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1、最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料 一圓周角定理 [對應學生用書P18] 1．圓周角定理 文字語言 圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半 圖形語言 符號語言 在⊙O中，所對的圓周角和圓心角分別是∠BAC，∠BOC，則有∠BAC＝∠BOC 作用 確定圓中兩個角的大小關(guān)系 2．圓心角定理 文字語言 圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù) 圖形語言 符號語言 A，B是⊙O上兩點，則弧的度數(shù)等于∠AOB的度數(shù) 作用 確定圓弧或圓心角的度數(shù) 3．圓周角定理的推論 (1)推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所

2、對的弧也相等． (2)推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑． [說明]　(1)圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等，但并不是“圓心角等于它所對的弧”； (2)“相等的圓周角所對的弧也相等”的前提條件是“在同圓或等圓中”． [對應學生用書P18] 與圓周角定理相關(guān)的證明 [例1]　如圖，已知：△ABC內(nèi)接于⊙O，D、E在BC邊上，且BD＝CE，∠1＝∠2，求證：AB＝AC. [思路點撥]　證明此題可先添加輔助線構(gòu)造等弦、等弧的條件，再由圓周角定理及其推論證明． [證明]　如圖，延長AD、AE分別交⊙O于F、G，連接BF、CG，

3、 ∵∠1＝∠2， ∴＝， ∴BF＝CG，＝， ∴∠FBD＝∠GCE. 又∵BD＝CE， ∴△BFD≌△CGE，∴∠F＝∠G， ∴＝，∴AB＝AC. (1)有關(guān)圓的題目中，圓周角與它所對的弧經(jīng)常相互轉(zhuǎn)化，即欲證圓周角相等，可轉(zhuǎn)化為證明它們所對的弧相等；要證線段相等可以轉(zhuǎn)化為證明它們所對的弧相等，這是證明圓中線段相等的常見策略． (2)若已知條件中出現(xiàn)直徑，則常用到“直徑所對的圓周角為直角”這一性質(zhì)解決問題． 1.如圖，OA是⊙O的半徑，以OA為直徑的⊙C與⊙O的弦AB相交于點D. 求證：D是AB的中點． 證明：連接OD、BE. 因為∠ADO＝∠ABE＝9

4、0°， 所以OD和BE平行． 又因為O是AE的中點， 所以D是AB的中點． 2．已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圓的直徑． 求證：∠BAE＝∠DAC. 證明：連接BE， 因為AE為直徑， 所以∠ABE＝90°. 因為AD是△ABC的高， 所以∠ADC＝90°. 所以∠ADC＝∠ABE. 因為∠E＝∠C， 所以∠BAE＝90°－∠E， ∠DAC＝90°－∠C. 所以∠BAE＝∠DAC. 3．已知⊙O中，AB＝AC，D是BC延長線上一點，AD交⊙O于E. 求證：AB2＝AD·AE. 證明：如

5、圖， ∵AB＝AC，∴＝. ∴∠ABD＝∠AEB. 在△ABE與△ADB中， ∠BAE＝∠DAB， ∠AEB＝∠ABD， ∴△ABE∽△ADB. ∴＝，即AB2＝AD·AE. 利用圓周角進行計算 [例2]　如圖，已知BC為半⊙O的直徑，AD⊥BC，垂足為D，BF交AD于E，且AE＝BE. (1)求證：＝； (2)如果sin ∠FBC＝，AB＝4，求AD的長． [思路點撥]　BC為半⊙O的直徑，連接AC，構(gòu)造Rt△ABC. [解]　(1)證明：如圖， 連接AC. ∵BC是半⊙O的直徑， ∴∠BAC＝90°， 又AD⊥BC，垂足為D，

6、 ∴∠1＝∠3. 在△AEB中，AE＝BE， ∴∠1＝∠2. ∴∠2＝∠3，即A＝A. (2)設DE＝3x， ∵AD⊥BC，sin∠FBC＝， ∴BE＝5x，BD＝4x. ∵AE＝BE， ∴AE＝5x，AD＝8x. 在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，AB＝4， ∴(8x)2＋(4x)2＝(4)2， 解得x＝1， ∴AD＝8. 與圓周角定理有關(guān)的線段的計算、角的計算，不僅可以通過計算弧、圓心角、圓周角的度數(shù)來求相關(guān)的角、線段，有時還可以通過三角形相似、解三角形等來計算． 4．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，則∠

7、OCD的度數(shù)是(　　) A．40°　　　　　　　　　　　 B．25° C．50° D．60° 解析：連接OB.因為∠A＝50°，所以弦BC所對的圓心角∠BOC＝100°，∠COD＝∠BOC＝50°，∠OCD＝90°－∠COD＝40°. 答案：A 5.如圖，△ABC的角平分線AD的延長線交它的外接圓于點E. (1)證明：△ABE∽△ADC； (2)若△ABC的面積S＝AD·AE， 求∠BAC的大?。? 解：(1)證明：由已知條件可得∠BAE＝∠CAD. 因為∠AEB與∠A

8、CB是同弧上的圓周角， 所以∠AEB＝∠ACD. 故△ABE∽△ADC. (2)因為△ABE∽△ADC， 所以＝，即AB·AC＝AD·AE. 又S＝AB·AC·sin ∠BAC，且S＝AD·AE， 所以AB·AC·sin ∠BAC＝AD·AE. 則sin ∠BAC＝1. 又∠BAC為三角形內(nèi)角， 所以∠BAC＝90°. [對應學生用書P20] 一、選擇題 1．如圖，在⊙O中，∠BOC＝50°，則∠A的大小為(　　) A．25°　　　　　　　　 B．50&#

9、176; C．75° D．100° 解析：由圓周角定理得∠A＝∠BOC＝25°. 答案：A 2.如圖所示，若圓內(nèi)接四邊形的對角線相交于E，則圖中相似三角形有(　　) A．1對 B．2對 C．3對 D．4對 解析：由推論1知： ∠ADB＝∠ACB，∠ABD＝∠ACD， ∠BAC＝∠BDC，∠CAD＝∠CBD， ∴△AEB∽△DEC，△AED∽△BEC. 答案：B 3．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，則此三角形外接圓半徑為(　　) A. B．2 C．2 D．4 解析：由推論2知

10、AB為Rt△ABC的外接圓的直徑，又AB＝＝4，故外接圓半徑r＝AB＝2. 答案：B 4.如圖，已知AB是半圓O的直徑，弦AD，BC相交于P，若CD＝3，AB＝4，則tan ∠BPD等于(　　) A. B. C. D. 解析：連接BD，則∠BDP＝90°. ∵△CPD∽△APB，∴＝＝. 在Rt△BPD中，cos ∠BPD＝＝， ∴tan ∠BPD＝. 答案：D 二、填空題 5．在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝3，則△ABC的周長是________． 解析：由圓周角定理， 得∠A＝∠D＝∠ACB＝60°. ∴AB

11、＝BC. ∴△ABC為等邊三角形． ∴周長等于9. 答案：9 6．如圖，AB為半圓O的直徑，OC⊥AB，OD平分∠BOC，交半圓于點D，AD交OC于點E，則∠AEO的度數(shù)是________． 解析：因為OD平分∠BOC， 且∠BOC＝90°， 所以∠BOD＝∠BOC＝45°， 所以∠OAD＝∠BOD＝22.5°. 在Rt△AEO中，∠AOE＝90°， 則∠AEO＝90°－∠OAE＝67.5°. 答案：67.5° 7．如圖所示，已知⊙O為△ABC的外接圓，AB＝AC＝6，弦AE交BC于D，若AD＝4

12、，則AE＝________. 解析：連接CE，則∠AEC＝∠ABC， 又△ABC中，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠AEC＝∠ACB， ∴△ADC∽△ACE， ∴＝， ∴AE＝＝9. 答案：9 三、解答題 8.(2012·江蘇高考)如圖，AB是圓O的直徑，D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點，連結(jié)BD并延長至點C，使BD＝DC，連結(jié)AC，AE，DE. 求證：∠E＝∠C. 解：連結(jié)OD，因為BD＝DC，O為AB的中點， 所以OD∥AC，于是∠ODB＝∠C. 因為OB＝OD，所以∠ODB＝∠B.于是∠B＝∠C. 因為點A，E，B，D都在圓O上，且D，E

13、為圓O上位于AB異側(cè)的兩點，所以∠E和∠B為同弧所對的圓周角，故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C. 9．如圖，已知△ABC內(nèi)接于圓，D為中點，連接AD交BC于E. 求證：(1)＝； (2)AB·AC＝AE2＋EB·EC. 證明：(1)連接CD. ∵∠1＝∠3，∠4＝∠5， ∴△ABE∽△CDE.∴＝. (2)連接BD. ∵＝， ∴AE·DE＝BE·EC. ∴AE2＋BE·EC＝AE2＋AE·DE ＝AE(AE＋DE)＝AE·AD.① 在△ABD與△AEC中，∵D為的中點， ∴∠1＝∠2. 又∵∠ACE＝

14、∠ACB＝∠ADB， ∴△ABD∽△AEC.∴＝， 即AB·AC＝AD·AE② 由①②知：AB·AC＝AE2＋EB·EC. 10．如圖，已知A，B，C，D，E均在⊙O上，且AC為⊙O的直徑． (1)求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的值； (2)若⊙O的半徑為，AD與EC交于點M，且E，D為弧AC的三等分點，求MD的長． 解：(1)連接OB，OD，OE，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E ＝(∠COD＋∠DOE＋∠EOA＋∠AOB＋∠BOC) ＝×360°＝180°. (2)連接OM和CD，因為AC為⊙O的直徑， 所以∠ADC＝90°，又E，D為的三等分點， 所以∠A＝∠ECA＝∠EOA＝××180°＝30°， 所以OM⊥AC.因為⊙O的半徑為，即OA＝， 所以AM＝＝＝1. 在Rt△ADC中，AD＝AC·cos∠A＝2××＝. 則MD＝AD－AM＝. 最新精品資料