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1、第12章 重積分
內容提要
(一)二重積分概念和性質
1.二重積分定義:設二元函數(shù)定義在有界閉區(qū)域上。將任意劃分成除公共邊界外沒有其它公共部分的個子區(qū)域(),在每個中任取一點(),作和式。令表示各子區(qū)域直徑的最大值,若極限存在,且極限值和區(qū)域的分割方式以及各子區(qū)域中點的取法無關,則稱函數(shù)在區(qū)域上可積,并稱此極限為在區(qū)域上的二重積分,記作,即
其中,稱為被積函數(shù),為被積表達式,為面積元素,、是積分變量,是積分區(qū)域,并稱為積分和式。
2.二重積分的幾何意義:設在區(qū)域上連續(xù),當時,二重積分表示以曲面為頂,底面區(qū)域是的曲頂柱體的體積。
3.性質
(1
2、)線性性質
若,在上可積,和為任意常數(shù),則在上可積,且
。
(2)積分區(qū)域可加性質
若,且和除邊界外沒有公共部分,則在上可積的充要條件是在和上都可積,且
。
(3)不等式性質
設,在上可積,則
(i)若,,則
,
特別有 。
(ii)若,是的面積,則有
。
(4)積分中值定理
設為有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù),則存在,使得
,
其中是的面積。
(5)對稱區(qū)域上奇偶函數(shù)的積分性質
設在有界閉區(qū)域上可積,
(i)若關于軸對稱,則
,
其中。
(ii)若關于軸對稱,則
,
其中。
(二)二重積分的計算
1.利用直角坐標系計算
3、二重積分
設在平面有界閉區(qū)域上連續(xù):
(i)若,其中、在上連續(xù)。區(qū)域的特點是:穿過內與軸平行的直線與的邊界相交不多于兩點,稱為型區(qū)域。則
。
(ii)若,其中、在上連續(xù)。區(qū)域的特點是:穿過內與軸平行的直線與的邊界相交不多于兩點,稱為型區(qū)域。則
。
如果區(qū)域不滿足以上條件,可以將區(qū)域分成若干個部分區(qū)域,使每個部分區(qū)域滿足以上條件,再利用積分關于區(qū)域的可加性來計算。
2.利用極坐標系計算二重積分
極坐標與直角坐標的關系為,極坐標系中的面積元素為。在極坐標系下,二重積分可變?yōu)?
(i)極點在區(qū)域外。區(qū)域在極坐標下可表示為
,
其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù),則
(ii)極點在區(qū)
4、域邊界上。區(qū)域在極坐標下可表示為
,
其中函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),則
(iii)極點在區(qū)域內。區(qū)域在極坐標下可表示為
,
其中在區(qū)間上連續(xù),從而有
(三)二重積分的應用
1.曲面面積:設曲面是由方程給出,在平面上的投影區(qū)域為,且函數(shù)在上有連續(xù)的偏導數(shù)。則曲面的面積為
2.物理應用:設平面薄片在平面上所占的區(qū)域為,其面密度為。
(1) 薄片質量:。
(2) 一階矩:薄片關于、軸的一階矩、分別為
,
(3) 薄片質心:,。
(4) 薄片關于、軸和原點的轉動慣量分別為:
,
(四)三重積分的定義
設為空間閉區(qū)域上的有界函數(shù),將任意分成個子域,以表示第個子域的
5、體積。在每一個子域上任取一點,作和式,如果當所有子域直徑中的最大值趨于零時,這和式的極限存在,則稱此極限值為函數(shù)在區(qū)域上的三重積分,記作,即
(五) 三重積分的性質
(1)線性性質
,其中在上可積,為常數(shù)。
(2)分域性質
,
其中在上可積,且無公共內點。
(3)若在上可積且,則有
(4)估值公式
設在有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù),其最大值為,最小值,則
上式中表示閉區(qū)域的體積。
(5)中值定理
設在有界連通閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù),則,使
(六)三重積分的計算
(1)在直角坐標系中的計算方法
(a)先單后重法
若先對積分,則將積分區(qū)域向平面投影,記投影區(qū)域為,
6、可表示為,則
類似可以先對y積分或先對x積分。
(b)先重后單法
將積分區(qū)域向子軸投影得,再用垂直于軸的平面去截積分區(qū)域,得,則有
(2)在柱面坐標系中的算法
設
若,則
(3)在球坐標系中的方法
設,若
則一
(七)三重積分的應用
(1)體積
(2)物體的質量
若物體所占空間區(qū)域為,密度函數(shù)為,則質量
(3)質心坐標
(4)轉動慣量
復習指導:
第12章 重積分
學習指導
1. 掌握二重積分的概念。
2. 會用聯(lián)立不等式表示平面區(qū)域。
3. 熟練掌握直角坐標系下二重積分的計算。能按照積分區(qū)域的特征將二重
7、積分轉化為二次積分,也能由二次積分的積分限確定二重積分的積分區(qū)域,并進一步變換二次積分的次序。
4. 會將直角坐標系中簡單曲線的方程改寫為極坐標系下的方程,會確定極坐標系中積分區(qū)域的參數(shù)變化范圍,會在極坐標系下計算簡單區(qū)域的二重積分。
5. 掌握二重積分的幾何意義,能用二重積分計算平面區(qū)域的面積和空間中簡單立體的體積。
6. 會用二重積分計算質量、質心、一階矩和轉動慣量等。
7. 掌握第一型曲面積分的概念,會確定曲面在坐標平面上的投影區(qū)域,會計算簡單曲面上的第一型曲面積分。
8.對三重積分可以理解為密度函數(shù)為的所占的區(qū)域為的物體的質量。理解這一點對三重積分的許多性質的理解有極大的幫助
8、。
還應將三重積分和以前各類積分比較,一方面可以加強理解,另一方面也使同學不易忘記和混淆。
三重積分
變密度三維空間立體的質量
定積分dx
變密度一維直剛絲的質量
第一型曲線積分
變密度彎曲剛絲的質量
二重積分
變密度二維平面薄片的質量
第一型曲面積分
變密度空間曲面薄片的質量
9.對稱性
當積分區(qū)域關于面對稱時,若被積函數(shù)關于為偶函數(shù),即
,則
其中為在面之上方的部分
若被積函數(shù)關于為奇函數(shù), ,即,則
當關于其他坐標面對稱時有類似結論。
10.各類坐標系的選擇
(1)當積分區(qū)域是圓柱形或圓錐形區(qū)域,或在某坐標面上的投影是圓域,被積函數(shù)具有的形式,常采用柱坐標系。
(2)當積分區(qū)域是與球相關的區(qū)域,而被積函數(shù)具有的形式時,常采用球坐標。
(3)其他如平面或拋物面構成的區(qū)域,可選用直角坐標系。
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