2016年貴州省黔東南州中考數(shù)學試卷(解析版)
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1、2016年貴州省黔東南州中考數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題(每個小題4分,10個小題共40分) 1.﹣2的相反數(shù)是( ?。? A.2 B.﹣2 C. D.﹣ 【考點】相反數(shù). 【分析】根據(jù)相反數(shù)的意義,只有符號不同的數(shù)為相反數(shù). 【解答】解:根據(jù)相反數(shù)的定義,﹣2的相反數(shù)是2. 故選:A. 2.如圖,直線a∥b,若∠1=40,∠2=55,則∠3等于( ) A.85 B.95 C.105 D.115 【考點】平行線的性質(zhì). 【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠4=∠3,然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求得∠3的度數(shù). 【解答】解:∵直線a∥b, ∴∠4
2、=∠3, ∵∠1+∠2=∠4, ∴∠3=∠1+∠2=95. 故選B. 3.已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的兩根分別為m、n,則m+n的值為( ?。? A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2 【考點】根與系數(shù)的關系. 【分析】根據(jù)一元二次方程的系數(shù)結合根與系數(shù)的關系即可得出m+n的值,由此即可得出結論. 【解答】解:∵方程x2﹣2x﹣1=0的兩根分別為m、n, ∴m+n=﹣=2. 故選D. 4.如圖,在菱形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,若AB=2,∠ABC=60,則BD的長為( ?。? A.2 B.3 C. D.2 【考點】菱形的性質(zhì). 【分
3、析】首先根據(jù)菱形的性質(zhì)知AC垂直平分BD,再證出△ABC是正三角形,由三角函數(shù)求出BO,即可求出BD的長. 【解答】解:∵四邊形ABCD菱形, ∴AC⊥BD,BD=2BO, ∵∠ABC=60, ∴△ABC是正三角形, ∴∠BAO=60, ∴BO=sin60?AB=2=, ∴BD=2. 故選:D. 5.小明在某商店購買商品A、B共兩次,這兩次購買商品A、B的數(shù)量和費用如表: 購買商品A的數(shù)量(個) 購買商品B的數(shù)量(個) 購買總費用(元) 第一次購物 4 3 93 第二次購物 6 6 162 若小麗需要購買3個商品A和2個商品B,則她要花費
4、( ?。? A.64元 B.65元 C.66元 D.67元 【考點】二元一次方程組的應用. 【分析】設商品A的標價為x元,商品B的標價為y元,由題意得等量關系:①4個A的花費+3個B的花費=93元;②6個A的花費+6個B的花費=162元,根據(jù)等量關系列出方程組,再解即可. 【解答】解:設商品A的標價為x元,商品B的標價為y元, 根據(jù)題意,得, 解得:. 答:商品A的標價為12元,商品B的標價為15元; 所以312+215=66元, 故選C 6.已知一次函數(shù)y1=ax+c和反比例函數(shù)y2=的圖象如圖所示,則二次函數(shù)y3=ax2+bx+c的大致圖象是( ?。? A. B
5、. C. D. 【考點】反比例函數(shù)的圖象;一次函數(shù)的圖象;二次函數(shù)的圖象. 【分析】根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象找出a、b、c的正負,再根據(jù)拋物線的對稱軸為x=﹣,找出二次函數(shù)對稱軸在y軸左側(cè),比對四個選項的函數(shù)圖象即可得出結論. 【解答】解:∵一次函數(shù)y1=ax+c圖象過第一、二、四象限, ∴a<0,c>0, ∴二次函數(shù)y3=ax2+bx+c開口向下,與y軸交點在x軸上方; ∵反比例函數(shù)y2=的圖象在第二、四象限, ∴b<0, ∴﹣<0, ∴二次函數(shù)y3=ax2+bx+c對稱軸在y軸左側(cè). 滿足上述條件的函數(shù)圖象只有B選項. 故選B. 7.不等式組的整數(shù)解有三個
6、,則a的取值范圍是( ) A.﹣1≤a<0 B.﹣1<a≤0 C.﹣1≤a≤0 D.﹣1<a<0 【考點】一元一次不等式組的整數(shù)解. 【分析】根據(jù)不等式組的整數(shù)解有三個,確定出a的范圍即可. 【解答】解:不等式組的解集為a<x<3, 由不等式組的整數(shù)解有三個,即x=0,1,2,得到﹣1≤a<0, 故選A 8.2002年8月在北京召開的國際數(shù)學家大會會徽取材于我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖,它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的大正方形,如圖所示,如果大正方形的面積是13,小正方形的面積為1,直角三角形的較短直角邊長為a,較長直角邊長為b,那么(a+b)2的值為( )
7、 A.13 B.19 C.25 D.169 【考點】勾股定理的證明. 【分析】根據(jù)題意,結合圖形求出ab與a2+b2的值,原式利用完全平方公式化簡后代入計算即可求出值. 【解答】解:根據(jù)題意得:c2=a2+b2=13,4ab=13﹣1=12,即2ab=12, 則(a+b)2=a2+2ab+b2=13+12=25, 故選C 9.將一個棱長為1的正方體水平放于桌面(始終保持正方體的一個面落在桌面上),則該正方體正視圖面積的最大值為( ?。? A.2 B. +1 C. D.1 【考點】簡單幾何體的三視圖. 【分析】先求得正方體的一個面的上的對角線的長度,然后可求得正方體視
8、圖面積的最大值. 【解答】解:正方體正視圖為正方形或矩形. ∵正方體的棱長為1, ∴邊長為1. ∴每個面的對角線的長為=. ∴正方體的正視圖(矩形)的長的最大值為. ∵始終保持正方體的一個面落在桌面上, ∴正視圖(矩形)的寬為1. ∴最大值面積=1=. 故選:C. 10.如圖,在等腰直角△ABC中,∠C=90,點O是AB的中點,且AB=,將一塊直角三角板的直角頂點放在點O處,始終保持該直角三角板的兩直角邊分別與AC、BC相交,交點分別為D、E,則CD+CE=( ?。? A. B. C.2 D. 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì);等腰直角三角形. 【分析】連接OC
9、構建全等三角形,證明△ODC≌△OEB,得DC=BE;把CD+CE轉(zhuǎn)化到同一條線段上,即求BC的長;通過等腰直角△ABC中斜邊AB的長就可以求出BC=,則CD+CE=AB=. 【解答】解:連接OC, ∵等腰直角△ABC中,AB=, ∴∠B=45, ∴cos∠B=, ∴BC=cos45==, ∵點O是AB的中點, ∴OC=AB=OB,OC⊥AB, ∴∠COB=90, ∵∠DOC+∠COE=90,∠COE+∠EOB=90, ∴∠DOC=∠EOB, 同理得∠ACO=∠B, ∴△ODC≌△OEB, ∴DC=BE, ∴CD+CE=BE+CE=BC=, 故選B.
10、二、填空題(每個小題4分,6個小題共24分) 11.tan60= . 【考點】特殊角的三角函數(shù)值. 【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值直接得出答案即可. 【解答】解:tan60的值為. 故答案為:. 12.分解因式:x3﹣x2﹣20x= x(x+4)(x﹣5)?。? 【考點】因式分解-十字相乘法等;因式分解-提公因式法. 【分析】先提取公因式,再利用十字相乘法把原式因式分解即可. 【解答】解:原式=x(x2﹣x﹣20) =x(x+4)(x﹣5). 故答案為:x(x+4)(x﹣5). 13.在一個不透明的箱子中裝有4件同型號的產(chǎn)品,其中合格品3件、不合格品1件,現(xiàn)
11、在從這4件產(chǎn)品中隨機抽取2件檢測,則抽到的都是合格品的概率是 . 【考點】列表法與樹狀圖法. 【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖,然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與抽到的都是合格品的情況,再利用概率公式求解即可求得答案. 【解答】解:畫樹狀圖得: ∵共有12種等可能的結果,抽到的都是合格品的有6種情況, ∴抽到的都是合格品的概率是: =. 故答案為:. 14.如圖,在△ACB中,∠BAC=50,AC=2,AB=3,現(xiàn)將△ACB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)50得到△AC1B1,則陰影部分的面積為 π?。? 【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì). 【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,由此可得S陰影=,根據(jù)扇
12、形面積公式即可得出結論. 【解答】解:∵, ∴S陰影==πAB2=π. 故答案為:π. 15.如圖,點A是反比例函數(shù)y1=(x>0)圖象上一點,過點A作x軸的平行線,交反比例函數(shù)y2=(x>0)的圖象于點B,連接OA、OB,若△OAB的面積為2,則k的值為 5?。? 【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義. 【分析】延長BA,與y軸交于點C,由AB與x軸平行,得到BC垂直于y軸,利用反比例函數(shù)k的幾何意義表示出三角形AOC與三角形BOC面積,由三角形BOC面積減去三角形AOC面積表示出三角形AOB面積,將已知三角形AOB面積代入求出k的值即可. 【解答】解:延長BA,與y軸交
13、于點C, ∵AB∥x軸, ∴BC⊥y軸, ∵A是反比例函數(shù)y1=(x>0)圖象上一點,B為反比例函數(shù)y2=(x>0)的圖象上的點, ∴S△AOC=,S△BOC=, ∵S△AOB=2,即﹣=2, 解得:k=5, 故答案為:5 16.如圖,在平面直角坐標系xOy中,矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸和y軸上,OC=3,OA=2,D是BC的中點,將△OCD沿直線OD折疊后得到△OGD,延長OG交AB于點E,連接DE,則點G的坐標為?。?,)?。? 【考點】翻折變換(折疊問題);坐標與圖形性質(zhì);矩形的性質(zhì). 【分析】過點G作GF⊥OA于點F,根據(jù)全等直角三角形的判定定理
14、(HL)證出Rt△DGE≌Rt△DBE,從而得出BE=GE,根據(jù)勾股定理可列出關于AE長度的方程,解方程可得出AE的長度,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出比例關系,代入數(shù)據(jù)即可求出點G的坐標. 【解答】解:過點G作GF⊥OA于點F,如圖所示. ∵點D為BC的中點, ∴DC=DB=DG, ∵四邊形OABC是矩形, ∴AB=OC,OA=BC,∠C=∠OGD=∠ABC=90. 在Rt△DGE和Rt△DBE中,, ∴Rt△DGE≌Rt△DBE(HL), ∴BE=GE. 設AE=a,則BE=3﹣a,DE==,OG=OC=3, ∴OE=OG++GE,即=3+3﹣a, 解得:a=1, ∴A
15、E=1,OE=5. ∵GF⊥OA,EA⊥OA, ∴GF∥EA, ∴, ∴OF===,GF===, ∴點G的坐標為(,). 故答案為:(,). 三、解答題(8個小題,共86分) 17.計算:()﹣2+(π﹣3.14)0﹣||﹣2cos30. 【考點】實數(shù)的運算;零指數(shù)冪;負整數(shù)指數(shù)冪;特殊角的三角函數(shù)值. 【分析】本題涉及零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式化簡四個考點.在計算時,需要針對每個考點分別進行計算,然后根據(jù)實數(shù)的運算法則計算. 【解答】解:原式=4+1﹣(2﹣)﹣2=5﹣2+﹣=3. 18.先化簡: ?(x),然后x在﹣1,0,
16、1,2四個數(shù)中選一個你認為合適的數(shù)代入求值. 【考點】分式的化簡求值. 【分析】利用分解因式、完全平方公式以及通分法化簡原分式,再分析給定的數(shù)據(jù)中使原分式有意義的x的值,將其代入化簡后的算式中即可得出結論. 【解答】解:原式=??, =?, =x+1. ∵在﹣1,0,1,2四個數(shù)中,使原式有意義的值只有2, ∴當x=2時,原式=2+1=3. 19.解方程: +=1. 【考點】解分式方程. 【分析】觀察可得最簡公分母是(x﹣1)(x+1),方程兩邊乘最簡公分母,可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解. 【解答】解:方程的兩邊同乘(x﹣1)(x+1),得 (x+1)2﹣4=
17、(x﹣1)(x+1),解得x=1. 檢驗:把x=1代入(x﹣1)(x+1)=0. 所以原方程的無解. 20.黔東南州某中學為了解本校學生平均每天的課外學習實踐情況,隨機抽取部分學生進行問卷調(diào)查,并將調(diào)查結果分為A,B,C,D四個等級,設學生時間為t(小時),A:t<1,B:1≤t<1.5,C:1.5≤t<2,D:t≥2,根據(jù)調(diào)查結果繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請你根據(jù)圖中信息解答下列問題: (1)本次抽樣調(diào)查共抽取了多少名學生?并將條形統(tǒng)計圖補充完整; (2)本次抽樣調(diào)查中,學習時間的中位數(shù)落在哪個等級內(nèi)? (3)表示B等級的扇形圓心角α的度數(shù)是多少? (4)在此次
18、問卷調(diào)查中,甲班有2人平均每天課外學習時間超過2小時,乙班有3人平均每天課外學習時間超過2小時,若從這5人中任選2人去參加座談,試用列表或化樹狀圖的方法求選出的2人來自不同班級的概率. 【考點】列表法與樹狀圖法;扇形統(tǒng)計圖;條形統(tǒng)計圖;中位數(shù). 【分析】(1)根據(jù)B類的人數(shù)和所占的百分比即可求出總數(shù);求出C的人數(shù)從而補全統(tǒng)計圖; (2)根據(jù)中位數(shù)定義:將一組數(shù)據(jù)按照從小到大(或從大到?。┑捻樞蚺帕?,如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù),則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)可得答案; (3)用B的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)再乘以360,即可得到圓心角α的度數(shù); (4)先設甲班學生為A1,A2,乙班學生為B1
19、,B2,B3根據(jù)題意畫出樹形圖,再根據(jù)概率公式列式計算即可. 【解答】解:(1)共調(diào)查的中學生數(shù)是:8040%=200(人), C類的人數(shù)是:200﹣60﹣80﹣20=40(人), 如圖1: (2)本次抽樣調(diào)查中,學習時間的中位數(shù)落在C等級內(nèi); (3)根據(jù)題意得:α=360=54, (4)設甲班學生為A1,A2,乙班學生為B1,B2,B3, 一共有20種等可能結果,其中2人來自不同班級共有12種, ∴P(2人來自不同班級)==. 21.黔東南州某校吳老師組織九(1)班同學開展數(shù)學活動,帶領同學們測量學校附近一電線桿的高.已知電線桿直立于地面上,某天在
20、太陽光的照射下,電線桿的影子(折線BCD)恰好落在水平地面和斜坡上,在D處測得電線桿頂端A的仰角為30,在C處測得電線桿頂端A得仰角為45,斜坡與地面成60角,CD=4m,請你根據(jù)這些數(shù)據(jù)求電線桿的高(AB). (結果精確到1m,參考數(shù)據(jù):≈1.4,≈1.7) 【考點】解直角三角形的應用-方向角問題;解直角三角形的應用-仰角俯角問題. 【分析】延長AD交BC的延長線于G,作DH⊥BG于H,由三角函數(shù)求出求出CH、DH的長,得出CG,設AB=xm,根據(jù)正切的定義求出BG,得出方程,解方程即可. 【解答】解:延長AD交BC的延長線于G,作DH⊥BG于H,如圖所示: 在Rt△DHC中,
21、∠DCH=60,CD=4, 則CH=CD?cos∠DCH=4cos60=2,DH=CD?sin∠DCH=4sin60=2, ∵DH⊥BG,∠G=30, ∴HG===6, ∴CG=CH+HG=2+6=8, 設AB=xm, ∵AB⊥BG,∠G=30,∠BCA=45, ∴BC=x,BG===x, ∵BG﹣BC=CG, ∴x﹣x=8, 解得:x≈11(m); 答:電線桿的高為11m. 22.如圖,AB是⊙O的直徑,點P在BA的延長線上,弦CD⊥AB,垂足為E,且PC2=PE?PO. (1)求證:PC是⊙O的切線. (2)若OE:EA=1:2,PA=6,求⊙O的半徑
22、. 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì);垂徑定理;切線的判定. 【分析】(1)連結OC,如圖,由PC2=PE?PO和公共角可判斷△PCE∽△POC,則∠PEC=∠PCO=90,然后根據(jù)切線的判定定理可判斷PC是⊙O的切線; (2)設OE=x,則EA=2x,OA=OC=3x,證明△OCE∽△OPC,利用相似比可表示出OP,則可列方程3x+6=9x,然后解出x即可得到⊙O的半徑. 【解答】(1)證明:連結OC,如圖, ∵CD⊥AB, ∴∠PEC=90, ∵PC2=PE?PO, ∴PC:PO=PE:PC, 而∠CPE=∠OPC, ∴△PCE∽△POC, ∴∠PEC=∠PCO=9
23、0, ∴OC⊥PC, ∴PC是⊙O的切線; (2)解:設OE=x,則EA=2x,OA=OC=3x, ∵∠COE=∠POC,∠OEC=∠OCP, ∴△OCE∽△OPC, ∴OC:OP=OE:OC,即3x:OP=x:3x,解得OP=9x, ∴3x+6=9x,解得x=1, ∴OC=3, 即⊙O的半徑為3. 23.凱里市某文具店某種型號的計算器每只進價12元,售價20元,多買優(yōu)惠,優(yōu)勢方法是:凡是一次買10只以上的,每多買一只,所買的全部計算器每只就降價0.1元,例如:某人買18只計算器,于是每只降價0.1(18﹣10)=0.8(元),因此所買的18只計算器都按每只19.
24、2元的價格購買,但是每只計算器的最低售價為16元. (1)求一次至少購買多少只計算器,才能以最低價購買? (2)求寫出該文具店一次銷售x(x>10)只時,所獲利潤y(元)與x(只)之間的函數(shù)關系式,并寫出自變量x的取值范圍; (3)一天,甲顧客購買了46只,乙顧客購買了50只,店主發(fā)現(xiàn)賣46只賺的錢反而比賣50只賺的錢多,請你說明發(fā)生這一現(xiàn)象的原因;當10<x≤50時,為了獲得最大利潤,店家一次應賣多少只?這時的售價是多少? 【考點】二次函數(shù)的應用. 【分析】(1)設一次購買x只,由于凡是一次買10只以上的,每多買一只,所買的全部計算器每只就降低0.10元,而最低價為每只16元,因此
25、得到20﹣0.1(x﹣10)=16,解方程即可求解; (2)由于根據(jù)(1)得到x≤50,又一次銷售x(x>10)只,因此得到自變量x的取值范圍,然后根據(jù)已知條件可以得到y(tǒng)與x的函數(shù)關系式; (3)首先把函數(shù)變?yōu)閥=﹣0.1x2+9x=﹣0.1(x﹣45)2+202.5,然后可以得到函數(shù)的增減性,再結合已知條件即可解決問題. 【解答】解:(1)設一次購買x只, 則20﹣0.1(x﹣10)=16, 解得:x=50. 答:一次至少買50只,才能以最低價購買; (2)當10<x≤50時, y=[20﹣0.1(x﹣10)﹣12]x=﹣0.1x2+9x, 當x>50時,y=(16﹣1
26、2)x=4x; 綜上所述:y=; (3)y=﹣0.1x2+9x=﹣0.1(x﹣45)2+202.5, ①當10<x≤45時,y隨x的增大而增大,即當賣的只數(shù)越多時,利潤更大. ②當45<x≤50時,y隨x的增大而減小,即當賣的只數(shù)越多時,利潤變?。? 且當x=46時,y1=202.4, 當x=50時,y2=200. y1>y2. 即出現(xiàn)了賣46只賺的錢比賣50只賺的錢多的現(xiàn)象. 當x=45時,最低售價為20﹣0.1(45﹣10)=16.5(元),此時利潤最大. 24.如圖,直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別相交于點B、C,經(jīng)過B、C兩點的拋物線y=ax2+bx+c與x
27、軸的另一個交點為A,頂點為P,且對稱軸為直線x=2. (1)求該拋物線的解析式; (2)連接PB、PC,求△PBC的面積; (3)連接AC,在x軸上是否存在一點Q,使得以點P,B,Q為頂點的三角形與△ABC相似?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由. 【考點】二次函數(shù)綜合題. 【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的對稱性,已知對稱軸的解析式以及B點的坐標,即可求出A的坐標,利用拋物線過A、B、C三點,可用待定系數(shù)法來求函數(shù)的解析式 (2)首先利用各點坐標得出得出△PBC是直角三角形,進而得出答案; (3)本題要先根據(jù)拋物線的解析式求出頂點P的坐標,然后求出BP的長,進而分情況進
28、行討論: ①當=,∠PBQ=∠ABC=45時,根據(jù)A、B的坐標可求出AB的長,根據(jù)B、C的坐標可求出BC的長,已經(jīng)求出了PB的長度,那么可根據(jù)比例關系式得出BQ的長,即可得出Q的坐標. ②當=,∠QBP=∠ABC=45時,可參照①的方法求出Q的坐標. ③當Q在B點右側(cè),即可得出∠PBQ≠∠BAC,因此此種情況是不成立的,綜上所述即可得出符合條件的Q的坐標. 【解答】解:(1)∵直線y=﹣x+3與x軸相交于點B, ∴當y=0時,x=3, ∴點B的坐標為(3,0), ∵y=﹣x+3過點C,易知C(0,3), ∴c=3. 又∵拋物線過x軸上的A,B兩點,且對稱軸為x=2, 根據(jù)拋
29、物線的對稱性, ∴點A的坐標為(1,0). 又∵拋物線y=ax2+bx+c過點A(1,0),B(3,0), ∴ 解得: ∴該拋物線的解析式為:y=x2﹣4x+3; (2)如圖1,∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1, 又∵B(3,0),C(0,3), ∴PC===2,PB==, ∴BC===3, 又∵PB2+BC2=2+18=20,PC2=20, ∴PB2+BC2=PC2, ∴△PBC是直角三角形,∠PBC=90, ∴S△PBC=PB?BC=3=3; (3)如圖2,由y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,得P(2,﹣1), 設拋物線的對稱軸交x軸于點M,
30、 ∵在Rt△PBM中,PM=MB=1, ∴∠PBM=45,PB=. 由點B(3,0),C(0,3)易得OB=OC=3,在等腰直角三角形OBC中,∠ABC=45, 由勾股定理,得BC=3. 假設在x軸上存在點Q,使得以點P,B,Q為頂點的三角形與△ABC相似. ①當=,∠PBQ=∠ABC=45時,△PBQ∽△ABC. 即=, 解得:BQ=3, 又∵BO=3, ∴點Q與點O重合, ∴Q1的坐標是(0,0). ②當=,∠QBP=∠ABC=45時,△QBP∽△ABC. 即=, 解得:QB=. ∵OB=3, ∴OQ=OB﹣QB=3﹣, ∴Q2的坐標是(,0). ③當Q在B點右側(cè), 則∠PBQ=180﹣45=135,∠BAC<135, 故∠PBQ≠∠BAC. 則點Q不可能在B點右側(cè)的x軸上, 綜上所述,在x軸上存在兩點Q1(0,0),Q2(,0), 能使得以點P,B,Q為頂點的三角形與△ABC相似. 2016年8月10日 第18頁(共18頁)
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