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1、九年級數(shù)學(xué)（上冊）第一章 證明(二)4.角平分線（1）性質(zhì)定理與逆定理駛向勝利的彼岸角平分線w你還能利用折紙的方法得到角平分線及角平分線上的點嗎你還能利用折紙的方法得到角平分線及角平分線上的點嗎? ?回顧 思考已知已知: :如圖如圖,OC,OC是是AOBAOB的平分線的平分線,P,P是是OCOC上任意一點上任意一點,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分別是垂足分別是D,E.D,E.求證求證:PD=PE.:PD=PE.而OPDOPB的條件由已知易知它滿足公理(AAS). 故結(jié)論可證.老師期望:你能寫出規(guī)范的證明過程.分析:要證明PD=PE,只要證明它們所在的OPDOPB，w你還記得角平

2、分線上的點有什么性質(zhì)嗎你還記得角平分線上的點有什么性質(zhì)嗎? ?w角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等. .w你能證明這一結(jié)論嗎你能證明這一結(jié)論嗎? ?OCB1A2PDE駛向勝利的彼岸幾何的幾何的三種語言三種語言w定理定理 角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等. .老師提示:這個結(jié)論是經(jīng)常用來證明兩條線段相等的根據(jù)之一.開啟 智慧w如圖如圖, ,wOCOC是是AOBAOB的平分線的平分線,P,P是是OCOC上任意一點上任意一點,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分別是垂足分別是D,E(D,E(已知已知) )PD=P

3、E(PD=PE(角平分線上的點到這角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等個角的兩邊距離相等).).OCB1A2PDE進步的標(biāo)志進步的標(biāo)志駛向勝利的彼岸思考分析w你能寫出你能寫出“定理定理 角平分線上的點到角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等這個角的兩邊距離相等”的逆命題嗎的逆命題嗎? ?w逆命題逆命題 在一個角的內(nèi)部在一個角的內(nèi)部, ,且到角的兩邊距離相等的且到角的兩邊距離相等的點點, ,在這個角的平分線上在這個角的平分線上. .w它是真命題嗎它是真命題嗎? ?如果是如果是. .請你證明它請你證明它. .已知已知: :如圖如圖,PA=PB, ,PA=PB, PDOA,PEOB,PDOA,PEOB

4、,垂足分別是垂足分別是D,E.D,E.求證求證: :點點P P在在AOBAOB的平分線上的平分線上. .分析分析: :要證明點要證明點P P在在AOBAOB的的平分平分線上線上, ,可可以先作出過點以先作出過點P P的射線的射線OC,OC,然后證明然后證明1=2.1=2.老師期望老師期望: :你能寫出規(guī)范的證明過程你能寫出規(guī)范的證明過程. .OCB1A2PDE駛向勝利的彼岸逆定理逆定理 我能行我能行w逆定理逆定理 在一個角的內(nèi)部在一個角的內(nèi)部, ,且到角的兩邊距離相等且到角的兩邊距離相等的點的點, ,在這個角的平分線上在這個角的平分線上. .w如圖如圖, ,wPA=PB, PDOA,PEOB,

5、PA=PB, PDOA,PEOB,垂足垂足分別是分別是D,E(D,E(已知已知),),w點點P P在在AOBAOB的平分線上的平分線上.(.(在一在一個角的內(nèi)部個角的內(nèi)部, ,且到角的兩邊距離相且到角的兩邊距離相等的點等的點, ,在這個角的平分線上在這個角的平分線上).).老師提示:這個結(jié)論又是經(jīng)常用來證明點在直線上(或直線經(jīng)過某一點)的根據(jù)之一.從這個結(jié)果出發(fā),你還能聯(lián)想到什么?OCB1A2PDE駛向勝利的彼岸尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖 做一做做一做l已知:AOBAOB,如圖.l求作:射線OC,使AOC=BOCAOC=BOC.l作法:l用尺規(guī)作角的平分線用尺規(guī)作角的平分線. .l1.在OAT和OB上分

6、別截取OD,OE,使OD=OE.l2.分別以點D和E為圓心,以大于DE/2長為半徑作弧,兩弧在 AOBAOB內(nèi)內(nèi)交于點C.l3.作射線OC.請你說明OC為什么是AOBAOB的的平分線,并與同伴進行交流.老師提示:作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖,這種方法要確實掌握.ABOCl則射線OC就是AOBAOB的平分線.DE挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我 隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)駛向勝利的彼岸l如圖,AD,AE分別是ABCABC中中AA的內(nèi)角平分線外角平的內(nèi)角平分線外角平分線分線, ,它們有什么關(guān)系它們有什么關(guān)系? ?老師期望:你能說出結(jié)論并能證明它.EDABCF夢想成真 隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)2.如圖,一目標(biāo)在A區(qū),到期公路,鐵路距

7、離相等,離公路與鐵路的交叉處500m.在圖上標(biāo)出它的位置(比例尺 1:20 000).A區(qū) 回味無窮w定理定理 角平分線上的點到這個角的兩邊角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等距離相等. .wOCOC是是AOBAOB的平分線的平分線,P,P是是OCOC上任意一上任意一點點,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分別是垂足分別是D,E(D,E(已已知知) )PD=PE(PD=PE(角平分線上的點到這個角的兩角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等邊距離相等).).w逆定理逆定理 在一個角的內(nèi)部在一個角的內(nèi)部, ,且到角的兩邊且到角的兩邊距離相等的點距離相等的點, ,在這個角的平分線上在這個角的

8、平分線上. .wPA=PB, PDOA,PEOB,PA=PB, PDOA,PEOB,垂足分別是垂足分別是D,E(D,E(已知已知),),w點點P P在在AOBAOB的平分線上的平分線上.(.(在一個角的在一個角的內(nèi)部內(nèi)部, ,且到角的兩邊距離相等的點且到角的兩邊距離相等的點, ,在這在這個角的平分線上個角的平分線上).).w用尺規(guī)作角的平分線用尺規(guī)作角的平分線. .w鄰補角的角平分線之間的關(guān)系鄰補角的角平分線之間的關(guān)系. .w如如小結(jié) 拓展OCB1A2PDE知識的升華獨立獨立作業(yè)作業(yè)P9習(xí)題1.8 1,2,3題.祝你成功！習(xí)題1.8 獨立作業(yè)獨立作業(yè)駛向勝利的彼岸w1.利用尺規(guī)作出三角形三個內(nèi)

9、角的平分線. w老師期望:w先分別作出不同形狀的三角形,再按要求去作圖.w你發(fā)現(xiàn)了什么？習(xí)題1.8 獨立作業(yè)獨立作業(yè)駛向勝利的彼岸w2. 如圖,求作一點P,使PC=PD,并且點P到AOB的兩邊的距離相等. 老師期望:養(yǎng)成用數(shù)學(xué)解釋生活的習(xí)慣. CDABO習(xí)題1.8 獨立作業(yè)獨立作業(yè)駛向勝利的彼岸w3.已知:如圖,在ABC中,AD是它的角平分線,且BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分別是E,F.w求證:EB=FC. 老師期望:做完題目后,一定要“悟”到點東西,納入到自己的認知結(jié)構(gòu)中去. BAEDCF結(jié)束寄語嚴格性之于數(shù)學(xué)家,猶如道德之于人.證明的規(guī)范性在于：條理清晰，因果相應(yīng),言必有據(jù).這是初學(xué)證明者謹記和遵循的原則.下課了!