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1、 知源學校2016屆高三第一次月考 文科 數學試卷 制卷:楊文 審卷:劉六華 滿分:150分 考試時間:120分鐘 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1. 已知集合, 則( ) A. B. C. D. 【答案】B 2. 設復數(是虛數單位), 則( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】. 3. 已知變量之間具有線

2、性相關關系, 其散點圖如圖所示, 回歸直線的方程為, 則下列說法正確的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 4. 某幾何體的三視圖如圖所示, 則該幾何體的體積為( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由三視圖可知該幾何體為一個圓錐的, 其中圓錐的底面圓的半徑為, 高為, 所以該幾何體的體積. 故選A. 5. 已知為第二象限角, 且, 則( ) A.

3、 B. C. D. 【答案】D 【解析】為第二象限角, , , 故選D. 6. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖, 若輸入, 則輸出的結果為( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 7. 命題 “”; 命題 “函數的圖象經過點”. 則( ) A. 真真 B. 假真 C. 真假 D. 假假

4、 【答案】B 8．若雙曲線的離心率為2，則其漸近線方程為( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由雙曲線的離心率為2得, ,則其漸近線方程為. 9. 設變量滿足約束條件則的最大值為( ) A．－2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，當直線y＝－2x＋z過點B(3，0)時，z取得最大值6. 10. 已知在中, 角A, B, C所對的邊分別為, 若, 則( ) A.

5、 B. C. D. 【答案】A 【解析】由及正弦定理得, , 故 11. 已知函數的圖象如圖所示, 則的解析式可以是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由函數圖象可知, 函數為奇函數, 則可以排除B、C, 若函數為, 則時, , 排除A, 故選D. 12. 若存在實數, 使得的解集恰為, 則實數的取值范圍是( ) A. B.

6、C. D. 【答案】C 【解析】, 當時, 不等式, 即, 令, 則, 令得, 則當時, 單調遞增, 當時, 單調遞減, 所以當時, 取得極大值也是最大值, 且, 又在上恒成立, 所以當時, 的解集可能是閉區(qū)間; 當時, 不等式, 即,令, 則, 從而可知在上單調遞增, 所以的解集不可能是閉區(qū)間. 綜上可知. 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分. 13. 已知向量, 且與共線, 則實數的值為 . 【答案】. 【解析】, . 14. 設是定義在R上的周期為3的函數, 當時, , 則=

7、. 【答案】2 【解析】. 15. 圓與直線沒有公共點的充要條件是 . 【答案】 【解析】解法一: 將直線方程代入圓方程, 得, 直線與圓沒有公共點的充要條件是, 解得. 解法二: 圓心到直線的距離, 直線與圓沒有公共點的充要條件是, 即,解得. 16. 在半徑為4的球面上有不同的四點A, B, C, D, 若, 則平面BCD被球所截得圖形的面積為 . 【答案】 【解析】過點A向平面BCD作垂線, 垂足為M, 則M是的外心, 而外接球球心O位于直線AM上, 設所在截面圓半徑為r, , 在Rt中, . 三、解答題：本大題共6小

8、題，滿分70分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17.(本小題滿分10分) 在五次月考中, 甲、乙兩名同學的數學成績(單位:分)如表所示: 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 58 55 76 92 88 乙 65 82 87 85 95 (I)請畫出甲、乙兩人數學成績的莖葉圖, 你認為誰的成績好一些?請說明理由(不用計算); (II)若從甲、乙兩人五次考試成績中各隨機抽取1次進行分析, 求抽到的2次成績中至少有1次高于90分的概率. 【解析】(I)莖葉圖如圖所示, 由圖可知, 乙的平均成績大于甲的平均成績, 且乙的方差小于

9、甲的方差, 因此乙的成績好一些. …………………………………………………………5分 (II)設事件A: 抽到的2次成績中至少有1次高于90分. 從甲、乙兩人五次考試成績中各隨機抽取1次, 所有的基本事件如下{55, 65}, {55,82}, {55,85},{55,87},{55,95},{58,65}, {58,82}, {58, 85},{58, 87},{58,95},{76,65},{76, 82},{76,85}, {76,87},{76,95},{88,65},{88,82},{88,85},{88, 87},{88,95}, {92,65},{92, 82},{92,85}

10、,{92,87},{92, 95}, 共25個. ………………………………………7分 事件A包含的基本事件如下: {55,95},{58,95},{76,95},{88,85},{92, 95},{92,65},{92, 82},{92,85},{92,87}, 共9個. ………………………………………9分 所以, 即抽到的2次成績中至少有1次高于90分的概率為. ……………10分 18.(本小題滿分12分) 函數的圖象可由函數的圖象先向右平移個單位, 再將縱坐標保持不變, 橫坐標縮短為原來的而得到. (I)寫出函數的解析式并求出的周期;

11、(II)若, 求函數的最大值及當取得最大值時的值. 【解析】(I), 周期為. ………………………………………6分 (II) , 所以當即時, 取得最大值2. ………………………………………12分 19.(本小題滿分12分) 如圖, 在直角梯形中, , , , 平面平面, 是正三角形, 、分別為、的中點, 是上靠近點的四等分點. (I)證明: 平面; (II)若, 求四棱錐的體積. 【解析】(I)取AP的中點N, 連接EN,ND, 因為AN=NP, BE=EP, 所以NE//AB且NE=AB, ……………2分 因為AB//CD,且AB=CD, DF=CD,

12、所以DF//AB, 且DF=AB,所以DFNE, 所以四邊形EFDN是平行四邊形, 所以DN//EF, ………………………4分 又DN平面ADP, EF平面ADP, 所以EF//平面ADP. ………………………6分 (II)依題意, 在直角梯形ABCD中, AB//CD, ,, AB=CD, 所以CD=4, 則直角梯形ABCD的面積S=(AB+CD)BC=12. …………………………………………8分 因為是正三角形, M為BC的中點, 所以PMBC. 又平面平面,平面平面=BC, PM平面PBC, 所以PM平

13、面ABCD, 所以PM是四棱錐的底面ABCD上的高. ……………………………10分 因為是正三角形, BC=4, 所以PM=2, 故四棱錐的體積V=.……………………………12分 20.(本小題滿分12分) 已知在各項均為正數的等比數列中, . (I)求數列的通項公式; (II)設, 求數列的前項和. 【解析】(I)設等比數列的公比為, 由已知得, 又, 故, . ………………………………………………………6分 (II)由(I)知 ………………………………………………………7分 則, 兩式相減得, .

14、 ………………………………………………………12分 21.(本小題滿分12分) 已知橢圓C: , 焦距為, 長軸長為4. (I)求橢圓C的標準方程; (II)過點O作兩條互相垂直的射線, 與橢圓C交于A,B兩點. 證明: 點O到直線AB的距離為定值, 并求出這個定值. 【解析】(I)由題意知, , …………………………………………………1分 所以, . …………………………………………………3分 所以橢圓C的標準方程為. …………………………………………………4分 (II)設. i)當直線AB的斜率不存在時, 為等腰直角三角形, 不妨設直線OA

15、:. 將代入, 解得, 所以點O到直線AB的距離. …………………………………………………6分 ii)當直線AB的斜率存在時, 設直線AB的方程為,代入, 消去, 得 , 所以.………………8分 因為OAOB, 所以, 即, 所以. 整理得, 所以點O到直線AB的距離, 綜上, 點O到直線AB的距離為定值.…………………………………………………12分 22.(本小題滿分12分) 已知函數為自然對數的底數). (I)討論函數的單調性; (II)若, 函數在上為增函數, 求實數的取值范圍. 【解析】(I)函數的定義域為R, . 當時, 在R上為增函數; 當時, 由得, 則當時, , 在上為減函數, 當時, , 在上為增函數. ………………………5分 (II)當時, , 在上為增函數, 在上恒成立, 即在上恒成立, 令, , 令在上恒成立, 即在上為增函數, 即 即在上為增函數, , ………………………………………………………………………12分 第8頁 共8頁