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1、最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料 四直角三角形的射影定理 課標(biāo)解讀 1.了解射影定理的推導(dǎo)過(guò)程． 2.會(huì)用射影定理進(jìn)行相關(guān)計(jì)算與證明. 1．射影 (1)點(diǎn)在直線上的正射影：從一點(diǎn)向一直線所引垂線的垂足，叫做這個(gè)點(diǎn)在這條直線上的正射影. (2)線段在直線上的正射影：線段的兩個(gè)端點(diǎn)在這條直線上的正射影間的線段． (3)射影：點(diǎn)和線段的正射影簡(jiǎn)稱為射影． 2．射影定理 (1)文字語(yǔ)言 直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的比例中項(xiàng)． (2)圖形語(yǔ)言 如圖1－4－1，在Rt△ABC中，CD為斜邊AB上

2、的高， 則有CD2＝AD·BD. AC2＝AD·AB. BC2＝BD·AB. 1．如何使用射影定理？ 【提示】　運(yùn)用射影定理時(shí)，要注意其成立的條件，要結(jié)合圖形去記憶定理，當(dāng)所給條件中具備定理?xiàng)l件時(shí)，可 直接運(yùn)用，有時(shí)也可通過(guò)作垂線使之滿足定理的條件，在處理一些綜合問(wèn)題時(shí)，常常與三角形的相似相聯(lián)系． 2．如何用射影定理證明勾股定理？ 【提示】　 如圖所示，在Rt△ABC中，AC⊥CB，CD⊥AB于D，則由射影定理可得AC2＝AD·AB，BC2＝BD·BA， 則AC2＋BC2＝AD·AB＋BD·BA＝

3、(AD＋BD)·AB＝AB2， 即AC2＋BC2＝AB2. 由此可見(jiàn)，利用射影定理可以證明勾股定理．過(guò)去我們是用面積割補(bǔ)的方法證明勾股定理的，現(xiàn)在我們又用射影定理證明勾股定理，而且這種方法簡(jiǎn)捷明快，比面積法要方便得多． 3．直角三角形射影定理的逆定理是什么？如何證明？ 【提示】　直角三角形射影定理的逆定理： 如果一個(gè)三角形一邊上的高是另兩邊在這條邊上的射影的比例中項(xiàng)，那么這個(gè)三角形是直角三角形． 符號(hào)表示：如圖，在△ABC中，CD⊥AB于D，若CD2＝AD·BD，則△ABC為直角三角形． 證明如下： ∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°，

4、 又∵CD2＝AD·BD，即AD∶CD＝CD∶BD， ∴△ACD∽△CBD，∴∠CAD＝∠BCD. 又∵∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝∠ACD＋∠CAD＝90°，即△ABC為直角三角形． 與射影定理有關(guān)的計(jì)算 　已知：CD是直角三角形ABC斜邊AB上的高，如果兩直角邊AC，BC的長(zhǎng)度比為AC∶BC＝3∶4. 求：(1)AD∶BD的值； (2)若AB＝25 cm，求CD的長(zhǎng)． 【思路探究】　先根據(jù)AC∶BC與AD∶BD之間的關(guān)系求出AD∶BD的值；再根據(jù)斜邊AB的長(zhǎng)及AD∶BD的值分別確定AD與BD的值．最后

5、由射影定理CD2＝AD·BD，求得CD的長(zhǎng)． 【自主解答】　(1)∵AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB， ∴＝， ∴＝()2＝()2＝， 即AD∶BD＝9∶16. (2)∵AB＝25 cm，AD∶BD＝9∶16， ∴AD＝×25＝9(cm)． BD＝×25＝16(cm)， ∴CD＝＝＝12(cm)． 1．解答本題(1)時(shí)，關(guān)鍵是把轉(zhuǎn)化為()2. 2．解此類題目的關(guān)鍵是反復(fù)利用射影定理求解直角　三角形中有關(guān)線段的長(zhǎng)度．在解題時(shí)，要緊抓線段比　之間的關(guān)系及線段的平方與乘積相等這些條件，緊扣等式結(jié)構(gòu)形式，達(dá)到最終目的．

6、 　 圖1－4－2 　如圖1－4－2，在Rt△ABC中，CD為斜邊AB上的高，若AD＝2 cm，DB＝6 cm，求CD，AC，BC的長(zhǎng)． 【解】　∵CD2＝AD·DB＝2×6＝12， ∴CD＝＝2(cm)． ∵AC2＝AD·AB＝2×(2＋6)＝16， ∴AC＝＝4(cm)． ∵BC2＝BD·AB＝6×(2＋6)＝48， ∴BC＝＝4(cm)． 故CD、AC、BC的長(zhǎng)分別為2 cm,4 cm,4 cm. 與射影定理有關(guān)的證明 　 圖1－4－3 已知如圖1－4－3，在△ABC中，∠ACB＝

7、90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F. 求證：CD3＝AE·BF·AB. 【思路探究】　∠ACB＝90°，CD⊥AB→CD2＝AD·DB→CD3＝AE·BF·AB. 【自主解答】　∵∠BCA＝90°，CD⊥BA， ∴CD2＝AD·BD. 又∵DE⊥AC，DF⊥BC， ∴AD2＝AE·AC，BD2＝BF·BC， ∴CD4＝AD2·BD2＝AE·AC·BF·BC＝AE·BF·AC·BC.

8、 而S△ABC＝AC·BC＝AB·CD， ∴CD4＝AE·BF·AB·CD. 即CD3＝AE·BF·AB. 1．解答本題的關(guān)鍵是利用S△ABC＝AC·BC＝AB·CD進(jìn)行轉(zhuǎn)化． 2．在證明與直角三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常用射影定理來(lái)構(gòu)造比例線段，從而為證明三角形相似創(chuàng)造條件． 在本例條件不變的情況下，求證：＝. 【證明】　根據(jù)題意可得，DE＝CF，CE＝DF， DE2＝AE·CE， DF2＝BF·CF， ∴DE2·BF·CF＝DF2&#

9、183;AE·CE， ∴DE3·BF＝DF3·AE， 即＝. (教材第22頁(yè)習(xí)題1.4第1題)在△ABC中，∠C＝90°，CD是斜邊AB上的高，已知CD＝60，AD＝25，求BD，AB，AC，BC的長(zhǎng)． (2013·商丘模擬)如圖1－4－4，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC、BC的長(zhǎng)分別為3 cm，4 cm，以AC為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D，則BD＝______cm. 圖1－4－4 【命題意圖】　本題主要考查直角三角形的射影定理及運(yùn)算求解能力． 【解析】　連接CD，則CD⊥AB. 由AC＝3cm，BC＝4cm得AB

10、＝5cm. 由射影定理得BC2＝BD·BA， 即42＝5BD. 所以BD＝cm. 【答案】　 1. 如圖1－4－5，在Rt△ABC中，AC⊥CB，CD⊥AB于D且CD＝4，則AD·DB＝(　　) A．16　　　　　　　 B．4 C．2 D．不確定 圖1－4－5 【解析】　由射影定理AD·DB＝CD2＝42＝16. 【答案】　A 2．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，BC＝ cm，BD＝3 cm，則AD的長(zhǎng)是(　　) A．5 cm B．2 cm C．6 cm D．24 cm

11、 【解析】　∵BC2＝BD·AB， ∴15＝3AB，即AB＝5， ∴AD＝AB－BD＝5－3＝2(cm)． 【答案】　B 3. 如圖1－4－6所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，CD＝2，BD＝3，則AC＝________. 圖1－4－6 【解析】　由CD2＝BD·AD得AD＝， ∴AB＝BD＋AD＝3＋＝， ∴AC2＝AD·AB＝×＝， ∴AC＝. 【答案】　 4．一個(gè)直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)分別為1 cm和 cm，則它們?cè)谛边吷系纳溆氨葹開_______． 【解析】　如圖，在Rt△

12、ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝1 cm，BC＝ cm， ∵AC2＝AD·AB＝1，BC2＝BD·AB＝5， ∴＝. 【答案】　1∶5 一、選擇題 1．△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝3，BD＝2，則AC∶BC的值是(　　) A．3∶2　　　　　　　B．9∶4 C.∶ D.∶ 【解析】　如圖，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理知AC2＝AD·AB， BC2＝BD·AB， 又∵AD＝3，BD＝2，∴AB＝AD＋BD＝5， ∴AC2＝3×5＝15，BC2

13、＝2×5＝10. ∴＝＝，即AC∶BC＝∶， 故選C. 【答案】　C 2. 圖1－4－7 如圖1－4－7所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D為垂足，若CD＝6，AD∶DB＝1∶2，則AD的值是(　　) A．6 B．3 C．18 D．3 【解析】　由題意知 ∴AD2＝18， ∴AD＝3. 【答案】　B 3．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，若＝，則等于(　　) A.　　B. C.　　D. 【解析】　如圖，由射影定理，得AC2＝CD·BC，AB2＝BD·BC， ∴＝＝

14、()2， 即＝，∴＝. 【答案】　C 4．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若BD：AD＝1：4，則tan∠BCD的值是(　　) A. 　　　B.　　　C.　　　D．2 【解析】　如圖，由射影定理得CD2＝AD·BD， 又∵BD：AD＝1：4， 令BD＝x，則AD＝4x(x>0)． ∴CD2＝AD·BD＝4x2，∴CD＝2x， 在Rt△CDB中，tan∠BCD＝＝＝. 【答案】　C 二、填空題 圖1－4－8 5．如圖1－4－8，在矩形ABCD中，AE⊥BD，OF⊥AB.DE∶EB＝1∶3，OF＝a，則對(duì)角線

15、BD的長(zhǎng)為________． 【解析】　∵OF＝a， ∴AD＝2a， ∵AE⊥BD， ∴AD2＝DE·BD. ∵DE∶EB＝1∶3，∴DE＝BD， ∴AD2＝BD·BD. ∴BD2＝4AD2＝4×4a2＝16a2，∴BD＝4a. 【答案】　4a 6．已知在梯形ABCD中，DC∥AB，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10 cm，AC＝6 cm，則此梯形的面積為________． 【解析】　如圖，過(guò)C點(diǎn)作CE⊥AB于E. 在Rt△ACB中， ∵AB＝10 cm，AC＝6 cm， ∴BC＝8 cm， ∴BE＝6.4 cm，AE＝

16、3.6 cm. ∴CE＝＝4.8(cm)， ∴AD＝4.8 cm. 又∵在梯形ABCD中，CE⊥AB， ∴DC＝AE＝3.6 cm. ∴S梯形ABCD＝＝32.64(cm2)． 【答案】　32.64 cm2 三、解答題 7．已知直角三角形周長(zhǎng)為48 cm，一銳角平分線分對(duì)邊為3∶5兩部分. (1)求直角三角形的三邊長(zhǎng)； (2)求兩直角邊在斜邊上的射影的長(zhǎng)． 【解】　(1)如圖，設(shè)CD＝3x，BD＝5x，則BC＝8x，過(guò)D作DE⊥AB， 由題意可得， DE＝3x，BE＝4x， ∴AE＋AC＋12x＝48. 又AE＝AC， ∴AC＝24－6x，AB＝24－2x

17、， ∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2， 解得：x1＝0(舍去)，x2＝2， ∴AB＝20，AC＝12，BC＝16， ∴三邊長(zhǎng)分別為：20 cm,12 cm,16 cm. (2)作CF⊥AB于F， ∴AC2＝AF·AB， ∴AF＝＝＝(cm)； 同理：BF＝＝＝(cm)． ∴兩直角邊在斜邊上的射影長(zhǎng)分別為 cm， cm. 圖1－4－9 8．如圖1－4－9，Rt△ABC中有正方形DEFG，點(diǎn)D、G分別在AB、AC上 ，E、F在斜邊BC上，求證：EF2＝BE·FC. 【證明】　如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H. ∴DE∥AH∥GF

18、. ∴＝， ＝. ∵＝. 又∵AH2＝BH·CH，∴DE·GF＝BE·FC. 而DE＝GF＝EF.∴EF2＝BE·FC. 圖1－4－10 9．如圖1－4－10，已知：BD，CE是△ABC的兩條高，過(guò)點(diǎn)D的直線交BC和BA的延長(zhǎng)線于G、H，交CE于F，且∠H＝∠BCF，求證：GD2＝GF·GH. 【證明】　∵∠H＝∠BCE，∠EBC＝∠GBH， ∴△BCE∽△BHG， ∴∠BEC＝∠BGH＝90°， ∴HG⊥BC. ∵BD⊥AC，在Rt△BCD中， 由射影定理得，GD2＝BG·CG.?、? ∵∠F

19、GC＝∠BGH＝90°，∠GCF＝∠H， ∴△FCG∽△BHG， ∴＝， ∴BG·GC＝GH·FG.　② 由①②得，GD2＝GH·FG. 10. 如圖所示，在△ABC中，AD為BC邊上的高，過(guò)D作DE⊥AB，DF⊥AC，E，F(xiàn)為垂足．求證： (1)AE·AB＝AF·AC； (2)△AEF∽△ACB. 【證明】　(1)∵AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC， 在Rt△ABD中，由射影定理得AD2＝AE·AB，在Rt△ADC中，由射影定理得AD2＝AF·AC， ∴AE·AB＝AF·AC. (2)∵AE·AB＝AF·AC， ∴＝. 又∵∠EAF＝∠CAB， ∴△AEF∽△ACB. 最新精品資料