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1、第5講 找規(guī)律(一)這一講我們先介紹什么是“數(shù)列”，然后講如何發(fā)現(xiàn)和尋找“數(shù)列”的規(guī)律。按一定次序排列的一列數(shù)就叫數(shù)列。例如，(1) 1，2，3，4，5，6，(2) 1，2，4，8，16，32；(3) 1，0，0，1，0，0，1，(4) 1，1，2，3，5，8，13。一個數(shù)列中從左至右的第n個數(shù)，稱為這個數(shù)列的第n項。如，數(shù)列(1)的第3項是3，數(shù)列(2)的第3項是4。一般地，我們將數(shù)列的第n項記作an。數(shù)列中的數(shù)可以是有限多個，如數(shù)列(2)(4)，也可以是無限多個，如數(shù)列(1)(3)。許多數(shù)列中的數(shù)是按一定規(guī)律排列的，我們這一講就是講如何發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律。數(shù)列(1)是按照自然數(shù)從小到大的次序排列

2、的，也叫做自然數(shù)數(shù)列，其規(guī)律是：后項=前項+1，或第n項ann。數(shù)列(2)的規(guī)律是：后項=前項2，或第n項數(shù)列(3)的規(guī)律是：“1，0，0”周而復始地出現(xiàn)。數(shù)列(4)的規(guī)律是：從第三項起，每項等于它前面兩項的和，即a3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+35，a6=3+5=8，a7=5+8=13。常見的較簡單的數(shù)列規(guī)律有這樣幾類：第一類是數(shù)列各項只與它的項數(shù)有關(guān)，或只與它的前一項有關(guān)。例如數(shù)列(1)(2)。第二類是前后幾項為一組，以組為單元找關(guān)系才可找到規(guī)律。例如數(shù)列(3)(4)。第三類是數(shù)列本身要與其他數(shù)列對比才能發(fā)現(xiàn)其規(guī)律。這類情形稍為復雜些，我們用后面的例3、例4來作一些說明。例1

3、 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù)：(1)4，7，10，13，( )，(2)84，72，60，( )，( )；(3)2，6，18，( )，( )，(4)625，125，25，( )，( )；(5)1，4，9，16，( )，(6)2，6，12，20，( )，( )，解：通過對已知的幾個數(shù)的前后兩項的觀察、分析，可發(fā)現(xiàn)(1)的規(guī)律是：前項+3=后項。所以應填16。(2)的規(guī)律是：前項-12=后項。所以應填48，36。(3)的規(guī)律是：前項3=后項。所以應填54，162。(4)的規(guī)律是：前項5=后項。所以應填5，1。(5)的規(guī)律是：數(shù)列各項依次為1=11， 4=22， 9=33，

4、 16=44，所以應填55=25。(6)的規(guī)律是：數(shù)列各項依次為2=12，6=23，12=34，20=45，所以，應填 56=30， 67=42。說明：本例中各數(shù)列的每一項都只與它的項數(shù)有關(guān)，因此an可以用n來表示。各數(shù)列的第n項分別可以表示為(1)an3n+1；(2)an96-12n；(3)an23n-1；(4)an55-n；(5)ann2；(6)ann(n+1)。這樣表示的好處在于，如果求第100項等于幾，那么不用一項一項地計算，直接就可以算出來，比如數(shù)列(1)的第100項等于3100+1=301。本例中，數(shù)列(2)(4)只有5項，當然沒有必要計算大于5的項數(shù)了。例2 找出下列各數(shù)列的規(guī)律

5、，并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù)：(1)1，2，2，3，3，4，( )，( )；(2)( )，( )，10，5，12，6，14，7；(3) 3，7，10，17，27，( )；(4) 1，2，2，4，8，32，( )。解：通過對各數(shù)列已知的幾個數(shù)的觀察分析可得其規(guī)律。(1)把數(shù)列每兩項分為一組，1，2，2，3，3，4，不難發(fā)現(xiàn)其規(guī)律是：前一組每個數(shù)加1得到后一組數(shù)，所以應填4，5。(2)把后面已知的六個數(shù)分成三組：10，5，12，6，14，7，每組中兩數(shù)的商都是2，且由5，6，7的次序知，應填8，4。(3)這個數(shù)列的規(guī)律是：前面兩項的和等于后面一項，故應填( 17+27=)44。(4)這個數(shù)列

6、的規(guī)律是：前面兩項的乘積等于后面一項，故應填(832=)256。例3 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù)：(1)18，20，24，30，( )；(2)11，12，14，18，26，( )；(3)2，5，11，23，47，( )，( )。解：(1)因20-18=2，24-20=4，30-24=6，說明(后項-前項)組成一新數(shù)列2，4，6，其規(guī)律是“依次加2”，因為6后面是8，所以，a5-a4=a5-30=8，故a5=8+30=38。(2)12-11=1，14-12=2， 18-14=4， 26-18=8，組成一新數(shù)列1，2，4，8，按此規(guī)律，8后面為16。因此，a6-a5a6

7、-26=16，故a616+26=42。(3)觀察數(shù)列前、后項的關(guān)系，后項=前項2+1，所以a6=2a5+1247+195，a72a6+1295+1=191。例4 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù)：(1)12，15，17，30， 22，45，( )，( )；(2) 2，8，5，6，8，4，( )，( )。解：(1)數(shù)列的第1，3，5，項組成一個新數(shù)列12，17， 22，其規(guī)律是“依次加5”，22后面的項就是27；數(shù)列的第2，4，6，項組成一個新數(shù)列15，30，45，其規(guī)律是“依次加15”，45后面的項就是60。故應填27，60。(2)如(1)分析，由奇數(shù)項組成的新數(shù)列2，5

8、，8，中，8后面的數(shù)應為11；由偶數(shù)項組成的新數(shù)列8，6，4， 中，4后面的數(shù)應為2。故應填11，2。 練習5 按其規(guī)律在下列各數(shù)列的( )內(nèi)填數(shù)。1.56，49，42，35，( )。2.11， 15， 19， 23，( )，3.3，6，12，24，( )。4.2，3，5，9，17，( )，5.1，3，4，7，11，( )。6.1，3，7，13，21，( )。7.3，5，3，10，3，15，( )，( )。8.8，3，9，4，10，5，( )，( )。9.2，5，10，17，26，( )。10.15，21，18，19，21，17，( )，( )。11.數(shù)列1，3，5，7，11，13，15，17。(1)如果其中缺少一個數(shù)，那么這個數(shù)是幾？應補在何處？(2)如果其中多了一個數(shù)，那么這個數(shù)是幾？為什么？