《2008—2009學年第二學期《高等數學B2》考試試題及答案（A卷）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2008—2009學年第二學期《高等數學B2》考試試題及答案（A卷）（3頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、武漢大學2008—2009學年第二學期《高等數學B2》試題 （A卷） 一、（30 分）試解下列各題： 1、（6分）求解微分方程滿足的特解。 2、（6分）求曲面在點處的切平面方程。 3、（6分）已知級數在處收斂，試討論此級數在處的斂散性。 4、（6分）計算，其中由所圍成的區(qū)域。 5、（6分）判別級數的斂散性. 若收斂，是條件收斂還是絕對收斂？ 二、（10分）函數由方程所確定， 是不全為零的常數，證明： 。 三、（12分）設，而，其中二階可導，求。 四、（10分）試將函數展成的冪級數。 五

2、、（10分）設 （1）求在點處的梯度及方向導數的最大值； （2）問：在哪些點的梯度垂直于軸。 六、（10分）計算曲面積分 ,其中為曲面 ，取下側。 七、（10分）設函數具有連續(xù)的二階導數，并使曲線積分與路徑無關，求函數。 八、（8分）將正數分為正數之和,使得最大(其中為已知正數)。 武漢大學2006—2007學年第二學期《高等數學B2》試題A參考解答 一、（30分）試解下列各題： 1、（6分）求解微分方程滿足的特解。 解：由，得，即 而，故 2、（6分）求曲面在點處的切平面方程。 解 設 故曲面在點處的切平面的法向量為： 所以切平面方程

3、為： 3、（6分）已知級數在處收斂，試討論此級數在處的斂散性。 解 由阿貝爾定理知，此級數在即時絕對收斂，故此級數在處絕對收斂。 4、（6分）計算，其中由所圍成的區(qū)域。 解：由對稱性， 5、（6分）判別級數的斂散性. 若收斂，是條件收斂還是絕對收斂？ 解：，由比值判別法知原級數的絕對值級數收斂，故原級數絕對收斂. 二、（10 分） 函數由方程所確定， 是不全為零的常數，證明： 證明：方程兩邊同時對求偏導得 故 三、（12分）設，而，其中二階可導，求。 解 因為 所以 四、 （10分）試將函數展成的冪級數． 解 因為 ，則得

4、 （也可利用求解） 五、（10分）設 （1）求在點處的梯度及方向導數的最大值； （2）問：在哪些點的梯度垂直于軸。 解 （1） 由 故 所以在點處方向導數的最大值為： （2）由，而軸，即，由此得： 所以平面上的點處的梯度垂直于軸。 六、（10分）計算曲面積分 ，其中為曲面 ，取下側． 解：取平面，取上側．則與構成封閉曲面，取外側．令與所圍空間區(qū)域為，由Gauss公式，得 七、（10分）設函數具有連續(xù)的二階導數，并使曲線積分與路徑無關，求函數。 解 由題意得： 即 特征方程，特征根

5、 對應齊次方程的通解為： 又因為是特征根。故其特解可設為： 代入方程并整理得： 即 故所求函數為： 八、（8分）將正數分為正數之和,使得最大。(其中為已知正數) 解法一 化為無條件極值求解,即求的極值。 令 即 解之得 ， 再由 求得 。 當，或或時,均為0,不可能為最大,故將分成的三個正數為，，。 解法二 利用拉格朗日乘數法求解.作函數 令 及 將(1)，(2)，(3)中之移至等式右端,記為然后由得 得 并將其代入(4),從而得到所求三個正數為 ，，。 解法三 因為,故當最大時也最大。利用拉格朗日乘數法,作函數 令 及 （4） 由(1),(2)得由（2），（3）得并代入(4),從而得，， 3