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1、【專題二】 數(shù)列與不等式【考情分析】1 數(shù)列在高考中，一般設(shè)計一個客觀題和一個解答題，主要考查數(shù)列和不等式部分的基本知識，對基本運算能力要求較高，解答題常常綜合考查函數(shù)、方程、不等式等知識難度較大，尤其是數(shù)列、函數(shù)和不等式的綜合考題，又加入了邏輯推理能力的考查，成為了近幾年數(shù)列考題的新熱點2 數(shù)列與不等式部分的重點為：等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式、前項和；不等式的性質(zhì)、解法和兩個重要不等式的應用；該部分重點考查運算能力和邏輯推理能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸于轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想【知識交匯】1等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合等差數(shù)列與等比數(shù)列都是高考命題的重點知識，考題經(jīng)常將它們綜合在一起綜

2、合考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式、求和公式等基礎(chǔ)知識和基本性質(zhì)的靈活應用，對基本的運算要求比較高例1設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則的前項和=（ ） A B C D答案：A解析：設(shè)數(shù)列的公差為，則根據(jù)題意得，解得或（舍去），所以數(shù)列的前項和例2等比數(shù)列的前n項和為，且4，2，成等差數(shù)列若=1，則=（ ）（A）7 （B）8 （3）15 （4）16解析：4，2，成等差數(shù)列，即，因此選C點評：該類題目綜合考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、通項公式和等比數(shù)列的求和公式等，基礎(chǔ)性較強，綜合程度較小，要求具有較熟練的運算能力2函數(shù)與不等式綜合不等式與函數(shù)有著密切的聯(lián)系，其中線性規(guī)劃求

3、目標函數(shù)的最值是近幾年高考的熱點問題之一，經(jīng)常以選擇題或填空題出現(xiàn)有不少關(guān)于最值方面的問題，通常用二次函數(shù)的配方法求最值或用均值不等式求最值，考題經(jīng)常以與不等式有關(guān)的實際應用問題出現(xiàn)在應用不等式解決實際問題時，要注意以下四點：理解題意，設(shè)變量設(shè)變量時一般把要求最值的變量定為自變量；建立相應的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最值問題；在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最值；正確寫出答案x 2 2 y O -2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-y+2=0 例設(shè)x，y滿足約束條件 ，若目標函數(shù)z=ax+by（a0，b0）的值是最大值為12，則的最小值為（ ） A B C D 4答案：A解析：不等式表示的

4、平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當直 線ax+by= z（a0，b0）過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點（4,6）時，目標函數(shù)z=ax+by（a0，b0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6, 而=，故選A點評：本題綜合地考查了線性規(guī)劃問題和由基本不等式求函數(shù)的最值問題要求能準確地畫出不等式表示的平面區(qū)域，并且能夠求得目標函數(shù)的最值，對于形如已知2a+3b=6，求的最小值常用乘積進而用基本不等式解答例4本公司計劃2008年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元，甲、乙電視臺的廣告收費標準分別為元/分鐘和200元/分鐘，規(guī)定甲、乙兩個電視臺

5、為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司事來的收益分別為03萬元和02萬元問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是 萬元答案：700100200300100200300400500yxlM解析：設(shè)公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為分鐘和分鐘，總收益為 元，由題意得目標函數(shù)為二元一次不等式組等價于作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域如圖：作直線，即平移直線，從圖中可知，當直線過點時，目標函數(shù)取 得最大值聯(lián)立解得點的坐標為（元）點評：本題是線性規(guī)劃的實際應用問題，需要通過審題理解題意，找出各量之間的關(guān)系，找出線性約束條件，寫出所研究的目標函數(shù)，通過

6、數(shù)形結(jié)合解答問題用線性規(guī)劃的方法解決實際問題能提高學生分析問題、解決問題的能力，隨著課改的深入，這類試題應該是高考的熱點題型之一例5設(shè)為實數(shù)，函數(shù) (1)若，求的取值范圍； (2)求的最小值； (3)設(shè)函數(shù)，直接寫出(不需給出演算步驟)不等式的解集解析：（1）若，則；（2）當時，當時，綜上；（3）時，得，當時，；當時，0，得：；討論得：當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為點評：本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及解一元二次不等式等基礎(chǔ)知識，考查靈活運用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力3函數(shù)與數(shù)列的綜合高考試題中經(jīng)常將函數(shù)與數(shù)列綜合在一起，設(shè)計綜合性較強的解答

7、題，考查數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項及求和公式等主干知識和分析問題、解決問題的邏輯推理能力例6知函數(shù)（）設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列，前n項和為，其中若點(nN*)在函數(shù)的圖象上，求證：點也在的圖象上；（）求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值解析：()證明： 因為所以，由點在函數(shù)的圖象上,， 又， 所以，是的等差數(shù)列， 所以,又因為,所以, 故點也在函數(shù)的圖象上()解:,令得當x變化時,的變化情況如下表: x(-,-2)-2(-2,0)f(x)+0-f(x)極大值 注意到,從而當,此時無極小值；當?shù)臉O小值為,此時無極大值；當既無極大值又無極小值點評：本小題主要考查函數(shù)極值、等差數(shù)列等基本知識，考查分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學

8、思想方法，考查分析問題和解決問題的能力4數(shù)列與不等式、簡易邏輯等的綜合數(shù)列是培養(yǎng)推理論證能力的極好載體，將數(shù)列的知識與推理證明的方法交織在一起進行考查，是新課程高考中的一個亮點，常常榮歸納、猜想、數(shù)學歸納法、分類討論、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想和方法于一體，對能力的要求較高例7設(shè)若是與的等比中項，則的最小值為（ ） A8 B4 C1 D答案：B解析：因為，所以，當且僅當即時“=”成立，故選擇B點評：本小題考查指數(shù)式和對數(shù)式的互化，以及均值不等式求最值的運用，考查了變通能力例8設(shè)數(shù)列滿足為實數(shù)（）證明：對任意成立的充分必要條件是；（）設(shè)，證明：；（）設(shè)，證明：解析： (1) 必要性： ，又 ，即充分性

9、：設(shè)，對用數(shù)學歸納法證明， 當時，假設(shè)， 則，且，由數(shù)學歸納法知對所有成立(2) 設(shè) ，當時，結(jié)論成立當 時， ,由（1）知，所以 且 ， ， ，(3) 設(shè) ，當時，結(jié)論成立， 當時，由（2）知， 點評：該題綜合考查了等比數(shù)列的求和、不等式的性質(zhì)的應用、充分必要條件和數(shù)學歸納法等，具有較高的難度，對邏輯推理能力的考查要求較高數(shù)列與概率的綜合數(shù)列與概率的綜合考查，雖然不是經(jīng)常但很有新意，這種命題也體現(xiàn)了在知識交匯處命題的指導思想例9將一骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時向上的點數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為（） 解析：一骰子連續(xù)拋擲三次得到的數(shù)列共有個，其中為等差數(shù)列有三類：（1）公差為0的有6個；（2）公差

10、為1或-1的有8個；（3）公差為2或-2的有4個，共有18個，成等差數(shù)列的概率為，選B點評：本題是以數(shù)列和概率的背景出現(xiàn)，題型新穎而別開生面，有采取分類討論，分類時要做到不遺漏，不重復【思想方法】【例1】已知等比數(shù)列的首項為，公比滿足又已知，成等差數(shù)列 （1）求數(shù)列的通項（2）令，求證：對于任意，都有解析：（1） （2）證明： ， 【分析】轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學中的重要思想，把復雜的問題轉(zhuǎn)化成清晰的問題是我們解題的指導思想本題中的第（）問，采用裂項相消法，將式子進行轉(zhuǎn)化后就可以抵消很多項，從而只剩下首末兩項，進而由n的范圍證出不等式【例2】在數(shù)列中，其中（）求數(shù)列的通項公式；（）求數(shù)列的前項和；（）證

11、明存在，使得對任意均成立解析：（） ，由此可猜想出數(shù)列的通項公式為以下用數(shù)學歸納法證明（1）當時，等式成立（2）假設(shè)當時等式成立，即，那么這就是說，當時等式也成立根據(jù)（1）和（2）可知，等式 對任何都成立（）解：設(shè)，當時，式減去式，得， 這時數(shù)列的前項和當時，這時數(shù)列的前項和（）證明：通過分析，推測數(shù)列的第一項最大，下面證明：由知，要使式成立，只要，因為所以式成立因此，存在，使得對任意均成立【分析】分類討論思想是數(shù)學中的重要思想，本題以數(shù)列的遞推關(guān)系式為載體，綜合考查了等比數(shù)列的前項和公式、數(shù)列求和、不等式的證明等基礎(chǔ)知識與基本方法，第2問體現(xiàn)了對運用分類討論的考查DFByxAOE【例3】設(shè)橢

12、圓中心在坐標原點，A(2,0)、B(0,1)是它的兩個頂點，直線與AB相交于點D，與橢圓相較于E、F兩點()若 ,求k的值；()求四邊形AEBF面積的最大值 解析：（）依題設(shè)得橢圓的方程為，直線的方程分別為， 如圖，設(shè)，其中，且滿足方程，故由知，得；由在上知，得所以，化簡得，解得或 （）解法一：根據(jù)點到直線的距離公式和式知，點到的距離分別為， 又，所以四邊形的面積為 ，當，即當時，上式取等號所以的最大值為 解法二：由題設(shè)，設(shè)，由得，故四邊形的面積為 ，當時，上式取等號所以的最大值為 【分析】方程與函數(shù)思想是數(shù)學中的重要思想，該題對于k的求解就是通過建立k的方程，然后解出的；而對于四邊形的面積的

13、求解，是通過構(gòu)造面積關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系，然后根據(jù)均值不等式來解決其最值問題【專題演練】1公差不為零的等差數(shù)列的前項和為若是的等比中項, ,則等于 ( ) A 18 B 24 C 60 D 902 等差數(shù)列an和bn的前n項和分別用Sn和Tn表示，若，則的值為( )A B C D 3已知函數(shù)，則不等式的解集是（ ）A B C D4 已知x0，y0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則的最小值是_5設(shè)數(shù)列的前項和為，點均在函數(shù)的圖象上則數(shù)列的通項公式為 6命題實數(shù)滿足，其中，命題實數(shù)滿足或，且是的必要不充分條件，求的取值范圍7已知二次函數(shù)的二次項系數(shù)為 a ，且不等式 的解集為（1

14、 , 3）（l）若方程有兩個相等的根，求的解析式； （2）若的最大值為正數(shù)，求 a 的取值范圍8圍建一個面積為360m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口，如圖所示，已知舊墻的維修費用為45元/m,新墻的造價為180元/m,設(shè)利用的舊墻的長度為x(單位：元)（）將y表示為x的函數(shù)： （）試確定x,使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用【參考答案】1答案：C解析：由得得,再由得:則,所以,故選C2答案：A解析： ； 3 答案：C解析：依題意得或所以或解得：，故選C4答案：4 解析：45答案：解析

15、：由題意得，即當n2時， ;當n=1時，-21-1-61-5所以6解析：設(shè)，=因為是的必要不充分條件，所以，且推不出而，所以，則或即或7解析：（1）因為的解集為（1，3），所以且 因而 （1）由方程得： （2）因為方程（2）有兩個相等的根所以，即解得：（舍去）或，將代入（1）得的解析式為：，（2），有a 0，且a 0解得：，故當?shù)淖畲笾禐檎龜?shù)時，實數(shù)a的取值范圍是8解析：（1）如圖，設(shè)矩形的另一邊長為a m，則-45x-180(x-2)+1802a=225x+360a-360，由已知xa=360,得a=，所以y=225x+ (II)當且僅當225x=時，等號成立即當x=24m時，修建圍墻的總費用最小，最小總費用是10440元