∴GE＝AD＝1，GF＝BC＝3， ∴EF＝GF－GE＝3－1＝2. 【答案】　2 7．如圖1119，已知在△ABC中，AD∶DC＝1∶1，E為BD的中點，AE延長線交BC于F，則BF與FC的比值為__________． 圖1119 【解析】　過D作DG平行于BC，交AF于點G，再根據(jù)平行線等分線段定理即可解決． 【答案】

17、　 8．如圖1120，在△ABC中，E是AB的中點，EF∥BD，EG∥AC，CD＝AD，若EG＝5 cm，則AC＝________；若BD＝20 cm，則EF＝________. 圖1120 【解析】　∵E為AB的中點，EF∥BD， ∴F為AD的中點． ∵E為AB的中點，EG∥AC，∴G為BD的中點，若EG＝5 cm，則AD＝10 cm，又CD＝AD＝5 cm，∴AC＝15 cm.若BD＝20 cm ，則EF＝BD＝10 cm. 【答案】　15 cm　10 cm 三、解答題 9．(2016南京模擬)如圖1121，在梯形ABCD中，CD⊥BC，AD∥BC，E為腰CD的中點，且

18、AD＝2 cm，BC＝8 cm，AB＝10 cm，求BE的長度． 圖1121 【解】　過E點作直線EF平行于BC，交AB于F，作BG⊥EF于G(如圖)， 因為E為腰CD的中點，所以F為AB的中點，所以BF＝AB＝5 cm， 又EF＝＝＝5(cm)， GF＝BC－FE＝8 cm－5 cm＝3 cm， 所以GB＝＝＝4 cm， EC＝GB＝4 cm， 所以BE＝＝＝4(cm)． 10．用一張矩形紙，你能折出一個等邊三角形嗎？如圖1122(1)，先把矩形紙ABCD對折，設(shè)折痕為MN；再把B點疊在折痕線上，得到Rt△ABE，沿著EB線折疊，就能得到等邊△EAF，如圖(2)．想一想

19、，為什么？ 圖1122 【解】　利用平行線等分線段定理的推論2， ∵N是梯形ADCE的腰CD的中點，NP∥AD， ∴P為EA的中點． ∵在Rt△ABE中，PA＝PB(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)， ∴∠1＝∠3. 又∵PB∥AD， ∴∠3＝∠2，∴∠1＝∠2. 又∵∠1與和它重合的角相等， ∴∠1＝∠2＝30. 在Rt△AEB中，∠AEB＝60，∠1＋∠2＝60， ∴△AEF是等邊三角形． [能力提升] 1．如圖1123，AD是△ABC的高，E為AB的中點，EF⊥BC于F，如果DC＝BD，那么FC是BF的(　　) 圖1123 A.倍　　　　 B

20、.倍 C.倍 D.倍 【解析】　∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD. 又E為AB的中點，由推論1知F為BD的中點， 即BF＝FD. 又∵DC＝BD，∴DC＝BF. ∴FC＝FD＋DC＝BF＋DC＝BF. 【答案】　A 2．梯形的一腰長10 cm，該腰和底邊所形成的角為30，中位線長為12 cm，則此梯形的面積為(　　) A．30 cm2 B．40 cm2 C．50 cm2 D．60 cm2 【解析】　如圖，過A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，AE＝ABsin 30＝5 cm.又已知梯形的中位線長為12 cm， ∴AD＋BC＝212＝24(cm)． ∴梯形的面

21、積S＝(AD＋BC)AE ＝524＝60(cm2)． 【答案】　D 3．如圖1124，AB＝AC，AD⊥BC于D，M是AD的中點，CM交AB于P，DN∥CP，若AB＝9 cm，則AP＝__________；若PM＝1 cm，則PC＝__________. 圖1124 【解析】　由AB＝AC和AD⊥BC，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，得D是BC的中點．再由DN∥CP，可得N是BP的中點．同理可得P是AN的中點，由此可得答案． 【答案】　3 cm　4 cm 4．如圖1125所示，AE∥BF∥CG∥DH，AB＝BC＝CD，AE＝12，DH＝16，AH交BF于點M，求BM與CG的長． 圖1125 【解】　如圖，取BC的中點P，作PQ∥DH交EH于點Q，則PQ是梯形ADHE的中位線． ∵AE∥BF∥CG∥DH， AB＝BC＝CD， AE＝12，DH＝16， ∴＝，＝， ∴＝， ∴BM＝4. ∵PQ為梯形的中位線， ∴PQ＝(AE＋DH)＝(12＋16)＝14. 同理，CG＝(PQ＋DH)＝(14＋16)＝15. 最新精品資料