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1、第12章 重積分內(nèi)容提要（一）二重積分概念和性質(zhì)1二重積分定義：設二元函數(shù)定義在有界閉區(qū)域上。將任意劃分成除公共邊界外沒有其它公共部分的個子區(qū)域（），在每個中任取一點（），作和式。令表示各子區(qū)域直徑的最大值，若極限存在，且極限值和區(qū)域的分割方式以及各子區(qū)域中點的取法無關(guān)，則稱函數(shù)在區(qū)域上可積，并稱此極限為在區(qū)域上的二重積分，記作，即 其中，稱為被積函數(shù)，為被積表達式，為面積元素，、是積分變量，是積分區(qū)域，并稱為積分和式。2二重積分的幾何意義：設在區(qū)域上連續(xù)，當時，二重積分表示以曲面為頂，底面區(qū)域是的曲頂柱體的體積。3性質(zhì)（1）線性性質(zhì)若，在上可積，和為任意常數(shù)，則在上可積，且。（2）積分區(qū)域可

2、加性質(zhì)若，且和除邊界外沒有公共部分，則在上可積的充要條件是在和上都可積，且。（3）不等式性質(zhì)設，在上可積，則（i）若，則，特別有 。（ii）若，是的面積，則有。（4）積分中值定理設為有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，則存在，使得，其中是的面積。（5）對稱區(qū)域上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)設在有界閉區(qū)域上可積，（i）若關(guān)于軸對稱，則，其中。（ii）若關(guān)于軸對稱，則，其中。（二）二重積分的計算1利用直角坐標系計算二重積分設在平面有界閉區(qū)域上連續(xù)：（i）若，其中、在上連續(xù)。區(qū)域的特點是：穿過內(nèi)與軸平行的直線與的邊界相交不多于兩點，稱為型區(qū)域。則。（ii）若，其中、在上連續(xù)。區(qū)域的特點是：穿過內(nèi)與軸平行的直線與的邊界相交

3、不多于兩點，稱為型區(qū)域。則。如果區(qū)域不滿足以上條件，可以將區(qū)域分成若干個部分區(qū)域，使每個部分區(qū)域滿足以上條件，再利用積分關(guān)于區(qū)域的可加性來計算。2利用極坐標系計算二重積分極坐標與直角坐標的關(guān)系為，極坐標系中的面積元素為。在極坐標系下，二重積分可變?yōu)椋╥）極點在區(qū)域外。區(qū)域在極坐標下可表示為，其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù)，則（ii）極點在區(qū)域邊界上。區(qū)域在極坐標下可表示為，其中函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則（iii）極點在區(qū)域內(nèi)。區(qū)域在極坐標下可表示為，其中在區(qū)間上連續(xù)，從而有（三）二重積分的應用1曲面面積：設曲面是由方程給出，在平面上的投影區(qū)域為，且函數(shù)在上有連續(xù)的偏導數(shù)。則曲面的面積為2物理應用：設平面薄片

4、在平面上所占的區(qū)域為，其面密度為。（1） 薄片質(zhì)量：。（2） 一階矩：薄片關(guān)于、軸的一階矩、分別為，（3） 薄片質(zhì)心：，。（4） 薄片關(guān)于、軸和原點的轉(zhuǎn)動慣量分別為：，（四）三重積分的定義設為空間閉區(qū)域上的有界函數(shù)，將任意分成個子域，以表示第個子域的體積。在每一個子域上任取一點，作和式，如果當所有子域直徑中的最大值趨于零時，這和式的極限存在，則稱此極限值為函數(shù)在區(qū)域上的三重積分，記作，即(五) 三重積分的性質(zhì)（1）線性性質(zhì)，其中在上可積，為常數(shù)。（2）分域性質(zhì)，其中在上可積，且無公共內(nèi)點。（3）若在上可積且，則有（4）估值公式設在有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，其最大值為，最小值，則上式中表示閉區(qū)域的

5、體積。（5）中值定理設在有界連通閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，則，使（六）三重積分的計算（1）在直角坐標系中的計算方法（a）先單后重法若先對積分，則將積分區(qū)域向平面投影，記投影區(qū)域為，可表示為，則類似可以先對y積分或先對x積分。（b）先重后單法將積分區(qū)域向子軸投影得，再用垂直于軸的平面去截積分區(qū)域，得，則有（2）在柱面坐標系中的算法設若，則（3）在球坐標系中的方法設，若則一（七）三重積分的應用（1）體積（2）物體的質(zhì)量若物體所占空間區(qū)域為，密度函數(shù)為，則質(zhì)量（3）質(zhì)心坐標（4）轉(zhuǎn)動慣量復習指導：第12章 重積分學習指導1 掌握二重積分的概念。2 會用聯(lián)立不等式表示平面區(qū)域。3 熟練掌握直角坐標系下二重積

6、分的計算。能按照積分區(qū)域的特征將二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分，也能由二次積分的積分限確定二重積分的積分區(qū)域，并進一步變換二次積分的次序。4 會將直角坐標系中簡單曲線的方程改寫為極坐標系下的方程，會確定極坐標系中積分區(qū)域的參數(shù)變化范圍，會在極坐標系下計算簡單區(qū)域的二重積分。5 掌握二重積分的幾何意義，能用二重積分計算平面區(qū)域的面積和空間中簡單立體的體積。6 會用二重積分計算質(zhì)量、質(zhì)心、一階矩和轉(zhuǎn)動慣量等。7 掌握第一型曲面積分的概念，會確定曲面在坐標平面上的投影區(qū)域，會計算簡單曲面上的第一型曲面積分。8對三重積分可以理解為密度函數(shù)為的所占的區(qū)域為的物體的質(zhì)量。理解這一點對三重積分的許多性質(zhì)的理解有極大

7、的幫助。還應將三重積分和以前各類積分比較，一方面可以加強理解，另一方面也使同學不易忘記和混淆。三重積分變密度三維空間立體的質(zhì)量定積分dx變密度一維直剛絲的質(zhì)量第一型曲線積分變密度彎曲剛絲的質(zhì)量二重積分變密度二維平面薄片的質(zhì)量第一型曲面積分變密度空間曲面薄片的質(zhì)量9對稱性 當積分區(qū)域關(guān)于面對稱時，若被積函數(shù)關(guān)于為偶函數(shù)，即，則 其中為在面之上方的部分 若被積函數(shù)關(guān)于為奇函數(shù), ，即，則 當關(guān)于其他坐標面對稱時有類似結(jié)論。10各類坐標系的選擇（1）當積分區(qū)域是圓柱形或圓錐形區(qū)域，或在某坐標面上的投影是圓域，被積函數(shù)具有的形式，常采用柱坐標系。（2）當積分區(qū)域是與球相關(guān)的區(qū)域，而被積函數(shù)具有的形式時，常采用球坐標。（3）其他如平面或拋物面構(gòu)成的區(qū)域，可選用直角坐標系。9 / 9文檔可自由編輯打印