《2015屆高考數(shù)學總復習 基礎(chǔ)知識名師講義 第七章 第十一節(jié)軌跡方程的求法 文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2015屆高考數(shù)學總復習 基礎(chǔ)知識名師講義 第七章 第十一節(jié)軌跡方程的求法 文（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 十一節(jié)　軌跡方程的求法 了解方程的曲線與曲線的方程的對應關(guān)系. 知識梳理 一、“曲線的方程”和“方程的曲線”的概念 在直角坐標系中，如果某曲線C(看作滿足某種條件的點的集合或軌跡)上的點與一個二元方程f(x，y)＝0的實數(shù)解建立了如下關(guān)系： (1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解； (2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點． 那么這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線． 二、求曲線的(軌跡)方程 求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一．求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)

2、系．這類問題除了考查學生對圓錐曲線的定義、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識的掌握外，還充分考查了各種數(shù)學思想方法及一定的推理能力和運算能力． 它一般分為兩類基本題型：一是已知軌跡類型求其方程，常用待定系數(shù)法，如求直線及圓的方程就是典型例題；二是未知軌跡類型，此時除了用代入法、交軌法、參數(shù)法等求軌跡的方法外，通常設(shè)法利用已知軌跡的定義解題，化歸為求已知軌跡類型的軌跡方程．因此在求動點軌跡方程的過程中，一是尋找與動點坐標有關(guān)的方程(等量關(guān)系)，側(cè)重于數(shù)的運算，一是尋找與動點有關(guān)的幾何條件，側(cè)重于形，重視圖形幾何性質(zhì)的運用． (1)用直接法求曲線(軌跡)方程的基本步驟． ①建系設(shè)點：建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，設(shè)曲線

3、上任一點坐標M(x，y)； ②列幾何等式：寫出適合條件的點的集合P＝{M|P(M)}，關(guān)鍵是根據(jù)條件列出適合條件的等式； ③化為代數(shù)等式：用坐標代換幾何等式，列出方程； ④化簡：把方程f(x，y)＝0化成最簡形式； ⑤證明：證明化簡后的方程就是所求曲線的方程． 除個別情況外，化簡過程都是同解變形，所以步驟⑤可以省略不寫．如有特殊情況，可適當加以說明，步驟②也可省略． (2)求曲線軌跡方程應注意的問題． 1 / 6 ①要注意一些隱含條件，若軌跡是曲線的一部分，應對方程注明x的取值范圍，或同時注明x，y的取值范圍，保證軌跡的純粹性； ②若軌跡有不同情況，應分別討論，以保證它的

4、完整性； ③曲線的軌跡和曲線方程是有區(qū)別的，求曲線的軌跡不僅要求出方程，而且要指明曲線的位置、類型． 基礎(chǔ)自測 1．(2013衡水中學模擬)下列說法正確的是(　　) A．在△ABC中，已知A(1,1)，B(4,1)，C(2,3)，則AB邊上的高的方程是x＝2 B．方程y＝x2(x≥0)的曲線是拋物線 C．已知平面上兩定點A、B，動點P滿足|PA|－|PB|＝|AB|，則P點的軌跡是雙曲線 D．第一、三象限角平分線的方程是y＝x 解析：A選項中高線為線段，B選項中為拋物線的一部分，C選項中是雙曲線的一支．故選D. 答案：D 2．已知點A(－2,0)，B(3,0)，

5、動點P(x，y)滿足＝x2，則點P的軌跡是(　　) A．圓　　　　 B．橢圓 C．拋物線　 D．雙曲線 解析：設(shè)動點P的坐標為(x，y)，則＝(－2－x，－y)， ＝(3－x，－y)，由＝x2，得y2＝x＋6.故選C. 答案：C 3．已知橢圓＋＝1的左、右兩個焦點分別是F1，F(xiàn)2，P是這個橢圓上的一個動點，延長F1P到Q，使得|PQ|＝|F2P|，則Q的軌跡方程是______________． 解析：提示：用定義法求軌跡方程． 答案：(x＋1)2＋y2＝16 1．曲線C是平面內(nèi)與兩個定點F1(－1,0)和F

6、2(1,0)的距離的積等于常數(shù)a2(a＞1)的點的軌跡，給出下列三個結(jié)論： ①曲線C過坐標原點； ②曲線C關(guān)于坐標原點對稱； ③若點P在曲線C上，則△F1PF2的面積不大于a2. 其中，所有正確結(jié)論的序號是____________． 解析： ①曲線C經(jīng)過原點，這點不難驗證是錯誤的，如果經(jīng)過原點，那么a＝1，與條件不符； ②曲線C關(guān)于原點對稱，這點顯然正確，如果在某點處|PF1||PF2|＝a2，關(guān)于原點的對稱點處也一定符合|PF1||PF2|＝a2； ③三角形的面積S△F1F2P≤，因為S△F1F2P＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤|PF1||PF2|＝.所以②③正

7、確． 答案：②③ 2．(2013新課標全國卷Ⅱ)在平面直角坐標系xOy中，已知圓P在x軸上截得線段長為2，在y軸上截得線段長為2. (1)求圓心P的軌跡方程； (2)若P點到直線y＝x的距離為，求圓P的方程． 解析：(1)設(shè)P(x，y)，圓P的半徑為r. 則y2＋2＝r2，x2＋3＝r2. ∴y2＋2＝x2＋3，即y2－x2＝1. ∴P點的軌跡方程為y2－x2＝1. (2)設(shè)P的坐標為(x0，y0)， 則＝，即|x0－y0|＝1. ∴y0－x0＝1，即y0＝x01. ①當y0＝x0＋1時，由y－x＝1得(x0＋1)2－x＝1. ∴∴r2＝3. ∴圓P

8、的方程為x2＋(y－1)2＝3. ②當y0＝x0－1時，由y－x＝1得(x0－1)2－x＝1. ∴∴r2＝3. ∴圓P的方程為x2＋(y＋1)2＝3. 綜上所述，圓P的方程為x2＋(y1)2＝3. 1．(2013鹽城模擬)設(shè)M、N為拋物線C：y＝x2上的兩個動點，過M、N分別作拋物線C的切線l1、l2，與x軸分別交于A、B兩點，且l1與l2相交于點P，若AB＝1. (1)求點P的軌跡方程； (2)求證：△MNP的面積為一個定值，并求出這個定值． (1)解析：y′＝2x，設(shè)M(m，m2)，N(n，n2)，則依題意知，切線l1，l2的斜率分別為k1＝2m，k2＝

9、2n，切線方程分別為y＝2mx－m2，y＝2nx－n2， 則A，B，設(shè)P(x，y)，由 得① 因為AB＝1，所以|n－m|＝2， 即(m＋n)2－4mn＝4，將①代入上式得：y＝x2－1， 所以點P的軌跡方程為y＝x2－1. (2)證明：設(shè)直線MN的方程為y＝kx＋b(b>0)． 聯(lián)立方程消去y得x2－kx－b＝0， 所以m＋n＝k，mn＝－b，② 點P到直線MN的距離d＝，MN＝|m－n|，所以S△MNP＝dMN＝|m－n|＝(m－n)2|m－n|＝2. 即△MNP的面積為定值2. 2．(2012天津六校聯(lián)考)已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，短軸長為

10、2，且兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點．過右焦點F與x軸不垂直的直線l交橢圓于P，Q兩點. (1)求橢圓的方程． (2)在線段OF上是否存在點M(m,0)，使得|MP|＝|MQ|？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由． 解析：(1)因為橢圓的短軸長2b＝2，b＝1， 又因為兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點，所以b＝c，得a2＝b2＋c2＝2.故橢圓的方程為＋y2＝1. (2)①若l與x軸重合，顯然M與原點重合，m＝0. ②若直線l的斜率k≠0，則可設(shè)l：y＝k(x－1)，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則消去y得x2＋2k2(x2－2x＋1)－2＝0，整理得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0. x1＋x2＝?PQ的中點橫坐標為， 代入l：y＝k(x－1)可得：PQ的中點為N， 由|MP|＝|MQ|得MN⊥PQ，則kMNk＝－1，可得m＝，所以m＝＝∈，綜合①②得m∈. 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！