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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上 種群相互依存問題 1 問題的提出 一個島嶼上棲居著食肉爬行動物和哺乳動物，又長著茂盛的植物。爬行動物以哺乳動物為食物，哺乳動物又依賴植物生存。在適當(dāng)假設(shè)下建立三者關(guān)系的模型，求其平衡點。 2 模型的假設(shè) 假設(shè)不考慮植物、哺乳動物和食肉爬行動物對自身的阻滯增長作用。 3 符號的約定 ：時間； ：表示植物在時刻的數(shù)量； ：表示哺乳動物在時刻的數(shù)量； ：表示食肉爬行動物在時刻的數(shù)量； ：表示植物的固有增長率； ：反映了哺乳動物消耗植物的能力； ：哺乳動物的死亡率； ：反映了植物對哺乳動物的供養(yǎng)能力； ：反映了食肉爬行動物掠取哺乳動物

2、的能力； ：表示食肉爬行動物的死亡率； ：反映了哺乳動物對食肉爬行動物的供養(yǎng)能力。 4模型的建立與求解 4.1 Volterra基本模型的建立 設(shè)分別表示植物、哺乳動物和食肉爬行動物在時刻的數(shù)量。為植物的固有增長率，而哺乳動物的存在使植物的增長率減少，設(shè)減小的程度與捕食者數(shù)量成正比，于是植物數(shù)量的模型滿足 (1) 比例系數(shù)反映了哺乳動物消耗植物的能力。 哺乳動物離開植物無法生存，設(shè)其死亡率為，則哺乳動物獨自存在時有 (2) 而植物的存在可以為哺乳動物提供食物，但是食肉爬行動

3、物的存在使哺乳動物數(shù)量減少，設(shè)減少的程度與食肉爬行動物數(shù)量成正比，于是哺乳動物數(shù)量模型滿足 (3) 其中比例系數(shù)反映了植物對哺乳動物的供養(yǎng)能力，反映了食肉爬行動物掠取哺乳動物的能力。 食肉爬行動物離開動物無法生存，設(shè)其死亡率為，則食肉爬行動物獨自存在時有 (4) 而哺乳動物的存在可以為食肉爬行動物提供食物，于是(4)式右端應(yīng)加上哺乳動物對食肉爬行動物的增長作用，設(shè)為，于是有 (5) 比例系數(shù)反映了哺乳動物對食肉爬行動物的供養(yǎng)能力。 綜上所述，建立如下

4、微分方程組模型 (6) 4.2 Volterra基本模型的求解 4.2.1 數(shù)值解 記植物、哺乳動物和食肉爬行動物的初始數(shù)量分別為 (7) 為求微分方程組及初始條件(7)的解，設(shè)，利用MATLAB軟件求其數(shù)值解，可得的圖像及相軌線。見圖1。 圖1 關(guān)系圖及相軌線圖 從圖1中可以看出，是周期函數(shù)，相軌線是封閉曲線，從數(shù)值解近似定出周期為6.25，用數(shù)值積分可以算出在一個周期的平均值。 4.2.2 平衡點 這是一個非線性模型，不能求其解析解。所以通過平衡點的穩(wěn)定性分析，研究的變化規(guī)律，求得微分方程組的平衡點為 當(dāng)

5、然，平衡解對我們來說是沒有意義的。盡管該模型可以解釋一些現(xiàn)象，但是多數(shù)生態(tài)系統(tǒng)觀察不到Volterra基本模型顯示的那種周期震蕩，而是趨向某種平衡狀態(tài)，即系統(tǒng)存在穩(wěn)定平衡點。一些生態(tài)學(xué)家認(rèn)為，自然界里長期存在的呈周期變化的生態(tài)平衡系統(tǒng)應(yīng)該是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的，即系統(tǒng)受到不可避免的干擾而偏離原來的周期軌道后，其內(nèi)部制約作用會使系統(tǒng)自動回復(fù)原狀，如恢復(fù)原有的周期和振幅。 程序 function f=fun1(t,x); r1=1;r2=0.5;r3=0.6; a1=0.1;a2=0.02;a3=0.06;b=0.1; f=[x(1)*(r1-a1*x(2));x(2)*(-r2+a2*x(1)-b*x(3));x(3)*(-r3+a3*x(2))]; clc,clear ts=0:0.1:20; x0=[100,40,6]; [t,x]=ode45(fun1,ts,x0); subplot(1,2,1) plot(t,x(:,1),r-,t,x(:,2),t,x(:,3)); grid,gtext(x1(t)),gtext(x2(t)),gtext(x3(t)); grid subplot(1,2,2) plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3)) grid 專心---專注---專業(yè)