《精校版高中數(shù)學(xué)人教A版選修41學(xué)案：第1講 3 2 相似三角形的性質(zhì) Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《精校版高中數(shù)學(xué)人教A版選修41學(xué)案：第1講 3 2 相似三角形的性質(zhì) Word版含解析（18頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料 2．相似三角形的性質(zhì) 1．掌握相似三角形的性質(zhì)．(重點) 2．能利用相似三角形的性質(zhì)解決有關(guān)問題．(難點) [基礎(chǔ)初探] 教材整理　相似三角形的性質(zhì) 閱讀教材P16～P19“習(xí)題”以上部分，完成下列問題． 1．相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比． 2．相似三角形周長的比等于相似比． 3．相似三角形面積的比等于相似比的平方． 4．相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方． 　如圖1326，△ABC中，DE∥BC，若AE∶EC＝1∶2，且AD＝4 cm

2、，則DB等于(　　) 圖1326 A．2 cm　　 B．6 cm C．4 cm D．8 cm 【解析】　由DE∥BC， 得△ADE∽△ABC， ∴＝， ∴＝＝， ∴DB＝42＝8(cm)． 【答案】　D [質(zhì)疑手記] 預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：　 解惑：　 疑問2：　 解惑：　 [小組合作型] 　利用相似三角形性質(zhì)進行證明 　(2016南開中學(xué)模擬)如圖1327所示，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC.求證：BC2＝2ACCD. 圖1327 【精彩點撥】　要證BC2＝2ACCD，可考慮用三角形相

3、似證明，但等式右邊有常數(shù)2，故可考慮AC或CD的2倍，由圖形知可考慮取BC的中點，也可考慮CD的2倍． 【自主解答】　法一　取BC的中點E，連接AE. ∵AB＝AC，BE＝CE，∴AE⊥BC. ∴∠AEC＝∠BDC＝90，∠C＝∠C. ∴△BDC∽△AEC. ∴＝，即BCCE＝ACCD. 于是有BC2＝ACCD. 即BC2＝2ACCD. 法二　在DA上截取DF＝DC，連接BF. 在△BFD和△BCD中，∵BD⊥CF， ∴∠BDF＝∠BDC＝90. 又∵DF＝DC，BD＝BD， ∴△BFD≌△BCD，∴∠BFC＝∠C. 又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C. 則∠

4、BFC＝∠ABC. ∴△ABC∽△BFC. ∴＝. ∴BC2＝ACFC＝2ACCD. 要證明線段相等、角相等、比例式成立等結(jié)論，有時需化歸到相似三角形中加以證明，若不存在相似三角形，可添加輔助線，構(gòu)造相似三角形，最終得到結(jié)論． [再練一題] 1．如圖1328，在矩形ABCD中，E是DC的中點，BE⊥AC交AC于F，過F作FG∥AB交AE于G. 求證：AG2＝AFFC. 圖1328 【證明】　∵E為矩形ABCD的邊DC的中點， ∴AE＝BE. 又∵GF∥AB，∴EG＝EF，∴AG＝BF. ∵BE⊥AC于F，∴Rt△ABF∽Rt△BCF， ∴＝，∴BF2＝

5、AFFC，∴AG2＝AFFC. [探究共研型] 相似三角形的性質(zhì) 探究1　兩個相似三角形的外接圓的直徑比、周長比、面積比與相似比有什么關(guān)系？ 【提示】　如圖(1)(2)，△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分別是△ABC和△A′B′C′外接圓的直徑．連接BD，B′D′，則∠ABD＝∠A′B′D′＝90. ∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠C＝∠C′.而∠D＝∠C， ∠D′＝∠C′， ∴∠D＝∠D′. ∴Rt△ABD∽Rt△A′B′D′. ∴＝＝k. ∵⊙O的周長＝2π＝πAD， (2) ⊙O′的周長＝2π＝πA′D′， ∴⊙O的周長：⊙O′的周長＝＝k.

6、 又∵⊙O的面積＝π2， ⊙O′的面積＝π2， ∴⊙O的面積：⊙O′的面積＝＝k2. 探究2　兩個相似三角形的內(nèi)切圓的直徑比、周長比、面積比與相似比有什么關(guān)系？如何證明？ 【提示】　 　 (1)　　　　　　　　(2) (1)如圖(1)(2)，連接OB，OC，OD，O′B′，O′C′，O′D′. ∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠ACD＝∠A′C′D′. ∴∠OCD＝∠O′C′D′. 又∵∠ODC＝∠O′D′C′＝90， ∴△OCD∽△O′C′D′. ∴＝. 同理可證＝. ∴＝，即＝. ∴＝，即＝. ∴＝＝＝k. ∴＝k，即兩個相似三角形內(nèi)切圓的直徑比等于相

7、似比． (2)△ABC和△A′B′C′內(nèi)切圓的周長分別為C＝2πr，C′＝2πr′. ∴＝＝＝k. ∴兩個相似三角形內(nèi)切圓的周長比等于相似比． (3)設(shè)△ABC和△A′B′C′內(nèi)切圓的面積分別為S，S′，則S＝πr2，S′＝πr′2. ∴＝＝2＝k2. ∴兩個相似三角形內(nèi)切圓的面積比等于相似比的平方． 　如圖1329所示，已知D是△ABC中AB邊上一點，DE∥BC且交AC于E，EF∥AB且交BC于F，且S△ADE＝1，S△EFC＝4，則四邊形BFED的面積等于多少？ 圖1329 【精彩點撥】　利用S四邊形BFED＝S△ABC－S△ADE－S△EFC得到四邊形BFED的面積

8、． 【自主解答】　∵AB∥EF，DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC， ∴△ADE∽△EFC. 又S△ADE∶S△EFC＝1∶4， ∴AE∶EC＝1∶2. ∴AE∶AC＝1∶3. ∴S△ADE∶S△ABC＝1∶9. ∵S△ADE＝1，∴S△ABC＝9. ∴S四邊形BFED＝S△ABC－S△ADE－S△EFC＝9－1－4＝4. 1．本題中顯然△ADE∽△EFC，由面積比能得出相似比，再由相似比轉(zhuǎn)化為面積比，求出整個△ABC的面積． 2．利用相似三角形的性質(zhì)定理進行有關(guān)的計算是近幾年高考的熱點之一，在求解過程中往往要注意對應(yīng)邊的比，進行相關(guān)運算時，要

9、善于聯(lián)想，變換比例式，構(gòu)造三角形的邊或面積間的關(guān)系． [再練一題] 2．如圖1330，在平行四邊形ABCD中，點E在邊AB上，DE⊥AB，且AE∶EB＝1∶2，DE與AC交于點F，若△AEF的面積為6 cm2，求△ABC的面積． 圖1330 【解】　設(shè)AE＝x，EF＝y(tǒng)，則BE＝2x，xy＝6， ∴xy＝12. ∵AB∥CD，∴△AEF∽△CDF， ∴＝，即＝， ∴DF＝3y，∴DE＝4y， ∴S△ABC＝ABDE＝3x4y＝6xy＝612＝72(cm2)． [構(gòu)建體系] 1．已知△ABC∽△A′B′C′，且＝，BC＝2，則B′C′等于(　　) A．2　

10、 B．4　　　　 C．8　　　　 D．16 【解析】　∵＝2＝， ∴＝， 又∵BC＝2， ∴B′C′＝2BC＝4. 【答案】　B 2．已知△ABC∽△A′B′C′，＝，△ABC外接圓的直徑為4，則△A′B′C′外接圓的直徑等于(　　) A．2 B．3 C．6 D．9 【解析】　設(shè)△A′B′C′和△ABC外接圓的直徑分別是r′，r，則＝，∴＝，∴r′＝6. 【答案】　C 3．兩個相似三角形對應(yīng)邊分別長6 cm和18 cm，若大三角形的面積是36 cm2，則較小三角形的面積是(　　) A．6 cm2 B．4 cm2 C．18 cm2 D．不確定 【解

11、析】　相似比等于＝，則＝2＝， ∴S?。絊大＝36＝4(cm2)． 【答案】　B 4．在比例尺為1∶500的地圖上，測得一塊三角形土地的周長是12 cm，則這塊地的實際周長是____________m. 【解析】　這塊地的實際形狀與在地圖上的形狀是兩個相似三角形，其相似比為，則實際周長為：12500＝6 000 cm＝60 m. 【答案】　60 5．如圖1331所示，在△ABC中，BC>AC，點D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分線CF交AD于F，點E是AB的中點，連接EF. 圖1331 (1)求證：EF∥BC； (2)若四邊形BDFE的面積為6，求△ABD的面積．

12、 【解】　(1)證明：∵CF平分∠ACB，DC＝AC， ∴CF是△ACD的邊AD上的中線． ∴點F是AD的中點，又∵點E是AB的中點， ∴EF∥BD，即EF∥BC. (2)∵EF∥BD，∴△AEF∽△ABD. ∴＝2. 又∵AE＝AB，S△AEF＝S△ABD－S四邊形BDFE＝S△ABD－6， ∴＝2，∴S△ABD＝8. 我還有這些不足： (1)　 (2)　 我的課下提升方案： (1)　 (2)　 學(xué)業(yè)分層測評(四) (建議用時：45分鐘) [學(xué)業(yè)達標] 一、選擇題 1．如圖1332，D，E，F(xiàn)是△ABC的三邊中點，設(shè)△DEF的面積為，△ABC的

13、周長為9，則△DEF的周長與△ABC的面積分別是(　　) 圖1332 A.，1　　　　 B．9,4 C.，8 D.，16 【解析】　∵D，E，F(xiàn)分別為△ABC三邊的中點， ∴EF綊BC，DE綊AC，DF綊AB. ∴△DFE∽△ABC，且＝，∴＝＝. 又∵l△ABC＝9，∴l(xiāng)△DEF＝. 又∵＝＝，S△DEF＝， ∴S△ABC＝1，故選A. 【答案】　A 2．如圖1333，在?ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中點，在AB上取一點F，使△CBF∽△CDE，則BF的長是(　　) 圖1333 A．5 B．8.2 C．6.4 D．1.8 【解析】　由

14、△CBF∽△CDE，得＝， 又點E是AD的中點，AB＝CD＝10，AD＝BC＝6， ∴DE＝3，即＝，∴BF＝1.8. 【答案】　D 3．如圖1334所示，D是△ABC的AB邊上一點，過D作DE∥BC交AC于E.已知AD∶DB＝1∶3，則△ADE與四邊形BCED的面積比為(　　) 圖1334 A．1∶3　　　 B．1∶9 C．1∶15 D．1∶16 【解析】　因為DE∥BC，所以△ADE∽△ABC. 又因為AD∶DB＝1∶3. 所以AD∶AB＝1∶4，其面積比為1∶16， 則所求兩部分面積比為1∶15. 【答案】　C 4．某同學(xué)自制了一個簡易的幻燈機，其工作情況如

15、圖1335所示，幻燈片與屏幕平行，光源到幻燈片的距離是30 cm，幻燈片到屏幕的距離是1.5 m，幻燈片上小樹的高度是10 cm，則屏幕上小樹的高度是(　　) 圖1335 A．50 cm B．500 cm C．60 cm D．600 cm 【解析】　設(shè)屏幕上小樹的高度為x cm，則＝，解得x＝60(cm)． 【答案】　C 5．如圖1336，△ABC中，DE∥BC，DE分別交AB，AC于D，E，S△ADE＝2S△DCE，則＝(　　) 圖1336 A. B. C. D. 【解析】　∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， 由S△ADE＝2S△DCE，得＝，∴＝.

16、 【答案】　D 二、填空題 6．如圖1337，在△ABC中，D為AC邊上的中點，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延長線于F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝10，則AE的長為________． 圖1337 【解析】　∵AE∥BC，∴△BGF∽△AGE，∴＝＝， ∵D為AC中點，∴＝＝1，∴AE＝CF， ∴BC∶AE＝2∶1，∵BC＝10，∴AE＝5. 【答案】　5 7．如圖1338，AB與CD相交于點E，過E作BC的平行線與AD的延長線交于點P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，則PE＝________. 圖1338 【解析】　因為PE∥BC，所以∠C＝∠PED.又因

17、為∠C＝∠A，所以∠A＝∠PED.又∠P＝∠P，所以△PDE∽△PEA，則＝，即PE2＝PDPA＝23＝6，故PE＝. 【答案】　 8．(2016湛江高三調(diào)研)如圖1339，在△ABC中，已知DE∥BC，△ADE的面積是a2，梯形DBCE的面積是8a2，則＝________. 圖1339 【解析】　∵S△ADE＝a2，SDBCE＝8a2，∴S△ABC＝S△ADE＋SBDCE＝a2＋8a2＝9a2， ∴2＝＝＝，∴＝. 【答案】　 三、解答題 9．如圖1340，已知在△ABC中，D是BC邊的中點，且AD＝AC，DE⊥BC，DE與 AB相交于點E，EC與AD相交于點F.

18、圖1340 (1)求證：△ABC∽△FCD； (2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的長． 【解】　(1)證明：∵DE⊥BC，D是BC的中點， ∴EB＝EC，∴∠B＝∠1， 又∵AD＝AC， ∴∠2＝∠ACB. ∴△ABC∽△FCD. (2)過點A作AM⊥BC，垂足為點M. ∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD， ∴＝2＝4. 又∵S△FCD＝5，∴S△ABC＝20. ∵S△ABC＝BCAM，BC＝10， ∴20＝10AM，∴AM＝4. 又∵DE∥AM，∴＝. ∵DM＝DC＝BC＝， BM＝BD＋DM， BD＝BC＝5，∴＝， ∴DE＝. 10．如圖13

19、41，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC＝200 mm，高AD＝300 mm，要把它加工成長是寬的2倍的矩形零件，使矩形較短的邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上，求這個矩形零件的邊長． 圖1341 【解】　設(shè)矩形EFGH為加工成的矩形零件，邊FG在BC上，則點E，H分別在AB，AC上，△ABC的高AD與邊EH相交于點P，設(shè)矩形的邊EH的長為x mm. ∵EH∥BC，∴△AEH∽△ABC， ∴＝，∴＝， 解得x＝ (mm)，2x＝(mm)． 答：加工成的矩形零件的邊長分別為mm和mm. [能力提升] 1．如圖1342所示，已知在△ABC中，∠C＝90，正方形DEFG

20、內(nèi)接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC＝1，BC＝2，則AF∶FC等于(　　) 圖1342 A．1∶3　　　　 B．1∶4 C．1∶2 D．2∶3 【解析】　設(shè)正方形邊長為x，則由△AFE∽△ACB， 可得AF∶AC＝FE∶CB，即＝， 所以x＝，于是＝. 【答案】　C 2．如圖1343，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，DC＝80，那么EF的值是(　　) 圖1343 A．10 B．12 C．16 D．18 【解析】　∵AB∥EF∥CD， ∴＝＝＝， ∴＝＝， ∴EF＝AB＝20＝16. 【答案】　C 3．在△ABC中，如圖1344所示，BC

21、＝m，DE∥BC，DE分別交AB，AC于E，D兩點，且S△ADE＝S四邊形BCDE，則DE＝________. 圖1344 【解析】　∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ACB. 又∵S△ADE＋S四邊形BCDE＝S△ABC；S△ADE＝S四邊形BCDE， ∴S△ADE＝S△ABC， ∴2＝，∴2＝， ∴DE＝m. 【答案】　m 4．某生活小區(qū)的居民籌集資金1 600元，計劃在一塊上、下兩底分別為10 cm、20 cm的梯形空地上種植花木． (1)他們在△AMD和△BMC地帶上種植太陽花，單價為8元/m2，當(dāng)△AMD地帶種滿花后(如圖1345陰影部分)共花了160元，請計算

22、種滿△BMC地帶所需的費用； 圖1345 (2)若其余地帶要種的有玫瑰和茉莉花兩種花木可供選擇，單價分別為12元/m2和10元/m2，應(yīng)選擇種哪種花木可以剛好用完所籌集的資金？ 【解】　(1)∵四邊形ABCD是梯形，∴AD∥BC， ∴△AMD∽△CMB，∴＝2＝. ∵種植△AMD地帶花費160元， ∴S△AMD＝＝20 (m2)，∴S△CMB＝80 (m2)． ∴△BMC地帶的花費為808＝640(元)． (2)設(shè)△AMD，△BMC的高分別為h1，h2，梯形ABCD的高為h， ∵S△AMD＝10h1＝20，∴h1＝4(m)． 又∵＝，∴h2＝8(m)． ∴h＝h1＋h2＝12(m)． ∴S梯形ABCD＝(AD＋BC)h＝3012 ＝180 (m2)， ∴S△AMB＋S△DMC＝180－20－80＝80 (m2)． ∴160＋640＋8012＝1 760(元)， 160＋640＋8010＝1 600(元)． ∴應(yīng)種植茉莉花剛好用完所籌資金． 最新精品資料