《精校版高中數(shù)學(xué)人教A版選修41學(xué)案：第1講 2 平行線分線段成比例定理 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《精校版高中數(shù)學(xué)人教A版選修41學(xué)案：第1講 2 平行線分線段成比例定理 Word版含解析（22頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料 二　平行線分線段成比例定理 1．掌握平行線分線段成比例定理及其推論．(重點) 2．能利用平行線分線段成比例定理及推論解決有關(guān)問題. (難點、易混點) [基礎(chǔ)初探] 教材整理1　平行線分線段成比例定理 閱讀教材P5～P7“定理”及以上部分，完成下列問題． 1．文字語言 三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例． 2．圖形語言 如圖121，l1∥l2∥l3， 則有：＝， ＝，＝. 圖121 如圖122所示，DE∥AB，DF∥BC，下列結(jié)論中不正確的是(　　) 圖122 A.＝　　 B.＝ C.

2、＝ D.＝ 【解析】　∵DF∥EB，DE∥FB， ∴四邊形DEBF為平行四邊形， ∴DE＝BF，DF＝EB， ∴＝＝，A正確； ＝＝，B正確； ＝＝，C正確． 【答案】　D 教材整理2　平行線分線段成比例定理的推論 閱讀教材P7～P9，完成下列問題． 1．文字語言 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例． 2．圖形語言 如圖123，l1∥l2∥l3， 圖123 如圖124所示，在△ACE中，B，D分別在AC，AE上，下列推理不正確的是(　　) 圖124 A．BD∥CE?＝ B．BD∥CE?＝ C．BD∥CE?＝

3、 D．BD∥CE?＝ 【解析】　由平行線分線段成比例定理的推論不難得出A，B，C都是正確的，D是錯誤的． 【答案】　D [質(zhì)疑手記] 預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：　 解惑：　 疑問2：　 解惑：　 疑問3：　 解惑：　 [小組合作型] 證明線段成比例 　如圖125，AD為△ABC的中線，在AB上取點E，AC上取點F，使AE＝AF，求證：＝. 圖125 【精彩點撥】　在這道題目中所證的比例組合都沒有直接的聯(lián)系，可以考慮把比例轉(zhuǎn)移，過點C作CM∥EF，交AB于點M，交AD于點N，且BC的中點為D，可以考慮補一個平行四

4、邊形來求解． 【自主解答】　如圖，過C作CM∥EF，交AB于點M，交AD于點N. ∵AE＝AF，∴AM＝AC. ∵AD為△ABC的中線， ∴BD＝CD. 延長AD到G，使得DG＝AD，連接BG，CG，則四邊形ABGC為平行四邊形， ∴AB＝GC. ∵CM∥EF，∴＝＝， ∴＝. 又AB∥GC，AM＝AC，GC＝AB， ∴＝＝，∴＝. 1．解答本題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造平行四邊形． 2．比例線段常由平行線產(chǎn)生，因而研究比例線段問題應(yīng)注意平行線的應(yīng)用，在沒有平行線時，可以添加平行線來促成比例線段的產(chǎn)生． 3．利用平行線轉(zhuǎn)移比例是常用的證題技巧，當題中沒有平行線條

5、件而有必要轉(zhuǎn)移比例時，也常添加輔助平行線，從而達到轉(zhuǎn)移比例的目的，如本題中，＝＝＝. [再練一題] 1．如圖126，AD∥BE∥CF，EG∥FH，求證：＝. 圖126 【證明】　∵AD∥BE∥CF， ∴＝. 又∵EG∥FH，∴＝， ∴＝. 　證明線段相等 　如圖127，在梯形ABCD中，AD∥BC，F(xiàn)為對角線AC上一點，F(xiàn)E∥BC交AB于E，DF的延長線交BC于H，DE的延長線交CB的延長線于G.求證：BC＝GH. 圖127 【精彩點撥】　從復(fù)雜的圖形中找出基本圖形△ABC和△DHG，而EF是它們的截線，再使用定理或推論即可． 【自主解答】　∵FE∥B

6、C，∴＝，＝. ∵AD∥EF∥BH，∴＝， ∴＝，∴BC＝GH. 1．解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造分子或分母相同的比例式． 2．應(yīng)用平行線分線段成比例定理及推論應(yīng)注意的問題： (1)作出圖形，觀察圖形及已知條件，尋找合適的比例關(guān)系； (2)如果題目中沒有平行線，要注意添加輔助線，可添加的輔助線可能很多，要注意圍繞待證式； (3)要注意“中間量”的運用與轉(zhuǎn)化． [再練一題] 2．如圖128所示，已知梯形ABCD的對角線AC與BD相交于點P，兩腰BA，CD的延長線相交于點O，EF∥BC且EF過點P. 求證：(1)EP＝PF； (2)OP平分AD和BC. 圖128

7、【證明】　(1)∵EP∥BC，∴＝. 又∵PF∥BC，∴＝. ∵AD∥EF∥BC，∴＝， ∴＝，∴EP＝PF. (2)在△OEP中，AD∥EP，∴＝. 在△OFP中，HD∥PF，∴＝， ∴＝. 又由(1)知EP＝PF，∴AH＝HD. 同理BG＝GC. ∴OP平分AD和BC. [探究共研型] 平行線分線段成比例 探究1　你還有其它方法證明課本P8的例3嗎？ 【提示】　過點C作CF∥AB，與DE的延長線交于點F. ∵DE∥BC，CF∥AB， ∴＝，＝. ∴＝. ∵四邊形BCFD是平行四邊形， ∴DF＝BC， ∴＝， ∴＝＝. 探究2　如何證明課本中

8、P9中“探究”？ 【提示】　如果l1與l2相交于點G(如圖(1))，那么l1與l2確定一個平面π.連接AD，BE，CF，則AD，BE，CF均在平面π上，且AD∥BE∥CF.由平行線分線段成比例定理可知，＝. 如果l1與l2是異面直線，那么可在直線l2上取一點G，過點G作l3∥l1，設(shè)l3與平面α，β，γ分別相交于P，Q，R(如圖(2))，則l1與l3確定一個平面π1，l3與l2確定一個平面π2.在π1中，連接AP，BQ，CR，則AP∥BQ∥CR，所以＝. 在平面π2中，連接PD，QE，RF，則PD∥QE∥RF，所以＝， 所以＝. (1)　　　　　　　　　　　　　(2) 　如圖1

9、29所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF經(jīng)過梯形對角線的交點O，且EF∥AD. (1)求＋的值； (2)求證：＋＝. 圖129 【精彩點撥】　(1)利用比例線段轉(zhuǎn)化所求； (2)證出EF＝2OE，再利用(1)的結(jié)果證明． 【自主解答】　(1)∵OE∥AD，∴＝. ∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC， ∴＝， ∴＋＝＋＝＝1. (2)證明：∵AD∥BC∥EF， 可得＝＝＝， 故OF＝OE，即EF＝2OE. 由(1)知，∵＋＝1，∴＋＝2. ∴＋＝2， ∴＋＝. 1．本題要證明的結(jié)論較多，證明時要注意與圖形的結(jié)合和對式子的合理變形．

10、2．運用平行線分線段成比例定理的推論來證明比例式或計算比值，應(yīng)分清相關(guān)三角形中的平行線段及所截邊，并注意在求解過程中運用等比性質(zhì)、合比性質(zhì)等． [再練一題] 3．如圖1210，已知點E是?ABCD邊CD延長線上的一點，連接BE交AC于點O，交AD于點F.求證：OB2＝OEOF. 圖1210 【證明】　因為四邊形ABCD是平行四邊形， 所以AB∥CD，AD∥BC. 由AB∥CE，得＝. 由AF∥BC，得＝， 所以＝(等量代換)， 即OB2＝OEOF. [構(gòu)建體系] 1．如圖1211，已知DE∥BC，則下列比例式成立的是(　　) 圖1211 A.＝　

11、　　　　 B.＝ C.＝ D.＝ 【解析】　由平行線分線段成比例定理的推論知，＝. 【答案】　C 2．如圖1212，已知＝，DE∥BC，則等于(　　) 圖1212 A. B. C. D. 【解析】　∵DE∥BC，＝. ∴＝， ∴＝. 又∵＝， ∴＝. 【答案】　C 3．如圖1213所示，一條河的兩岸有一段是平行的，在河的南岸邊每隔5米有一顆樹，在北岸邊每隔50米有一根電線桿．小麗站在離南岸邊15米的點P處看北岸，發(fā)現(xiàn)北岸相鄰的兩根電線桿恰好被南岸的兩棵樹遮住，并且在這兩棵樹之間還有三棵樹，則河寬為________米． 圖1213 【解析】　設(shè)河寬為x

12、米，據(jù)題意＝， 解得x＝22.5. 【答案】　22.5 4．如圖1214所示，已知a∥b，＝，＝3，則＝________. 圖1214 【解析】　∵a∥b， ∴＝，＝. ∵＝3，∴BC＝3CD， ∴BD＝4CD. 又∵＝， ∴＝＝， ∴＝，∴＝， ∴＝＝. 【答案】　 5．如圖1215，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15 cm，AF＝4 cm，求BE和DE的長． 圖1215 【解】　∵DE∥AC， ∴∠3＝∠2. 又AD平分∠BAC， ∴∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3，即AE＝ED. ∵DE∥AC，EF∥BC， ∴四邊形E

13、DCF是平行四邊形， ∴ED＝FC，即AE＝ED＝FC. 設(shè)AE＝DE＝FC＝x. 由EF∥BC，得＝，即＝， 解得x1＝6，x2＝－10(舍去)． 所以DE＝6(cm)，BE＝15－6＝9(cm)． 我還有這些不足： (1)　 (2)　 我的課下提升方案： (1)　 (2)　 學(xué)業(yè)分層測評(二) (建議用時：45分鐘) [學(xué)業(yè)達標] 一、選擇題 1．如圖1216，梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC延長線上一點，AE分別交BD于G，交BC于F.下列結(jié)論：①＝；②＝；③＝；④＝.其中正確的個數(shù)是(　　) 圖1216 A．1　 B．2　　　　

14、 C．3　　　　 D．4 【解析】　∵BC∥AD， ∴＝，＝，故①④正確． ∵BF∥AD， ∴＝，故②正確． 【答案】　C 2．如圖1217，E是?ABCD的邊AB延長線上的一點，且＝，則＝ (　　) 圖1217 A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 【解析】　∵CD∥AB，∴＝＝， 又AD∥BC，∴＝. 由＝，得＝， 即＝， ∴＝＝.故選C. 【答案】　C 3．如圖1218，平行四邊形ABCD中，N是AB延長線上一點，則－為(　　) 圖1218 A. B．1 C. D. 【解析】　∵AD∥BM，∴＝. 又∵DC∥AN，∴＝， ∴

15、＝， ∴＝， ∴－＝－＝＝1. 【答案】　B 4．如圖1219，AD是△ABC的中線，E是CA邊的三等分點，BE交AD于點F，則AF∶FD為(　　) 圖1219 A．2∶1　　　 B．3∶1 C．4∶1 D．5∶1 【解析】　過D作DG∥AC交BE于G， 如圖，因為D是BC的中點， 所以DG＝EC， 又AE＝2EC， 故AF∶FD＝AE∶DG＝2EC∶EC＝4∶1. 【答案】　C 5．如圖1220，將一塊邊長為12的正方形紙ABCD的頂點A，折疊至邊上的點E，使DE＝5，折痕為PQ，則線段PM和MQ的比是(　　) 圖1220 A．5∶12　 B．5∶13

16、 C．5∶19 D．5∶21 【解析】　如圖，作MN∥AD交DC于點N， ∴＝. 又∵AM＝ME， ∴DN＝NE＝DE＝， ∴NC＝NE＋EC＝＋7＝. ∵PD∥MN∥QC， ∴＝＝＝. 【答案】　C 二、填空題 6．(2016烏魯木齊)如圖1221，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC上，DE∥BC，AD＝CE，若AB∶AC＝3∶2，BC＝10，則DE的長為__________． 圖1221 【解析】　∵DE∥BC， ∴AD∶AE＝AB∶AC＝3∶2. ∵AD＝CE， ∴CE∶AE＝3∶2. ∵AE∶AC＝2∶5， ∴DE∶BC＝2∶5. ∵BC＝

17、10， ∴DE∶10＝2∶5， 解得DE＝4. 【答案】　4 7．如圖1222，已知B在AC上，D在BE上，且AB∶BC＝2∶1，ED∶DB＝2∶1，則AD∶DF＝________. 圖1222 【解析】　如圖，過D作DG∥AC交FC于G. 則＝＝，∴DG＝BC. 又BC＝AC，∴DG＝AC. ∵DG∥AC，∴＝＝， ∴DF＝AF. 從而AD＝AF，∴AD∶DF＝7∶2. 【答案】　7∶2 8．如圖1223，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD與AC相交于O，過O的直線分別交AB，CD于E，F(xiàn)，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，則EF＝________.

18、 圖1223 【解析】　∵AD∥EF∥BC，∴＝＝＝， ∴EO＝FO，而＝＝，＝，BC＝20，AD＝12， ∴＝1－＝1－，∴EO＝7.5，∴EF＝15. 【答案】　15 三、解答題 9．線段OA⊥OB，點C為OB中點，D為線段OA上一點．連接AC，BD交于點P.如圖1224，當OA＝OB，且D為OA中點時，求的值． 圖1224 【解】　過D作DE∥CO交AC于E， 因為D為OA中點， 所以AE＝CE＝AC，＝， 因為點C為OB中點，所以BC＝CO，＝， 所以＝＝，所以PC＝CE＝AC，所以＝＝＝2. 10．如圖1225，AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，連接AD，

19、BC交于點E，EF⊥BD于F，求證：＋＝. 圖1225 【證明】　∵AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD， ∴AB∥EF∥CD， ∴＝，＝， ∴＋＝＋＝＝＝1， ∴＋＝. [能力提升] 1．如圖1226，已知△ABC中，AE∶EB＝1∶3，BD∶DC＝2∶1，AD與CE相交于F，則＋的值為(　　) 圖1226 A. B．1 C. D．2 【解析】　過點D作DG∥AB交EC于點G，則＝＝＝.而＝，即＝，所以AE＝DG，從而有AF＝FD，EF＝FG＝CG，故＋＝＋＝＋1＝. 【答案】　C 2．如圖1227，已知P，Q分別在BC和AC上，＝，＝，則＝ (　

20、　) 圖1227 A．3∶14 B．14∶3 C．17∶3 D．17∶14 【解析】　過點P作PM∥AC， 交BQ于M，則＝. ∵PM∥AC且＝， ∴＝＝. 又∵＝，∴＝＝＝， 即＝. 【答案】　B 3.如圖1228所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2.E，F(xiàn)分別為AD，BC上點，且EF＝3，EF∥AB，則梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為__________． 圖1228 【解析】　如圖，延長AD，BC交于點O，作OH⊥AB于點H. ∴＝，得x＝2h1，＝，得h1＝h2. ∴S梯形ABFE＝(3＋4)h2＝h1， S梯形EFCD＝(2＋3)h1＝h1， ∴S梯形ABFE∶S梯形EFCD＝7∶5. 【答案】　7∶5 4．某同學(xué)的身高為1.6 m，由路燈下向前步行4 m，發(fā)現(xiàn)自己的影子長為2 m，求這個路燈的高． 【解】　如圖所示，AB表示同學(xué)的身高，PB表示該同學(xué)的影長，CD表示路燈的高，則AB＝1.6 m，PB＝2 m，BD＝4 m. ∵AB∥CD， ∴＝， ∴CD＝＝＝4.8(m)， 即路燈的高為4.8 m. 最新精品資料