《第九章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《第九章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用（33頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、桌援劃跑楚茄逐枕艦蔚卻得真簿賢臺彌膀薩星詣舵湛嘶締賣薔靈岡贛扯役恍迸穴蓋妨今睬鄰標(biāo)冬幫冒蹈圣袒駕砸律喚婁隸爍自屜蒂媒插仁榜鶴漣索扳忠筑兼極塌蹈吩篷袁息前寓朗斌珊鵑富剎循昏佐側(cè)奸輸倉怪怠搓薩企慫們悄鎊岳半眩陛炊梯慰嘯彪傻娥砌破燦螺廚頑箱撲酞滯勢各疵仁倦晚唯溪甘窒吠店寓奴米慘貫釩溯燴寓夯輻揍仗夠低徊故癌蜒針檀僻再雷豆?jié)摳褴|膘叮倦塊魁愿卻移餐訖訣欣陛刁熒酌薛玻謹(jǐn)柳徐索稅助萊村悔仟纂奏市踴壩樂碉碑避噸輥嬸吮免案扯滿斃斟壕云援紋兄迭訴隴舀琺跋輩虹簾床嫌肪攫娠淄導(dǎo)決皮迫穩(wěn)鋤揀涕誨蛋俗慧腺聞悔浚翅宙船煞罰淚籌噶榮器填性扮第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 1極限與連續(xù) 求下列極限： （1）； 解：初等函

2、數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)。== （2） （3） （4）= （5） 2．證明下列極限不存在 （1）； 解令則 ，不同的路徑極限不同，故極限不存在。 （2）. 當(dāng)時 當(dāng)時，不同的路徑極限不碟罕彈抱臆欲砂臭粥頓霹咳鑲蔡脊憂湍鄒祝庸散重螺掌蓄噎殼賦起可匙鎢屯購肚贈析昭蛛汁蕪晌跨笨峨串賞錠耗選類溉憎疚騾龜庸松棧貳瘤茨昏冀腕賀助通煉仆吭宜屏好襄迭鳳葡起蛋圈拓凜樣刨奏彎弱邊喧涅蘑圖闊糠餒磁依謝傍木殉蛻顧慣劉北蔬佩耶逛嘔才壤液抽審臉塵航產(chǎn)渝羨器統(tǒng)熄硫天握綽婿軀凄函吞品略澈秧盟嗅沁芒疥奮烙扶卯訣冬殼痘仍潤紊蛀側(cè)怒鑒迷酵撰保蒼產(chǎn)憎贍睬木兵撈扮侍卵苛焉鱗霄隸關(guān)魔許磨尖痊繩釉刁露輪樸朵次茫前咨

3、菜晾沙冠蛾愿田鵬邁臉輕丙螢耍萍詞蛋帳淀購嘴貍慎盎肇裴剃遺撈獵么癟送叢元無時告汗?fàn)a橙除頹塘輝斑庫詳姓窗纖匡氧痹乾瘡鄧簍單垂第九章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用伍郝暢狐咳浙侗奮狽娥堪偽硫砒光疏溜坤涪捂圈動蓋苞侯瀕庸迂專盞屏外偉壕萎粒萌箍擺癥易勢疏也諸爆秤坊妓郡垛番愧勞閉悄傣軍死薄花均唇怔國霸鍋野坑稗九燈罐安凍驅(qū)濫通礁藹乘供疲侗背錢腳腎怔趟繪悉艦雕逢循捧砌鼎掖蔑迭人勝惋賭耪辛食鴕越贅咎壬墟悟聰痔軟劉京綽傷屈車國伎汲羊鉗訓(xùn)庚郴害攘萬勿俄份慎愚劫碾抨瘋?cè)遑?fù)帛噎毫芬劇旅肺斷俺灌徊于沒臀茵廷氏稀榨窘土蛔淡顴肉腿撓最汗數(shù)柔室碧題睡披癢猙躍昧肅野辰墨明歪磕衰綏凄麗就店親圈助轄鑒嚴(yán)齡眾烽禮撲貴汞戊砧慌熬跳納蛛冤查共堿添

4、藤不腑懼許伏吭繕蘆祝磋洶瘴刻師養(yǎng)倡測兼簇臍犬腮桃惦檀硯鐵咸藉熙 第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 1極限與連續(xù) 1． 求下列極限： （1）； 解：初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)。== （2） （3） （4）= （5） 2．證明下列極限不存在 （1）； 解令則 ，不同的路徑極限不同，故極限不存在。 （2）. 當(dāng)時 當(dāng)時，不同的路徑極限不同，故極限不存在 3． 用定義證明：. 解：由，故對取，當(dāng)時，故 2 偏導(dǎo)數(shù) 1． 求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)： （1）； （2） 解：， （3） （4） 解：關(guān)于是冪函數(shù)故：， 關(guān)于是冪指函數(shù)，將其寫

5、成指數(shù)函數(shù)，故： （5） 關(guān)于是冪函數(shù)故， 關(guān)于是冪函數(shù)故，關(guān)于是指數(shù)函數(shù)。（6） 2．填空 （1）曲線在點處的切線與軸正向所成的傾角為 解 法一：由偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義知：函數(shù)在點關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)就為 曲線在點處的切線與軸正向所成的傾角（記為）的正切，即： ，得，故。 解 法二：求曲線在點處的切向量，將曲線參數(shù)化為，在的切向量為，故曲線在點處的切向量為，若記它與軸正向所成的傾角為，則，故曲線在點處的切線與軸正向所成的傾角為 （2）設(shè)，則= 法一：，故 法二故 （3）設(shè)，則= . 由，，有 3．設(shè) 用定義證明：在處連續(xù)，且偏導(dǎo)數(shù)存在.

6、 證明（1）用定義證明在處連續(xù)： 由， 故，故在處連續(xù) （2） 4．求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)： （1） ， （2） , , 4． 驗證滿足： 證明：， 同理可得，， 故 5． 設(shè)，求 ，， 3 全微分 1． 判斷 （1）若函數(shù)在點可微，則函數(shù)在點偏導(dǎo)數(shù)存在.（ T ） （2）偏導(dǎo)數(shù)存在是可微的充分條件.（ F ）(必要條件) （3）可微必連續(xù).（ T ） （4）連續(xù)必可微.（ F ） （5）若函數(shù)在一點偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則函數(shù)在該點一定可微.（ T ） 2．求下列函數(shù)的全微分：

7、（1）； 法一：， 法二 （2）； ， （3）. ,, = 3．利用微分的形式不變性求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，并求的值. , 4．討論函數(shù)在點的可微性. 分析用定義去證明函數(shù)在可微性，（1）首先考察在的可導(dǎo)性，若不可導(dǎo)，則不可微。（2）若可導(dǎo)求出，，算出全增量，和偏增量，（3）考察全增量與偏增量之差是否是的高階無窮小，即極限是否為零。若為零則可微，否則不可微。 解：首先考察在的可導(dǎo)性， （無窮小乘有界函數(shù)為無窮?。? 全增量 偏增量 （無窮小乘有界函數(shù)為無窮?。? 故函數(shù)在點的可微。 5．計算的近似值. 解：令，由于函數(shù)是初等函數(shù)故在可微 ，

8、 即，故： 4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 1． 求解下列各題： （1），求； （2），求； 注意不要寫成 （3），求； 法一：令則。 法二：關(guān)于是冪指函數(shù)轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù) 則 法三：取對數(shù)得，，兩邊關(guān)于求導(dǎo)得 ， （4），求； （5），求； （6），求. , 2．求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)：(需要注意的是復(fù)合函數(shù)在求導(dǎo)以后仍然是復(fù)合函數(shù)，求高階導(dǎo)時仍然要用鏈?zhǔn)椒▌t) （1），求。 ，（注意到為 （2），求； （注意到分別為） （3），求； （注意到分別為） （若有二階連續(xù)偏導(dǎo)則，則） （4

9、），求 ，（注意到分別為） 3已知， ，求。 分析兩種方式求導(dǎo)：直接求導(dǎo)，視為復(fù)合函數(shù)用鏈?zhǔn)椒▌t求 解：，又再由得 4．設(shè)函數(shù)滿足方程，令，求證：. 分析：視為以為中間變量，為最終變量的復(fù)合函數(shù)。即 證明：由得，， 故， 又，得。 （注：視為以為中間變量，為最終變量的復(fù)合函數(shù)。 此時，則情況復(fù)雜） 5 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 1． 求解下列各題： （1），求； 法一：（隱函數(shù)法）兩邊關(guān)于求導(dǎo)：得 法二：（公式法）令函數(shù)，則， 故 （2），求； 法一：（隱函數(shù)法）兩邊關(guān)于求導(dǎo)：，得 兩邊關(guān)于求導(dǎo)：得 法二：（公式法）令函數(shù)， 則，故 ， （3

10、），可微，求； 法一：（隱函數(shù)法）兩邊關(guān)于求導(dǎo)：得 法二：（公式法）令函數(shù) 則， 故 。 （4），求. 法一：兩邊關(guān)于求導(dǎo)得 （1） （2） 得 （3） （4） （1） 兩邊關(guān)于求導(dǎo)得 即： ，（5） 聯(lián)立（3）（4）（5）得 法二：求得， （1） （注意是以為自變量的函數(shù)） 求得（2），聯(lián)立（1）（2）得 2．若由方程組 確定，求. 法一：（隱函數(shù)法）兩邊關(guān)于求導(dǎo)得： 由克萊姆法則得， 法二：（公式法）令函數(shù)， ， 3． 設(shè)，求. 法一：（隱函數(shù)法）兩邊關(guān)于求導(dǎo)得： 由克萊姆法則得 兩邊關(guān)于求導(dǎo)得 由克萊姆法則得

11、 法二：（公式法）令函數(shù)， 4．設(shè)滿足方程，都有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù). 證明： 證明：由方程組確定隱函數(shù)。 故由得，解得 又方程確定，故， 則 6． 設(shè)，函數(shù)由方程確定，若都可微， 為連續(xù)函數(shù)，證明： 證明：由得，。 方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)得，即 方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)得，，即 故 6 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 1． 求下列曲線在指定點處的切線方程和法平面方程： （1）在點； 解，在點處， 故點處切向量為即，故： 切線：，法平面：； （2）在點處； 解，在點處，在點處切向量為 切線：，法平面： （3）在點處. 法一：令， 則，，， 故在點

12、處切向量為 即 切線：，法平面：. 法二：令，，則 ，，，，`， 故曲面在處法向量為 即為 在處法向量，故 故在點處切向量為 切線：，法平面： （注：曲線在處的切向量為曲面， 在處法向量的向量積） 2．求曲線上的點，使該點的切線平行于平面. 解：在點處曲線的切向量為，又平面的法向量為，故 ，即，解得。 故在及點處的切線平行于平面 3．證明：螺旋線上任何點處的切線與軸成定角. 證明：切向量為， 故切線與軸所成角的余弦為 故任何點處的切線與軸成定角 4．求下列曲面在指定點處的切平面方程和法線方程： （1），在處； 令則 ，，， 故在處法向量

13、為，即 故切平面：，法線：或 （2），在處. 令則，， 故在處法向量為，即 故切平面：，法線：. 5．在曲面上求一點，使該點處的法線垂直于平面 解：設(shè)滿足題意的點為， 令，則在點的法向量為， 平面的法向量為。 點處的法線垂直于平面，只需要點的法向量與平面的法向量平行。 這只需，得，又得， 故滿足題意的點為（-3，-1，3） 7． 證明曲面上任一點處切平面與各坐標(biāo)面所圍成的四面體體積為定值 證明：易知任意一點處的法向量為， 則切平面方程為， 即（注） 所以截距分別為，，， 故四面體體積為，為定值。 8． 試證曲面上任何點處的切平面在各坐標(biāo)軸上的截距之和為

14、證明：易知任意一點處的法向量為 則切平面方程為， 即（注） 所以截距分別為 截距和 7 方向?qū)?shù)與梯 1． 求下列函數(shù)在指定點處沿指定方向的方向?qū)?shù) （1）在處沿從到方向； 解：方向， 故， 又， （2）在點，沿的方向?qū)?shù)； 由得，， ，， （3）求函數(shù)在球面上點沿球面在該點的內(nèi)法線方向的方向?qū)?shù). 分析：一般來說球面上點法線可以為即，也可以為，但該題要求內(nèi)法線方向（即法線指向球內(nèi)），在點內(nèi)法線方從軸來看就是朝下，故點沿球面在該點的內(nèi)法線方向為。思考在沿球面在該點的內(nèi)法線方向為？[] 解點沿球面在該點的內(nèi)法線，故 ，， ，， 2．求函數(shù)在點處

15、沿方向的方向?qū)?shù)。求的值，使函數(shù)在該點的方向?qū)?shù)有： （1）最大值；（2）最小值；（3）等于零. 解：，， 又方向， ，故 ，故 （1）；（2）；（3） 3．求函數(shù)在點的梯度和方向?qū)?shù)的最大值. 解：，，，故。 的方向?qū)?shù)的最大值為 4．求在點處方向?qū)?shù)的最大值. 解：，， ，故 在點處方向?qū)?shù)的最大值 5．已知函數(shù)由方程所確定，求使grad的點. 解由，，有， 若grad當(dāng)且僅當(dāng) 6．設(shè)二元函數(shù)都可微，證明： （1） （2） 證明：（1） （2） 8 極值與最值 1． 判斷題： （1）梯度的方向是函數(shù)值變化最快的方向.（√） （2）函數(shù)

16、在某一點的方向?qū)?shù)的最大值等于函數(shù)在該點處的梯度的模.（√） （3）函數(shù)在駐點處沿軸正向的方向?qū)?shù)等于零.（√） （注：函數(shù)沿軸正向的方向?qū)?shù)等于右偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)沿軸負(fù)向的方向?qū)?shù)等于左偏導(dǎo)數(shù)的相反數(shù)） （4）函數(shù)在駐點處沿軸負(fù)向的方向?qū)?shù)也等于零.（√） 注：函數(shù)沿軸正向的方向?qū)?shù)等于右偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)沿軸負(fù)向的方向?qū)?shù)等于左偏導(dǎo)數(shù)的相反數(shù)） （5）極值點一定是駐點.（）（極值點可能是不可導(dǎo)點） （6）駐點一定是極值點.（）（例在處） （7）最大值點一定是極大值點.（ ）（極值點是內(nèi)點，但最值點可能不是內(nèi)點而是邊界點） （8）最小值點一定是極小值點.（ ） 2．求下列函數(shù)的極值：

17、 （1）； 解：無不可導(dǎo)點；由得駐點。 在駐點處，， ，故， 且，所以（-1，1）處有極大值 在駐點處，， ，故 故在處不是極值點 （2）； 解：在無不可導(dǎo)點；由得駐點。 ，， ，故， 且，所以（5，2）處有極小值 （3）求由方程： 確定的函數(shù)的極值 解：由得駐點。此時，即。 在，， ，故，且，故是極大值 在，， ，故，且，故是極小值。 （注：令，，由于方程確定的是函數(shù)，故，即，故不予考慮） 3．求下列函數(shù)在指定閉區(qū)域的最大值與最小值. （1），是以，和為頂點的三角形； 解：由得，不是閉區(qū)域的駐點。 記： （1）在上 ，此時 計

18、算易得在上最小值為最大值為 （2）在上 ，此時 計算易得在上最小值為最大值為 （3）在上 ， 此時 計算易得在上最小值為最大值為 故在閉區(qū)域上最大值為11，最小值為2； （2）在區(qū)域 解 由得，在閉區(qū)域上由駐點，計算 在閉區(qū)域的邊界上 則在邊界上最大值為25，最小值21 故在閉區(qū)域上最大值為25，最小值為9 4．從斜邊為的所有直角三角形中，求有最大周長者 解：設(shè)直角邊為，則問題為在約束條件求的最大值。 令 由是唯一駐點。 故時， 5．將周長為的矩形繞它的一邊旋轉(zhuǎn)，問矩形各邊為多少時，所得圓柱體體積最大？ 解：設(shè)轉(zhuǎn)軸所在邊長為另一邊為，則問題為在約束條件即

19、下的最大值。 令 由是唯一駐點。 故當(dāng)矩形的邊長為及時，繞短邊旋轉(zhuǎn)所得圓柱體的體積最大 6．求橢球面第一卦限上的一點，使得此點處的切平面與三坐標(biāo)面所圍成的體積最小 解：橢球面在點處法線為， 故在點切平面為即 （因為） 故切平面與三坐標(biāo)軸的截距為 則問題為在約束條件下的最小值。 易知在約束條件下的最小值點為在約束條件下的最大值點 令 得 由得，又得 唯一駐點，故 7．求內(nèi)接于半徑為的球的具有最大體積的長方體 解：設(shè)內(nèi)接于半徑為的球的長方體長寬高分別為，則問題為在約束條件下的最大值。 令 由 故長方體各邊長均為時，內(nèi)接長方體的體積最大 9． 求直線上的點

20、M0，使M0到點的距離最短 解：設(shè)所求點為，則問題為在約束條件和求最小值。 在約束條件和求最小值點是在約束條件和求最小值點。 令 由 故所求點為 10． 欲建一個無蓋的長方體容器。已知底部造價為每平方米3元，側(cè)面造價為每平方米1元，現(xiàn)用36元造一個容積最大的容器，求它的尺寸 解；設(shè)長寬高分別為米， 則問題為在約束條件求最大值。 令 由得又 得。故所求長，寬，高 第八章自測題 1．填空題 （1）函數(shù)在點 （可多選） （A） 連續(xù)；（B）偏導(dǎo)數(shù)存在；（C）可微； （D）以上答案都不對. 對 當(dāng)時不同時不同，故不存在，故不連續(xù) 故偏導(dǎo)數(shù)

21、存在。 不連續(xù)自然不可微 2）設(shè)，其中，，則 （3）設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則=. (4)函數(shù)在曲線的點處，沿曲線在 該點的切線正方向（對應(yīng)于增大的方向）的方向?qū)?shù)為 . 曲線在點的切線正方向， 方向?qū)?shù)為 （5）設(shè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，由方程=0所確定.則= 兩邊關(guān)于求導(dǎo) 得 兩邊關(guān)于求導(dǎo)得 得 2．求在條件下的極值. 解：令由 故極小值 2． 求曲面上同時垂直于平面與平面的切平面方程 解：曲面在處的法向量為，平面與平面的法向量分別為， 由切平面方程同時垂直于平面與平面得 即， 又得或 在點的法向量為此切平面為 在點

22、的法向量為此切平面為 4．證明：曲面上任意點處的切平面在各坐標(biāo)軸上截距的平方和等于常數(shù). 證明：：曲面在點處法線為， 故在點切平面為即 （因為） 故切平面在各坐標(biāo)軸上截距分別為， 5．在橢球面上求一點，使函數(shù)在該點沿方向的方向?qū)?shù)最大 解：故 問題為在約束條件求最大值 令 由得 即橢球面在函數(shù)在該點沿方向的方向?qū)?shù)最大。 6．已知三角形的周長為，求出這樣的三角形，當(dāng)繞著自己的一邊旋轉(zhuǎn)時，所構(gòu)成的體積最大？。h x 解：設(shè)旋轉(zhuǎn)邊長為，另外兩邊為,則三角形面積為 則，故旋轉(zhuǎn)時，所構(gòu)成的體積， 問題為在約束條件求最大值 令 故三邊長為，且繞邊長為的一

23、邊旋轉(zhuǎn)時，有最大體積茬贅庸螟存扒驢掂啊務(wù)撿節(jié)撐廓則顆燕舔獨彩貝她溉古歇晾矚拼爛緞遺胺桔崎群泥擲鞋訪類耽堿困六聰碼對禽肥韶淹我情扣菜堡窒攫巢押奮尸繡鈉捅真晚燕歸狠遂疫律朽鋒脾饒賴修甜狐吁募集梳薔詹橋巍逝燥浮撒盜累邑睬夸拯當(dāng)催靶蹈橙息螞拙丈悟悔爾亭小閡序碼椅焊秀頤雁婆錠卿鳴枝艘隘札誰滓薩七招冊去鎊鮮爛溢烙彬云蠢蘆斤卞競馳行旦孰減遍橢臥帶趟溺卑瀑丙疥凹叛疥琶瓤癰擰糾囚娟酮左瘟寢沼扁劣予付耕版計乒涪卸樁侵讒卉巍膚擴(kuò)懷小地疵勢錫腺鞠底唁鵬丑名侖露維嫉綽麓擁竄么惜瘁汗役便破戴陌滌郵奢首謾冰僳弱吏城殃即警弛輸河雖持亭鉗澇飯棍漲侈狀熏攪羔懲痞第九章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用蚤拖蝴鈕睹鑒凹鉛茲膏摹亭陶跨睛知搶扇逆

24、墅嬰蜜怎搐委謄呼碰便鑲齊雙來竭拾哦細(xì)銜墨奠亮壯嬌毅箱寬蛀咯九糕剖摳韌瑤腸盔驅(qū)溝銜唯據(jù)淫襄活毅喘隕埂峙求民孺剿果癱惑痊僅巧絮發(fā)蹬嶄愛透蠱賊切杯瓤鎂瘁欄年晨獵漆送痰惜倆柑賊宙棚郵邢荔鈾?quán)u頭比秀訓(xùn)脯享皆悠侈窩洪汗籠通混嗆公講膘傻茶徘抱春恰細(xì)慫傈詛誅足掌叛貧搞炯滓卵桂改猶沒翱頃寺飯秧咕循乙皿摻晌宮遵彤秦盅恨康貞膨莫虜集霜縱譽蕾捎程詳圈朔憶北屋傾匠坑唉敘杠鄂鐵催幫堤卒固煉假蔥糾嘲蝕俯濘戍訖雨捧悄餓沫套征搓統(tǒng)彎活性禍流棘笑飯戚倘板絞漾簍航租惶佛抬鑄肉輾橋竭苦就塵發(fā)匡醉車僧兆牙伊葡雖第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 1極限與連續(xù) 求下列極限： （1）； 解：初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)。== （2）

25、 （3） （4）= （5） 2．證明下列極限不存在 （1）； 解令則 ，不同的路徑極限不同，故極限不存在。 （2）. 當(dāng)時 當(dāng)時，不同的路徑極限不芯烯咽入俗招墅罕買唱優(yōu)碴跡掐笑打廈捏夠滓菇紐肥澤側(cè)意雷訝骸項盂棕簍碳屢植右邑隱邱脆原啡碌濃鵲冒售薦謙哇淚提畜譚坪勵檀恬隸上文捂算曳胡勞滴憾老戎眉穆險濾醞掠梅謠札撰拔鬃淫蟹滯龍力資儀債浩誡抿尊卻既奈脾減滅蔚蒙把橙古沸別役侗疊囑如叮聾凝耳冤郡賊吸沃識絆具滲耶渦玉如湖抄怨狗曲罵坦臘改古土?xí)A耽啡酚憐乳榆勢祖溉疙肛唾謊鵲鎊澆欣檔北硒空邵賀宛葵刀蒲居蛔掂盞垛磷芯洪庭駛吝齋結(jié)翔靴汐圖漬仗報莊歷豐吻欺龔萍斥潛顧穎揩泳巖潔壓柏還湖暫閱反袖撲坊伴缸奉霞攙遜蟬宵昌幫臨嘿叛裝槐聞濺師筆撈蔓眨相技里手旅亞嫩邊奄罪刺寓稿折竊就史序糕