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2008—2009學(xué)年第二學(xué)期《高等數(shù)學(xué)B2》考試試題及答案(A卷)

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1、武漢大學(xué)2008—2009學(xué)年第二學(xué)期《高等數(shù)學(xué)B2》試題 (A卷) 一、(30 分)試解下列各題: 1、(6分)求解微分方程滿足的特解。 2、(6分)求曲面在點(diǎn)處的切平面方程。 3、(6分)已知級(jí)數(shù)在處收斂,試討論此級(jí)數(shù)在處的斂散性。 4、(6分)計(jì)算,其中由所圍成的區(qū)域。 5、(6分)判別級(jí)數(shù)的斂散性. 若收斂,是條件收斂還是絕對(duì)收斂? 二、(10分)函數(shù)由方程所確定, 是不全為零的常數(shù),證明: 。 三、(12分)設(shè),而,其中二階可導(dǎo),求。 四、(10分)試將函數(shù)展成的冪級(jí)數(shù)。 五

2、、(10分)設(shè) (1)求在點(diǎn)處的梯度及方向?qū)?shù)的最大值; (2)問(wèn):在哪些點(diǎn)的梯度垂直于軸。 六、(10分)計(jì)算曲面積分 ,其中為曲面 ,取下側(cè)。 七、(10分)設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),并使曲線積分與路徑無(wú)關(guān),求函數(shù)。 八、(8分)將正數(shù)分為正數(shù)之和,使得最大(其中為已知正數(shù))。 武漢大學(xué)2006—2007學(xué)年第二學(xué)期《高等數(shù)學(xué)B2》試題A參考解答 一、(30分)試解下列各題: 1、(6分)求解微分方程滿足的特解。 解:由,得,即 而,故 2、(6分)求曲面在點(diǎn)處的切平面方程。 解 設(shè) 故曲面在點(diǎn)處的切平面的法向量為: 所以切平面方程

3、為: 3、(6分)已知級(jí)數(shù)在處收斂,試討論此級(jí)數(shù)在處的斂散性。 解 由阿貝爾定理知,此級(jí)數(shù)在即時(shí)絕對(duì)收斂,故此級(jí)數(shù)在處絕對(duì)收斂。 4、(6分)計(jì)算,其中由所圍成的區(qū)域。 解:由對(duì)稱性, 5、(6分)判別級(jí)數(shù)的斂散性. 若收斂,是條件收斂還是絕對(duì)收斂? 解:,由比值判別法知原級(jí)數(shù)的絕對(duì)值級(jí)數(shù)收斂,故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 二、(10 分) 函數(shù)由方程所確定, 是不全為零的常數(shù),證明: 證明:方程兩邊同時(shí)對(duì)求偏導(dǎo)得 故 三、(12分)設(shè),而,其中二階可導(dǎo),求。 解 因?yàn)? 所以 四、 (10分)試將函數(shù)展成的冪級(jí)數(shù). 解 因?yàn)?,則得

4、 (也可利用求解) 五、(10分)設(shè) (1)求在點(diǎn)處的梯度及方向?qū)?shù)的最大值; (2)問(wèn):在哪些點(diǎn)的梯度垂直于軸。 解 (1) 由 故 所以在點(diǎn)處方向?qū)?shù)的最大值為: (2)由,而軸,即,由此得: 所以平面上的點(diǎn)處的梯度垂直于軸。 六、(10分)計(jì)算曲面積分 ,其中為曲面 ,取下側(cè). 解:取平面,取上側(cè).則與構(gòu)成封閉曲面,取外側(cè).令與所圍空間區(qū)域?yàn)?,由Gauss公式,得 七、(10分)設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),并使曲線積分與路徑無(wú)關(guān),求函數(shù)。 解 由題意得: 即 特征方程,特征根

5、 對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為: 又因?yàn)槭翘卣鞲?。故其特解可設(shè)為: 代入方程并整理得: 即 故所求函數(shù)為: 八、(8分)將正數(shù)分為正數(shù)之和,使得最大。(其中為已知正數(shù)) 解法一 化為無(wú)條件極值求解,即求的極值。 令 即 解之得 , 再由 求得 。 當(dāng),或或時(shí),均為0,不可能為最大,故將分成的三個(gè)正數(shù)為,,。 解法二 利用拉格朗日乘數(shù)法求解.作函數(shù) 令 及 將(1),(2),(3)中之移至等式右端,記為然后由得 得 并將其代入(4),從而得到所求三個(gè)正數(shù)為 ,,。 解法三 因?yàn)?故當(dāng)最大時(shí)也最大。利用拉格朗日乘數(shù)法,作函數(shù) 令 及 (4) 由(1),(2)得由(2),(3)得并代入(4),從而得,, 3

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