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1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)講義 第2章 導(dǎo)數(shù)與微分第2章 導(dǎo)數(shù)與微分2.1 極限概念研究函數(shù)是利用極限的方法來(lái)進(jìn)行；極限是一個(gè)變量在變化過(guò)程中的變化趨勢(shì).例1 圓的周長(zhǎng)的求法.早在公元263年，古代數(shù)學(xué)家劉徽用圓內(nèi)接正四邊形、正五邊形、正八邊形、正十六邊形等的邊長(zhǎng)近似圓的周長(zhǎng)，顯然隨著邊數(shù)的增加，正多邊形的邊長(zhǎng)將無(wú)限趨近圓的周長(zhǎng).例2 討論當(dāng)時(shí)，的變化趨勢(shì).例3 討論一個(gè)定長(zhǎng)的棒，每天截去一半，隨著天數(shù)的增加，棒長(zhǎng)的變化趨勢(shì)。“一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭”莊子天下定義2.3 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的鄰域（點(diǎn)可以除外）內(nèi)有定義，如果當(dāng)無(wú)限趨于（但）時(shí)，無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù)，則稱(chēng)趨于時(shí)，以為極限，記為 或若自變量趨于時(shí)，函

2、數(shù)沒(méi)有一個(gè)固定的變化趨勢(shì)，則稱(chēng)函數(shù)在處沒(méi)有極限.在理解極限定義時(shí)要注意兩個(gè)細(xì)節(jié)：1.時(shí)，（）2.（包括這兩種情況）例1 討論時(shí), =？解：求極限時(shí)，可以利用極限的概念和直觀(guān)的了解，我們可以借助幾何圖形來(lái)求函數(shù)的極限.由幾何圖形可以看出，當(dāng)時(shí)，即=4例2討論函數(shù),當(dāng)時(shí)的極限解：此函數(shù)在處沒(méi)有定義，可以借助圖形求極限.由圖形得到2.1.3 左極限和右極限考慮函數(shù)，依照極限的定義，不能考慮的極限. 因?yàn)樵谔師o(wú)定義.又如函數(shù)，如果討論是的極限，則函數(shù)分別在和時(shí)不是同一個(gè)表達(dá)式，必須分別考慮.由此引出左右極限的概念.定義2.4 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的鄰域（點(diǎn)可以除外）內(nèi)有定義，如果當(dāng)且x無(wú)限于（即x從的左側(cè)趨于，

3、記為）時(shí)，函數(shù)無(wú)限地趨近于常數(shù)L，則稱(chēng)當(dāng)x趨于時(shí)，以L(fǎng)為左極限，記作= L； 如果當(dāng)且x無(wú)限趨于（即x從的右側(cè)趨于，記為）時(shí)，函數(shù)無(wú)限地趨近于常數(shù)R，則稱(chēng)當(dāng)x趨于時(shí)，以R為右極限，記作= R .極限存在的充分必要條件：極限存在的充分必要條件是：函數(shù)在處的左，右極限都存在且相等.即例3 , 求解：注意到此函數(shù)當(dāng)x=0的兩側(cè)表達(dá)式是不同，在0點(diǎn)處分別求左、右極限.，可見(jiàn)左右極限都存在但不相等；由幾何圖形易見(jiàn),由極限的定義知，函數(shù)在某點(diǎn)處有極限存在需在該點(diǎn)處的左右端同趨于某個(gè)常數(shù)，因此此函數(shù)在0點(diǎn)處極限不存在.2.1.4 無(wú)窮小量稱(chēng)當(dāng)時(shí)，為無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮小.補(bǔ)充內(nèi)容：無(wú)窮小量是一個(gè)特殊的變量，它

4、與有極限變量的關(guān)系是：變量y以為A極限的充分必要條件是：y可以表示成A與一個(gè)無(wú)窮小量的和，即無(wú)窮小量的有以下性質(zhì)：性質(zhì)1 有限個(gè)無(wú)窮小量的和是無(wú)窮小量；性質(zhì)2 有限個(gè)無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量；性質(zhì)3 有界函數(shù)與無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量. 無(wú)窮大量：在某個(gè)變化過(guò)程中，絕對(duì)值無(wú)限增大且可以大于任意給定的正實(shí)數(shù)的變量稱(chēng)為無(wú)窮大量.例如 因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，是無(wú)窮大量.無(wú)窮小量與無(wú)窮大量有如下“倒數(shù)關(guān)系”：定理：當(dāng)（或）時(shí)，若是無(wú)窮小（而），則是無(wú)窮大；反之，若是無(wú)窮大，則是無(wú)窮小.例4，當(dāng)時(shí)，解： 由圖形可知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小量.2.2 極限的運(yùn)算2.2.1 極限的四則運(yùn)算法則在某個(gè)變化過(guò)程中，變

5、量分別以為極限，則，例1 求解：例2 求解：例3 求解：例4 求解： 2.2.2 兩個(gè)重要極限1.幾何說(shuō)明： 如圖，設(shè)為單位圓的圓心角，則對(duì)應(yīng)的小三角形的面積為，對(duì)應(yīng)的扇形的面積為，對(duì)應(yīng)的大三角形的面積為當(dāng)時(shí)，它們的面積都是趨于0的 ，即之比的極限是趨于1的.例1 解：=2. 例2 求極限解: 例3 求極限解 2.3 函數(shù)的連續(xù)性定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義，若滿(mǎn)足，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).點(diǎn)是的連續(xù)點(diǎn).函數(shù)間斷、間斷點(diǎn)的概念如果函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，則稱(chēng)在點(diǎn)處發(fā)生間斷.使發(fā)生間斷的點(diǎn)，稱(chēng)為的間斷點(diǎn)例如 函數(shù)，在定義域內(nèi)都是連續(xù)的.例1 ,問(wèn)在處是否連續(xù)？注意：此函數(shù)是分段函數(shù)，是函數(shù)的分段點(diǎn).解:

6、 ，不存在，在處是間斷的.例2 ,問(wèn)在處是否連續(xù)？解: （無(wú)窮小量有界變量=無(wú)窮小量）在處是連續(xù)的.結(jié)論:（1）基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的；（2）連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算在其有定義處連續(xù)；（3）初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的.例3解: 注意： 是初等函數(shù)，在處有定義，利用 結(jié)論有極限值等于函數(shù)值.2.4 導(dǎo)數(shù)與微分的概念本節(jié)的主要內(nèi)容是導(dǎo)數(shù)與微分的概念.三個(gè)引例 邊際成本問(wèn)題 瞬時(shí)速率問(wèn)題 曲線(xiàn)切線(xiàn)問(wèn)題引例1： 邊際成本問(wèn)題C總成本，總產(chǎn)量已知 （當(dāng)自變量產(chǎn)生改變量，相應(yīng)的函數(shù)也產(chǎn)生改變量），（成本平均變化率），（邊際成本）引例2: 瞬時(shí)速率問(wèn)題路程是時(shí)間的函數(shù)，當(dāng)從時(shí)，從（平均速率

7、） （在時(shí)刻的瞬時(shí)速率）引例3：曲線(xiàn)切線(xiàn)問(wèn)題考慮曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)斜率.當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的，曲線(xiàn)上和兩點(diǎn)間割線(xiàn)的斜率為 （當(dāng)時(shí)），稱(chēng)為切線(xiàn)的斜率.關(guān)于函數(shù)，考慮極限定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點(diǎn)處取得改變量時(shí)，函數(shù)取得相應(yīng)的改變量.若當(dāng)時(shí)，兩個(gè)改變量之比的極限存在，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱(chēng)此極限值為 在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記為或或或 即 =若極限不存在，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo).在理解導(dǎo)數(shù)定義時(shí)要注意：導(dǎo)數(shù)也是逐點(diǎn)討論的.導(dǎo)數(shù)定義的意義數(shù)量意義 變化率經(jīng)濟(jì)意義 邊際成本幾何意義 切線(xiàn)的斜率例1 ，求思路：先求，再求.解：因?yàn)?所以，例2 ，求解: 因?yàn)?所以導(dǎo)數(shù)公式 求導(dǎo)步驟1、求； 2、求.注意：是

8、的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值微分的概念設(shè)，導(dǎo)數(shù)，兩邊同乘，得到函數(shù)的微分.微分 導(dǎo)數(shù)公式 微分公式由導(dǎo)數(shù)公式可以得到微分公式 2.5 導(dǎo)數(shù)的計(jì)算導(dǎo)數(shù)的加法法則設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則在點(diǎn)處可導(dǎo)亦可導(dǎo)，且（為常數(shù)）加法公式證明證：設(shè)，則， 由已知條件，均可導(dǎo).導(dǎo)數(shù)的乘法法則設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則在點(diǎn)處可導(dǎo)亦可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)除法法則設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則在點(diǎn)處可導(dǎo)亦可導(dǎo)，且（）例1 設(shè)函數(shù)，求析：現(xiàn)在分別知道冪函數(shù)和常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，利用上述法則可求它們組合后函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解： （利用加法法則）=（利用導(dǎo)數(shù)公式）例2 設(shè)，求.解：（提示 ）例3 設(shè)，求.解：（提示）例4 ，解：因?yàn)椋ㄓ蓪?duì)數(shù)的性質(zhì)：） 所以 （其中常數(shù)的導(dǎo)數(shù)

9、為0）例5 設(shè)，求.解：利用導(dǎo)數(shù)的乘法法則，（利用導(dǎo)數(shù)公式）例6 ，求.解：由導(dǎo)數(shù)基本公式 利用導(dǎo)數(shù)的乘法法則說(shuō)明無(wú)論用哪種方法其結(jié)果是唯一的.例7 ，求.解： 將函數(shù)看成，利用乘法法則求導(dǎo). 利用導(dǎo)數(shù)的除法法則求導(dǎo)其中.兩個(gè)結(jié)果是完全一樣的.例8 求解：（利用三角公式）同理可求.2.5.2 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則問(wèn)題：，求，則解：第一個(gè)問(wèn)題，求導(dǎo)數(shù)沒(méi)有直接公式可用.方法1：將函數(shù)展開(kāi)利用加法法則有方法2：將函數(shù)寫(xiě)成兩個(gè)因式乘積的形式，利用四則運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù).第二個(gè)問(wèn)題，展開(kāi)？共101項(xiàng)，求導(dǎo)很麻煩.寫(xiě)成因式乘積的形式，求導(dǎo)也將很麻煩.在這節(jié)課我們將介紹復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則.討論，引進(jìn)中間變量2.5.2

10、 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理 設(shè)y=f(u),u=j(x),且u=j(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，y=f(u)在點(diǎn)u=j(x)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f(j(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且或復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟分清函數(shù)的復(fù)合層次，找出所有的中間變量；依照法則，由外向內(nèi)一層層的直至對(duì)自變量求導(dǎo).多層復(fù)合的函數(shù)求導(dǎo)數(shù)對(duì)于多層復(fù)合的函數(shù)，即若，則 或注意：多層復(fù)合的函數(shù)求導(dǎo)數(shù)仍是經(jīng)過(guò)一切中間變量直至對(duì)自變量求導(dǎo).問(wèn)題: 求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？ 解：先將從方程中解出來(lái)，得到和分別求導(dǎo)和將和分別代入，得 （1）由（1）解得:（2）在（2）中隱含 隱函數(shù)求導(dǎo)方法步驟方程兩邊求導(dǎo)，；整理方程，求出.例1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分（1

11、），求解：方法一: 由.這是用導(dǎo)數(shù)的乘法法則.方法二: 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，設(shè)（其結(jié)果是完全一樣的)（2），求解：利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，設(shè).（3），求.解：利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，設(shè),例2設(shè)，求解：先求一般點(diǎn)上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再將代入求得結(jié)果.設(shè)，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，,例3設(shè)函數(shù)，求.解：（首先對(duì)函數(shù)進(jìn)行分解，找出所有中間變量）,例4 求函數(shù)，求.解：例5 設(shè)函數(shù)，求.解: 例6 求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解：方程兩邊對(duì)自變量求導(dǎo)數(shù)，此時(shí)是中間變量.,解出（與前面的結(jié)果相同）.例7求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？解：方程兩邊對(duì)自變量求導(dǎo)數(shù)，此時(shí)是中間變量.,解得 注意：在隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)結(jié)果中常常含有.例8 求雙曲線(xiàn)在點(diǎn)（1，1）處的切線(xiàn)斜率.分析：此題是求隱函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).解：因?yàn)?所以,且在點(diǎn)（1，1）處的切線(xiàn)斜率2.6 高階導(dǎo)數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)例1：一般地，函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)記為例1 求函數(shù)的二、三階導(dǎo)數(shù). 解： ，例2 求的二階導(dǎo)數(shù) 至導(dǎo)數(shù).解： ，