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1、題型八題型八 第第23題二次函數(shù)綜合題題二次函數(shù)綜合題第二部分第二部分 熱點題型攻略熱點題型攻略類型一類型一 線段問題線段問題類型二類型二 面積問題面積問題類型三類型三 圖形判定問題圖形判定問題 典例精講類型一類型一 線段問題線段問題 如圖，拋物線如圖，拋物線y x2-bx+c與直線與直線l：y x-1交于點交于點A(4，2)、B(0，-1).(1)求拋物線的解析式；求拋物線的解析式；(2)點點D為直線為直線l下方的拋物線上的動點，過點下方的拋物線上的動點，過點D作作DEy軸軸交交l于點于點E、作、作DFl于點于點F，設點，設點D的橫坐標為的橫坐標為t.用含用含t的代數(shù)式表示的代數(shù)式表示DE的

2、長；的長；設設RtDEF的周長為的周長為p，求，求p與與t的函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，并求關(guān)系式，并求p的最大值及此時點的最大值及此時點D的坐標的坐標.例例11234(1)【思路分析思路分析】將將A、B兩點坐標分別代入拋物線中求出兩點坐標分別代入拋物線中求出b、c值即可；值即可；解解：由題意得：由題意得： ，解得解得 ，故拋物線的解析式為故拋物線的解析式為y x2- x-1； 42-4b+c2c=-112b c-1 541254(2)【思路分析思路分析】根據(jù)一次函數(shù)和拋物線的解析式設出點根據(jù)一次函數(shù)和拋物線的解析式設出點D、E坐標，通過觀察圖形即可表示出坐標，通過觀察圖形即可表示出DE的長度關(guān)系式；的

3、長度關(guān)系式；設直線與設直線與x軸交于點軸交于點G，先求出，先求出GBO的周長，再通過觀的周長，再通過觀察圖形得到察圖形得到GBODEF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到DEF的周長關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解的周長關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.解解：點：點D在在y= x2- x-1上，可設上，可設D點坐標為點坐標為(t，t2- t-1)，E點坐標為點坐標為(t， t-1)，則則DE t-1-( t2- t-1)- t2+2t，125412543434125412例例1題解圖題解圖在在y x-1中，令中，令y0得得x ，直線直線AB與與x軸交于點軸交于點G( ，0)

4、，BG ，34434322451 +=33OBG的周長為的周長為1+ =4，DEy軸，軸，OBGFED，又又BOGEFD90，GBODEF， ，p- t2+ t- (t-2)2+ ，當當t2時，時，pmax ，此時，此時D點坐標為點坐標為(2，- ).45+332122543ttp652456524524532例例1題解圖題解圖【方法指導方法指導】分析河南近分析河南近8年中招真題，二次函數(shù)中求線段年中招真題，二次函數(shù)中求線段問題分三類：問題分三類： (1)線段的數(shù)量關(guān)系線段的數(shù)量關(guān)系此類問題一般是求滿足線段數(shù)量關(guān)系的點的坐標，針對這此類問題一般是求滿足線段數(shù)量關(guān)系的點的坐標，針對這種情況應先在

5、圖中找出對應線段，弄清已知點和未知點；種情況應先在圖中找出對應線段，弄清已知點和未知點；再聯(lián)系二次函數(shù)和一次函數(shù)，設出未知點的坐標，使其只再聯(lián)系二次函數(shù)和一次函數(shù)，設出未知點的坐標，使其只含一個未知數(shù)；最后表示出線段的長度，列出滿足線段數(shù)含一個未知數(shù)；最后表示出線段的長度，列出滿足線段數(shù)量關(guān)系的等式，從而求出未知數(shù)的值；量關(guān)系的等式，從而求出未知數(shù)的值；(2)線段最值問題線段最值問題此類問題通常有兩類：設出關(guān)鍵的點的未知數(shù)此類問題通常有兩類：設出關(guān)鍵的點的未知數(shù)(通常是一通常是一個跟所求線段關(guān)系緊密的點的橫坐標個跟所求線段關(guān)系緊密的點的橫坐標)，通過題目中的函數(shù)，通過題目中的函數(shù)和圖形關(guān)系，用

6、該點的橫坐標表示出有關(guān)線段端點的坐標，和圖形關(guān)系，用該點的橫坐標表示出有關(guān)線段端點的坐標，進而表示出線段的長，通過二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，繼而進而表示出線段的長，通過二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，繼而得到線段的最大值或最小值；在求線段最小值的時候可得到線段的最大值或最小值；在求線段最小值的時候可以利用軸對稱模型以利用軸對稱模型.此類問題一般是要尋找一個動點，使其此類問題一般是要尋找一個動點，使其到兩個頂點的距離最小，通常是作一個定點關(guān)于動點所在到兩個頂點的距離最小，通常是作一個定點關(guān)于動點所在直線的對稱點，連接這個對稱點與另一個定點的線段即為直線的對稱點，連接這個對稱點與另一個定點的線段即為所求的最小值

7、；所求的最小值；(3)周長最值問題周長最值問題此類問題一般為所求圖形中有一動點，對其求周長最值，此類問題一般為所求圖形中有一動點，對其求周長最值，解決此類問題時應利用轉(zhuǎn)化思想，即先觀察圖形，結(jié)合題解決此類問題時應利用轉(zhuǎn)化思想，即先觀察圖形，結(jié)合題目，分清楚定線段和不定線段，然后將其所求圖形周長的目，分清楚定線段和不定線段，然后將其所求圖形周長的最值轉(zhuǎn)化到求不定線段和的最值，進而轉(zhuǎn)化為求線段最值最值轉(zhuǎn)化到求不定線段和的最值，進而轉(zhuǎn)化為求線段最值問題，其方法同問題，其方法同(2).類型二類型二 面積問題面積問題 典例精講 (15攀枝花攀枝花)如圖，已知拋物線如圖，已知拋物線y=-x2+bx+c與與

8、x軸交于軸交于A(-1，0)，B(3，0)兩點，與兩點，與y軸交于點軸交于點C，拋物線的對稱軸，拋物線的對稱軸與拋物線交于點與拋物線交于點P、與直線、與直線BC相交于點相交于點M，連接，連接PB.(1)求該拋物線的解析式；求該拋物線的解析式；(2)在在(1)中位于第一象限內(nèi)的拋物線上是否存在點中位于第一象限內(nèi)的拋物線上是否存在點D，使得，使得BCD的面積最大？若存在，求出的面積最大？若存在，求出D點坐標及點坐標及BCD面積面積的最大值；若不存在，請說明理由；的最大值；若不存在，請說明理由；例例2例例2題圖題圖(3)在在(1)中的拋物線上是否存在點中的拋物線上是否存在點Q，使得，使得QMB與與P

9、MB的面積相等？若存在，求出點的面積相等？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明的坐標；若不存在，請說明理由理由.(1)【思路分析思路分析】利用待定系數(shù)法，分別將點利用待定系數(shù)法，分別將點A、B的坐標的坐標代入拋物線解析式即可得解代入拋物線解析式即可得解.解解：由：由 ，解得，解得 ，y-x2+2x+3.-1-b+c=0-9+3b+c=0b2c3【一題多解一題多解】由題意可知點由題意可知點A(-1,0),點點B(3,0)是拋物線與是拋物線與x軸軸的兩個交點，的兩個交點，拋物線的解析式為拋物線的解析式為y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.(2)【思路分析思路分析】過點過點D作作DHx

10、軸于點軸于點H，再由，再由BCD與與四邊形四邊形OBDC的關(guān)系，從而由四邊形的關(guān)系，從而由四邊形DCOH、BDH的面的面積和減去積和減去BOC的面積，可得結(jié)論的面積，可得結(jié)論.解解：設：設D(t，-t2+2t+3)，作，作DHx軸于點軸于點H，連接，連接CD，BD,如解圖，則如解圖，則SBCD =S四邊形四邊形DCOH +SBDH -SBOC (-t2+2t+3+3)t+ (3-t)(-t2+2t+3)- 33- t2+ t1212123292例例2題解圖題解圖=- (t- )2+ .- 0，當當t 時，即點時，即點D的坐標為的坐標為( ， )時，時，SBCD有最大有最大值，且最大面積為值，且

11、最大面積為 .3232322783232154278例例2題解圖題解圖(3)【思路分析思路分析】先由拋物線的性質(zhì)確定頂點先由拋物線的性質(zhì)確定頂點P的坐標，根的坐標，根據(jù)平行線間的距離處處相等，從而平移直線據(jù)平行線間的距離處處相等，從而平移直線BC，并使得，并使得其過點其過點P，其與拋物線的交點即為所求點；設，其與拋物線的交點即為所求點；設PM與與x軸交軸交于于E點，得到點，得到PMEM，再平移直線，再平移直線BC，使其過點，使其過點E，此，此時與拋物線的交點坐標即為所求時與拋物線的交點坐標即為所求.解解：存在存在.拋物線的解析式拋物線的解析式y(tǒng)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,P(1,4

12、),如解圖如解圖,過點過點P且與且與BC平行的直線與拋物線的交平行的直線與拋物線的交點點Q1，即為所求，即為所求Q點之一，點之一，可得直線可得直線BC為為y-x+3，過點過點P且與且與BC平行的直線平行的直線l1為為y=-x+b,將將點點P(1，4)代入得代入得l1的解析式為的解析式為y-x+5，例例2題解圖題解圖由由 ，解得，解得 ， ，y-x+5y-x2+2x+3x12y13x21 y24點點Q1的坐標為的坐標為(2，3).直線直線PM為直線為直線x1，直線，直線BC的解析式為的解析式為y-x+3，M(1，2).設設PM與與x軸交于軸交于E點，點，PMEM2，過點過點E作作BC的平行線的平

13、行線l2，則直線，則直線l2與與拋物線的交點也為所求拋物線的交點也為所求Q點，即將直點，即將直線線BC向下平移向下平移2個單位得到個單位得到l2，解析式為，解析式為y-x+1,例例2題解圖題解圖由由 ，解得，解得 ，y-x+1y-x2+2x+3x1y1x2y23172117231721172Q2( , ),Q3( , )3172117231721172滿足條件的滿足條件的Q點坐標為點坐標為Q1(2，3)，Q2( , ),Q3( , )3172117231721172【方法指導方法指導】解決二次函數(shù)與面積的有關(guān)問題，關(guān)鍵是列解決二次函數(shù)與面積的有關(guān)問題，關(guān)鍵是列出面積的函數(shù)關(guān)系式，具體方法如下：

14、出面積的函數(shù)關(guān)系式，具體方法如下：1.巧妙的選擇與問題相關(guān)并且簡單適合的量，將這個量設巧妙的選擇與問題相關(guān)并且簡單適合的量，將這個量設為變量為變量.通常就是所求圖形的一邊的長度，或者與其一邊有通常就是所求圖形的一邊的長度，或者與其一邊有直接數(shù)量關(guān)系的量；直接數(shù)量關(guān)系的量；2.求面積問題通常需要兩條或兩條以上相關(guān)線段，如三角求面積問題通常需要兩條或兩條以上相關(guān)線段，如三角形或平行四邊形的底和高，矩形的長和寬等，因此需要用形或平行四邊形的底和高，矩形的長和寬等，因此需要用第一步中的變量表示出其他必需的線段，常見的途徑有第一步中的變量表示出其他必需的線段，常見的途徑有勾股定理；銳角三角函數(shù)；相似三角

15、形的對應邊成比勾股定理；銳角三角函數(shù)；相似三角形的對應邊成比例；全等三角形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)，平移，折疊性質(zhì)等；例；全等三角形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)，平移，折疊性質(zhì)等；3.根據(jù)面積公式列函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)面積公式列函數(shù)關(guān)系式；4.根據(jù)面積的函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)的增減性，求面積最值；根據(jù)面積的函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)的增減性，求面積最值；5.如果求兩個圖形面積之間的函數(shù)關(guān)系，則分別表示出兩如果求兩個圖形面積之間的函數(shù)關(guān)系，則分別表示出兩個圖形面積的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)題意求解個圖形面積的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)題意求解.當所給出的圖當所給出的圖形不是規(guī)則圖形，通常使用和差法，將不規(guī)則圖形分割成形不是規(guī)則圖形，通常使用和差法，將不

16、規(guī)則圖形分割成幾個規(guī)則圖形的和或者差幾個規(guī)則圖形的和或者差.解決此類題目需要特別注意點的解決此類題目需要特別注意點的運動或者圖形的變換引起的圖形變化，看是否需要進行分運動或者圖形的變換引起的圖形變化，看是否需要進行分類討論類討論. 典例精講類型三類型三 圖形判定問題圖形判定問題 如圖，拋物線經(jīng)過如圖，拋物線經(jīng)過A(-1，0)，B(5，0)，C(0,- )三點三點.(1)求拋物線的解析式；求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸上有一點在拋物線的對稱軸上有一點P，使，使PA+PC的值最小，求的值最小，求點點P的坐標；的坐標；例例352例例3題圖題圖(3)點點M為為x軸上一動點，在拋物線上是否存在

17、一點軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使，使以以A、C、M、N四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點求點N的坐標；若不存在，請說明理由的坐標；若不存在，請說明理由.例例3題圖題圖(1)【思路分析思路分析】已知拋物線經(jīng)過三點的坐標，可以代入拋已知拋物線經(jīng)過三點的坐標，可以代入拋物線的一般式求解析式，另外拋物線與物線的一般式求解析式，另外拋物線與x軸的兩個交點坐標軸的兩個交點坐標已知，也可以代入交點式確定其解析式已知，也可以代入交點式確定其解析式.解解：拋物線與拋物線與x軸的兩個交點坐標分別為軸的兩個交點坐標分別為A(-1，0)、B(5，0)，可設拋物

18、線的解析式為可設拋物線的解析式為y=a(x1)(x5)，代入點代入點C(0，- )，整理得，整理得-5a=- ，解得，解得a= ，拋物線解析式是拋物線解析式是y= (x1)(x5)，即即y= x22x .525212121252例例3題解圖題解圖(2)【思路分析思路分析】運用軸對稱的性質(zhì)，確定點運用軸對稱的性質(zhì)，確定點A關(guān)于拋物線關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點為點的對稱軸的對稱點為點B，連接，連接BC,與對稱軸的交點即是符與對稱軸的交點即是符合條件的點合條件的點P，運用三角形的相似確定點，運用三角形的相似確定點P到到x軸的距離即軸的距離即可可.也可以確定經(jīng)過點也可以確定經(jīng)過點BC 的直線的解析式，

19、代入的直線的解析式，代入x=2確定縱確定縱坐標，即可得出點坐標，即可得出點P 的坐標的坐標.解解：拋物線的對稱軸是直線：拋物線的對稱軸是直線x= ，如解圖，作點如解圖，作點A關(guān)于對稱軸關(guān)于對稱軸x=2的對稱點為點的對稱點為點B (5，0)，連接連接BC交對稱軸于點交對稱軸于點P，則點，則點P 就是所求的符合條件的點就是所求的符合條件的點.設拋物線的對稱軸與設拋物線的對稱軸與x軸的交點為點軸的交點為點D，221222ba 例例3題解圖題解圖BD=52=3，OB=5，OC= ，PDOC，PBDCBO， ，解得解得 ，5235PDBDOCOB33535522PDOC例例3題解圖題解圖又又點點P 在第

20、四象限，在第四象限，點點P 坐標是坐標是(2，- )，符合條件的點符合條件的點P(2，- )滿足條件滿足條件APPC取值最小取值最小.3232例例3題解圖題解圖(3)【思路分析思路分析】AC已知，應當分類討論，即已知，應當分類討論，即AC可以為平可以為平行四邊形的一條邊行四邊形的一條邊(N位于位于x軸下方和軸下方和N位于位于x軸上方兩種情軸上方兩種情況況)，AC也可以為平行四邊形的一條對角線也可以為平行四邊形的一條對角線.解解：存在一點：存在一點N，使以，使以A、C、M、N四點構(gòu)成四邊形四點構(gòu)成四邊形為平行四邊形為平行四邊形.如解圖所示，分類討論：如解圖所示，分類討論：AC為平行為平行四邊形的

21、一條邊，因此四邊形的一條邊，因此MN與與AC平行且相等，平行且相等，AM與與CN平行且相等；平行且相等；例例3題解圖題解圖當當N位于位于x軸下方時，即為軸下方時，即為N1點，點點，點M位于位于x軸上，即為軸上，即為M1點，點，ACM1N1，AM1CN1，A比比C的縱坐標大的縱坐標大 ，M1比比N1的縱坐標也大的縱坐標也大 ,N1(x，- )，又又N1在拋物線上，在拋物線上， x2-2x- =- ，解得解得x=0或或x4，當當x=0時，即點時，即點N與點與點C重合不合題意，重合不合題意，當當x=4時，點時，點N1坐標是坐標是(4，- )，52525252521252例例3題解圖題解圖當當N位于位

22、于x軸上方時，點軸上方時，點M位于位于x軸上，軸上，ACMN，ANCM，A比比C的縱坐標大的縱坐標大 ，N比比M的縱坐標也大的縱坐標也大 ，則點，則點N 縱坐標是縱坐標是 ，N(x， )， x22x = ，化簡為，化簡為x24x10=0，解得解得x=2+ 或或x=2 ，當當x= 2+ 時，點時，點N位于第一象限，此時點位于第一象限，此時點N即為即為N2點，點，N2點的坐標是點的坐標是(2+ ， )；當當x=2 時，點時，點N 位于第二象限，此時點位于第二象限，此時點N即為即為N3點，點，N3點的坐標是點的坐標是(2 ， )；525252525252121414141414145252例例3題解

23、圖題解圖當當AC為平行四邊形的對角線時，由于為平行四邊形的對角線時，由于AM為平行四邊形為平行四邊形的一條邊，的一條邊，AM位于位于x軸上，則其對邊軸上，則其對邊AM應與應與CN平行且相平行且相等，如解圖所示，則點等，如解圖所示，則點N4與點與點N1重合，重合，綜合以上論述，符合題意的點綜合以上論述，符合題意的點N 坐標為坐標為N1(4，- )，N2(2+ ， )，N3(2 ， ).例例3題解圖題解圖5252521414【方法指導方法指導】解決二次函數(shù)中根據(jù)特殊圖形求點坐標的問解決二次函數(shù)中根據(jù)特殊圖形求點坐標的問題一般方法如下：題一般方法如下：1.根據(jù)題意，結(jié)合圖象判斷出圖形中固定的點和線段

24、，以根據(jù)題意，結(jié)合圖象判斷出圖形中固定的點和線段，以及不定的點和線段；及不定的點和線段；2.結(jié)合題干，在圖中找出所有滿足條件的特殊圖形；結(jié)合題干，在圖中找出所有滿足條件的特殊圖形；3.根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式設出相應點的坐標，并根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式設出相應點的坐標，并使其只含有一個未知數(shù)；使其只含有一個未知數(shù)；4.利用特殊圖形的性質(zhì)找出等量關(guān)系，一般找出兩條相等利用特殊圖形的性質(zhì)找出等量關(guān)系，一般找出兩條相等的線段，通過不同的表示分別得出兩條線段的長度表達式，的線段，通過不同的表示分別得出兩條線段的長度表達式，從而列出方程進行求解從而列出方程進行求解.表示線段長度的方法有：若線段表示線段長度的方法有：若線段與與x軸平行，則用右邊點的橫坐標減去左邊點橫坐標，若軸平行，則用右邊點的橫坐標減去左邊點橫坐標，若線段與線段與y軸平行，則用上面一點的縱坐標減去下面一點的軸平行，則用上面一點的縱坐標減去下面一點的縱坐標；線段不與縱坐標；線段不與x、y軸平行的線段，分別過兩點向軸平行的線段，分別過兩點向x、y軸做垂線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解；在圖軸做垂線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解；在圖象中找到與所求線段相關(guān)兩個相似或全等的三角形，利用象中找到與所求線段相關(guān)兩個相似或全等的三角形，利用其性質(zhì)求得線段的長度其性質(zhì)求得線段的長度.