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1、第一講數(shù)學思想方法第一講數(shù)學思想方法思想方法例析思想方法例析函數(shù)與方程思想函數(shù)與方程思想1函數(shù)與方程思想的含義函數(shù)與方程思想的含義(1)函數(shù)的思想，是用運動和變化的觀點，分析函數(shù)的思想，是用運動和變化的觀點，分析和研究數(shù)學中的數(shù)量關系，建立函數(shù)關系或構和研究數(shù)學中的數(shù)量關系，建立函數(shù)關系或構造函數(shù)，運用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、造函數(shù)，運用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決函數(shù)思想是轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質(zhì)認識，用于指導解題，即善對函數(shù)概念的本質(zhì)認識，用于指導解題，即善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點觀察、分析和解決于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點觀察、分

2、析和解決問題問題(2)方程的思想，就是分析數(shù)學問題中變量間的方程的思想，就是分析數(shù)學問題中變量間的等量關系，建立方程或方程組，通過解方程或等量關系，建立方程或方程組，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問方程組，或者運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決方程的思想是對方程概題，使問題獲得解決方程的思想是對方程概念的本質(zhì)認識，用于指導解題就是善于利用方念的本質(zhì)認識，用于指導解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察、處理問題程或方程組的觀點觀察、處理問題(3)方程的思想與函數(shù)的思想密切相關：方程方程的思想與函數(shù)的思想密切相關：方程f(x)0的解就是函數(shù)的解就是函數(shù)yf(x)的圖

3、象與的圖象與x軸的交點的軸的交點的橫坐標；函數(shù)橫坐標；函數(shù)yf(x)也可以看作二元方程也可以看作二元方程f(x)y0.通過方程進行研究，方程通過方程進行研究，方程f(x)a有解，當有解，當且僅當且僅當a屬于函數(shù)屬于函數(shù)f(x)的值域，函數(shù)與方程的這的值域，函數(shù)與方程的這種相互轉(zhuǎn)化關系十分重要種相互轉(zhuǎn)化關系十分重要2函數(shù)與方程的思想在解題中的應用函數(shù)與方程的思想在解題中的應用(1)函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化對函數(shù)函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化對函數(shù)yf(x)，當當y0時，就化為不等式時，就化為不等式f(x)0，借助于函數(shù)的，借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決有關問題，而研究函數(shù)的性圖象和性質(zhì)可解決有關問題，而研究

4、函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式質(zhì)也離不開不等式(2)數(shù)列的通項與前數(shù)列的通項與前n項和是自變量為正整數(shù)的項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點去處理數(shù)列問題十分重函數(shù)，用函數(shù)的觀點去處理數(shù)列問題十分重要要(3)解析幾何中的許多問題，需要通過解二元方解析幾何中的許多問題，需要通過解二元方程組才能解決這都涉及二次方程與二次函數(shù)程組才能解決這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有關理論的有關理論(4)立體幾何中有關線段、角、面積、體積的計立體幾何中有關線段、角、面積、體積的計算，經(jīng)常需要運用列方程或建立函數(shù)表達式的算，經(jīng)常需要運用列方程或建立函數(shù)表達式的方法加以解決建立空間直角坐標系后，立體方法加以解決建立空間直

5、角坐標系后，立體幾何與函數(shù)的關系更加密切幾何與函數(shù)的關系更加密切 (2011年高考湖北卷年高考湖北卷)將兩個頂點在拋物將兩個頂點在拋物線線y22px（p0）上，另一個頂點是此拋物線上，另一個頂點是此拋物線焦點的正三角形個數(shù)記為焦點的正三角形個數(shù)記為n，則，則()An0Bn1Cn2 Dn3例例1【答案】【答案】C例例21數(shù)形結合思想的含義數(shù)形結合思想的含義(1)所謂數(shù)形結合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應所謂數(shù)形結合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題關系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題的一種重要思想方法數(shù)形結合思想通過的一種重要思想方法數(shù)形結合思想通過“以形以形助數(shù)

6、，以數(shù)輔形助數(shù)，以數(shù)輔形”，使復雜問題簡單化，抽象問，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質(zhì)，它是數(shù)學的規(guī)律性與于把握數(shù)學問題的本質(zhì)，它是數(shù)學的規(guī)律性與靈活性的有機結合靈活性的有機結合數(shù)形結合思想數(shù)形結合思想(2)數(shù)形結合包含數(shù)形結合包含“以形助數(shù)以形助數(shù)”和和“以數(shù)輔形以數(shù)輔形”兩個兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：一是借方面，其應用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，助形的生動性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應用函數(shù)即以形作為手段，數(shù)作為目

7、的，比如應用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應用曲線的即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)2數(shù)形結合思想解決的問題類型數(shù)形結合思想解決的問題類型(1)運用數(shù)軸、運用數(shù)軸、Venn圖解決不等式圖解決不等式(組組)的解集、的解集、集合運算問題；集合運算問題；(2)運用平面直角坐標系和函數(shù)的圖象解決函數(shù)運用平面直角坐標系和函數(shù)的圖象解決函數(shù)問題、不等式問題、方程問題等；問題

8、、不等式問題、方程問題等；(3)三角函數(shù)與解三角形問題；三角函數(shù)與解三角形問題；(4)立體幾何問題；立體幾何問題；(5)可行域求最優(yōu)解問題；可行域求最優(yōu)解問題；(6)數(shù)列問題；數(shù)列問題；(7)方程的曲線與曲線的方程等解析幾何問題方程的曲線與曲線的方程等解析幾何問題(8)復數(shù)問題復數(shù)問題.例例3【答案】【答案】D例例4【答案】【答案】B1分類討論思想的含義分類討論思想的含義(1)分類討論思想就是當問題所給的對象不能進分類討論思想就是當問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時，需要把研究對象按某個標準分行統(tǒng)一研究時，需要把研究對象按某個標準分類，然后對每一類分別研究得出結論，最后綜類，然后對每一類分別研究

9、得出結論，最后綜合各類結果得到整個問題的解答實質(zhì)上，分合各類結果得到整個問題的解答實質(zhì)上，分類討論是類討論是“化整為零，各個擊破，再積零為整化整為零，各個擊破，再積零為整”的解題策略的解題策略分類討論思想分類討論思想(2)對問題實行分類與整合，確定分類標準后等對問題實行分類與整合，確定分類標準后等于增加了一個已知條件，實現(xiàn)了有效增設，將于增加了一個已知條件，實現(xiàn)了有效增設，將大問題大問題(或綜合性問題或綜合性問題)分解為小問題分解為小問題(或基礎性或基礎性問題問題)，優(yōu)化解題思路，降低問題難度，優(yōu)化解題思路，降低問題難度2分類討論的常見類型分類討論的常見類型有關分類討論的數(shù)學問題需要運用分類討

10、論思有關分類討論的數(shù)學問題需要運用分類討論思想來解決，引起分類討論的原因大致可歸納為想來解決，引起分類討論的原因大致可歸納為如下幾種：如下幾種：(1)由數(shù)學概念引起的分類討論：有的概念本身由數(shù)學概念引起的分類討論：有的概念本身是分類的，如絕對值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、是分類的，如絕對值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等對數(shù)函數(shù)等(2)由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論：由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論：有的數(shù)學定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在有的數(shù)學定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結論不一致，如等比數(shù)列的前不同的條件下結論不一致，如等比數(shù)列的前n項項和公式、函數(shù)的單調(diào)性等和公

11、式、函數(shù)的單調(diào)性等(3)由數(shù)學運算要求引起的分類討論：如除法運由數(shù)學運算要求引起的分類討論：如除法運算中除數(shù)不為零，偶次方根被開方數(shù)為非負，算中除數(shù)不為零，偶次方根被開方數(shù)為非負，對數(shù)真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運算中底數(shù)的要對數(shù)真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個正數(shù)、負數(shù)，三角求，不等式兩邊同乘以一個正數(shù)、負數(shù)，三角函數(shù)的定義域等函數(shù)的定義域等(4)由圖形的不確定性引起的分類討論：有的圖形由圖形的不確定性引起的分類討論：有的圖形類型、位置需要分類，如角的終邊所在的象限，類型、位置需要分類，如角的終邊所在的象限，點、線、面的位置關系等點、線、面的位置關系等(5)由參數(shù)的變化

12、引起的分類討論：某些含有參數(shù)由參數(shù)的變化引起的分類討論：某些含有參數(shù)的問題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的的問題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會導致所得結果不同，或?qū)τ诓煌膮⑷≈挡煌瑫е滤媒Y果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運用不同的求解或證明方法數(shù)值要運用不同的求解或證明方法(6)由實際意義引起的討論：此類問題常常出現(xiàn)在由實際意義引起的討論：此類問題常常出現(xiàn)在應用題中，特別是排列、組合中的計數(shù)問題應用題中，特別是排列、組合中的計數(shù)問題例例5 (2011年高考上海卷年高考上海卷)已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)a2xb3x，其中常數(shù)，其中常數(shù)a，b滿足滿足ab0.(1)若若ab0，判

13、斷函數(shù)，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；的單調(diào)性；(2)若若ab0，求，求f(x1)f(x)時時x的取值范圍的取值范圍【解解】(1)當當a0，b0時，任意時，任意x1，x2R，x1x2，則則f(x1)f(x2)a(2x12x2)b(3x13x2)2x12x2，a0a(2x12x2)0，3x13x2，b0b(3x13x2)0，f(x1)f(x2)0，函數(shù)，函數(shù)f(x)在在R上是增函數(shù)上是增函數(shù)例例61轉(zhuǎn)化與化歸思想的含義轉(zhuǎn)化與化歸思想的含義(1)轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，就是在研究和解決有轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關數(shù)學問題時采用某種手段將問題通過變換使關數(shù)學問題時采用某種手段將問題通過變換使之

14、轉(zhuǎn)化，進而得到解決問題的一種方法一般之轉(zhuǎn)化，進而得到解決問題的一種方法一般是將復雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題，是將復雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題題轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸思想(2)轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考中占有相當重要的地轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考中占有相當重要的地位，可以說比比皆是，如未知向已知的轉(zhuǎn)化、位，可以說比比皆是，如未知向已知的轉(zhuǎn)化、復雜問題向簡單問題的轉(zhuǎn)化、不同數(shù)學問題之復雜問題向簡單問題的轉(zhuǎn)化、不同數(shù)學問題之間的互相轉(zhuǎn)化

15、、實際問題向數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化間的互相轉(zhuǎn)化、實際問題向數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化等各種變換的具體解題方法都是轉(zhuǎn)化的手段，等各種變換的具體解題方法都是轉(zhuǎn)化的手段，轉(zhuǎn)化的思想方法滲透到所有的數(shù)學教學內(nèi)容和轉(zhuǎn)化的思想方法滲透到所有的數(shù)學教學內(nèi)容和解題過程中解題過程中2轉(zhuǎn)化與化歸的常見方法轉(zhuǎn)化與化歸的常見方法(1)直接轉(zhuǎn)化法：把原問題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、直接轉(zhuǎn)化法：把原問題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問題基本公式或基本圖形問題(2)換元法：運用換元法：運用“換元換元”把式子轉(zhuǎn)化為有理式把式子轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等，把較復雜的函數(shù)、方程、不或使整式降冪等，把較復雜的函數(shù)、方程、不等式問題轉(zhuǎn)化為易于解決的基

16、本問題等式問題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問題(3)數(shù)形結合法：研究原問題中數(shù)量關系數(shù)形結合法：研究原問題中數(shù)量關系(解析式解析式)與空間形式與空間形式(圖形圖形)關系，通過互相變換獲得轉(zhuǎn)化關系，通過互相變換獲得轉(zhuǎn)化途徑途徑(4)等價轉(zhuǎn)化法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個易于解決等價轉(zhuǎn)化法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個易于解決的等價命題，達到化歸的目的的等價命題，達到化歸的目的(5)特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的問題，結論適合原問轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的問題，結論適合原問題題(6)構造法：構造法：“構造構造”一個合適的數(shù)學模型，把問一個合適的數(shù)學模型，把問題

17、變?yōu)橐子诮鉀Q的問題題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題(7)坐標法：以坐標系為工具，用計算方法解決坐標法：以坐標系為工具，用計算方法解決幾何問題是轉(zhuǎn)化方法的一個重要途徑幾何問題是轉(zhuǎn)化方法的一個重要途徑(8)類比法：運用類比推理，猜測問題的結論，類比法：運用類比推理，猜測問題的結論，易于確定易于確定(9)參數(shù)法：引進參數(shù)，使原問題轉(zhuǎn)化為熟悉的參數(shù)法：引進參數(shù)，使原問題轉(zhuǎn)化為熟悉的形式進行解決形式進行解決(10)補集法：如果正面解決原問題有困難，可補集法：如果正面解決原問題有困難，可把原問題的結果看作集合把原問題的結果看作集合A，而把包含該問題的，而把包含該問題的整體問題的結果類比為全集整體問題的結果類比為全集U

18、，通過解決全集，通過解決全集U及補集及補集 UA獲得原問題的解決，體現(xiàn)了正難則獲得原問題的解決，體現(xiàn)了正難則反的原則反的原則 如圖，在正方體如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，中，M、N、P分別為所在棱的中點，分別為所在棱的中點，O為面對角線為面對角線A1C1的中點求證：的中點求證：(1)平面平面MNP平面平面A1C1B；(2)OM平面平面A1C1B.例例7【證明證明】(1)連接連接D1C，則，則MN為為DD1C的中的中位線，位線，MND1C.又又D1CA1B，MNA1B.同理，同理，MPC1B.而而MN與與MP相交，相交，MN，MP在平面在平面MNP內(nèi)，內(nèi)，A1B，C1B在平面在平面A1C1B內(nèi)內(nèi)平面平面MNP平面平面A1C1B. 已知集合已知集合Ay|y2(a2a1)ya(a21)0，By|y26y80，若，若AB ，則實數(shù)則實數(shù)a的取值范圍為的取值范圍為_【解析解析】由題意得由題意得Ay|ya21或或ya，By|2y4，我們不妨先考慮當，我們不妨先考慮當AB 時時a的取值范圍如圖：的取值范圍如圖：例例8本部分內(nèi)容講解結束本部分內(nèi)容講解結束按按ESC鍵退出全屏播放鍵退出全屏播放