《高中數學 §4 反證法課件 北師大版選修12》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數學 §4 反證法課件 北師大版選修12（22頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、4 反證法 小華小華: :不可能不可能, ,我上午還在學校碰到了她和她媽媽呢我上午還在學校碰到了她和她媽媽呢! !上述對話中上述對話中, ,小華要告訴媽媽的命題是什么小華要告訴媽媽的命題是什么? ?小芳沒有全家外出小芳沒有全家外出旅游旅游. .媽媽媽媽: :小華小華, ,聽說鄰居小芳全家這幾天正在外地旅游聽說鄰居小芳全家這幾天正在外地旅游. .小華是如何推斷該命題的正確性的小華是如何推斷該命題的正確性的? ?假設假設小芳全家外出旅游小芳全家外出旅游, ,那么今天不可能碰到小芳那么今天不可能碰到小芳, ,與上午在學校碰到小芳和她媽媽與上午在學校碰到小芳和她媽媽矛盾矛盾, ,所以假設所以假設不成立

2、不成立, ,所以小芳沒有全家外出旅游所以小芳沒有全家外出旅游. .這種思維方法就是我們今天要學習的這種思維方法就是我們今天要學習的反證法！反證法！1.1.了解反證法是間接證明的一種重要的方法了解反證法是間接證明的一種重要的方法. .2.2.理解反證法的思考過程與特點，掌握反證法的步理解反證法的思考過程與特點，掌握反證法的步驟驟. .（重點）（重點）3.3.能正確應用反證法解決一些簡單問題能正確應用反證法解決一些簡單問題. .（難點）（難點）探究點探究點1 1 反證法反證法在數學證明中，有直接證明和間接證明在數學證明中，有直接證明和間接證明. .在上一在上一節(jié)，我們學習的綜合法和分析法都是直接證

3、明節(jié)，我們學習的綜合法和分析法都是直接證明的方法的方法. .這一節(jié)，我們將學習一種間接證明的方這一節(jié)，我們將學習一種間接證明的方法法反證法反證法. . 先看幾個實例！先看幾個實例！例例1 已知已知:a是整數，是整數，2能整除能整除2a，求證：，求證： 2能整除能整除a.1)22 ( 2144) 12 (2222mmmmma證明證明 假設命題的結論不成立，即假設命題的結論不成立，即“2不能整除不能整除a”.因為因為a是整數，故是整數，故a是奇數，是奇數，a可表示為可表示為2m+1（m為整為整數），則數），則 ，這個假設錯誤，故這個假設錯誤，故2能整除能整除a.2a2a即即是奇數是奇數.所以，所以

4、，2 2不能整除不能整除.這與這與”相矛盾相矛盾.于是，于是，“2 2不能整除不能整除a”已知已知“2能整除能整除2a在本例中，我們要討論的是在本例中，我們要討論的是2 2和整數和整數a a的整除關的整除關系系.2.2能整除能整除a,2a,2不能整除不能整除a a，二者必居其一，二者必居其一. .由于不易直接證明由于不易直接證明“2 2能整除能整除a”a”，不妨先假設，不妨先假設“2 2不能整除不能整除a ”a ”. .在這個前提下，我們得到了在這個前提下，我們得到了與已知條件矛盾的結論與已知條件矛盾的結論. .由此可以說明開始的假由此可以說明開始的假設是錯誤的，從而證明設是錯誤的，從而證明“

5、2 2能整除能整除a”.a”.例例2 在同一平面內，兩條直線在同一平面內，兩條直線a，b都和直線都和直線c垂直垂直.求證：求證：a與與b平行平行.MPQPQMMPQPMQPMQ9090180 . 這樣這樣的內角和的內角和證明證明 假設命題的結論不成立，即假設命題的結論不成立，即“直線直線a與與b相交相交”. 不妨設直線不妨設直線a，b的交點為的交點為M，a，c的交點為的交點為P，b，c的交點為的交點為Q，如圖所示，則，如圖所示，則PMQ0 .這與定理這與定理“三角形的內角和等于三角形的內角和等于 ”180相矛盾，這說明假設是錯誤的相矛盾，這說明假設是錯誤的. .所以所以直線直線a a與與b b

6、不相交，即不相交，即a a與與b b平行平行. . 在本例中，兩條直線在本例中，兩條直線a a與與b b要么相交，要么不相交，要么相交，要么不相交，二者必居其一二者必居其一. .由于不易直接證明由于不易直接證明“兩條直線兩條直線a a，b b平平行行”，不妨先假設，不妨先假設“兩條直線兩條直線a a，b b相交相交”. .在這個前在這個前提下，我們得到了與已知定理矛盾的結論提下，我們得到了與已知定理矛盾的結論. .這說明假這說明假設設“兩條直線兩條直線a a ，b b相交相交”不正確，那么假設的反面不正確，那么假設的反面就是正確的，即就是正確的，即“兩條直線兩條直線a a，b b平行平行”.

7、.思考：思考：在上述的證明過程中，它們的證明有什么共在上述的證明過程中，它們的證明有什么共同特點？同特點？提示：提示：在證明數學命題時，要證明的結論要么正確，在證明數學命題時，要證明的結論要么正確，要么錯誤，二者必居其一要么錯誤，二者必居其一. .我們可以先假定命題結論我們可以先假定命題結論的反面成立，在這個前提下，若推出的結果與定義，的反面成立，在這個前提下，若推出的結果與定義，公理，定理相矛盾，或與命題中的已知條件相矛盾，公理，定理相矛盾，或與命題中的已知條件相矛盾，或與假定相矛盾，從而說明命題結論的反面不可能或與假定相矛盾，從而說明命題結論的反面不可能成立，由此斷定命題的結論成立，這種證

8、明方法叫成立，由此斷定命題的結論成立，這種證明方法叫作反證法作反證法. .反證法的證題步驟是：反證法的證題步驟是：(1)(1)作出否定結論的假設作出否定結論的假設. .(2)(2)進行推理，導出矛盾進行推理，導出矛盾. .(3)(3)否定假設，肯定結論否定假設，肯定結論. .原詞語原詞語 否定詞否定詞 原詞語原詞語 否定詞否定詞 等于等于任意的任意的是是 至少有一個至少有一個 都是都是 至多有一個至多有一個 大于大于 至少有至少有n n個個 小于小于 至多有至多有n n個個 對所有對所有x,x,成立成立對任何對任何x x，不成立不成立提升總結：一些常見的結論的否定形式提升總結：一些常見的結論的

9、否定形式. . 不是不是不都是不都是不大于不大于大于或等于大于或等于一個也沒有一個也沒有至少有兩個至少有兩個至多有（至多有（n-1)n-1)個個至少有（至少有（n+1)n+1)個個存在某存在某x，不成立不成立存在某存在某x, ,成立成立不等于不等于某個某個13例例3 3 求證：求證： 是無理數是無理數. .2 2證明證明 假設假設 不是無理數，即不是無理數，即 是有理數，那是有理數，那么它就可以表示成兩個整數之比，設么它就可以表示成兩個整數之比，設且且p,q互素，則互素，則2220q,p,p2pq ，所以，所以， 2p2p2 2=q=q2 2 故故q q2是偶數，是偶數，q q也必然為偶數也必

10、然為偶數. .不妨設不妨設q=2kq=2k，代入，代入式，則有式，則有2p2p2=4k=4k2, ,即即 p p2=2k=2k2, ,所以，所以，p p也為偶數也為偶數. .p p和和q q都是偶數，它們有公約數都是偶數，它們有公約數2,2,這與這與p,qp,q互素矛盾互素矛盾. .2這樣，這樣， 不是有理數，而是無理數不是有理數，而是無理數. .例例4 4 已知已知a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4100,100,求證：求證：a a1 1，a a2 2，a a3 3，a a4 4中，中，至少有一個數大于至少有一個數大于25.25.證明證明 假設結論不對，即假設結論不對，即

11、a a1 1，a a2 2，a a3 3，a a4 4 均不大于均不大于25，那么，那么，a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 425+25+25+25=10025+25+25+25=100，這與已知條件矛，這與已知條件矛盾盾.所以，所以， a a1 1，a a2 2，a a3 3，a a4 4中，至少有一個數大于中，至少有一個數大于25.5例例5 5 求證：求證：1,21,2， 不可能是一個等差數列中的三項不可能是一個等差數列中的三項. .證明證明 假設假設 1,2， 是公差為是公差為d的等差數列的第的等差數列的第p,q,r項，則項，則2-1=（q-p）d, -1=(r-p)d

12、,于是于是551qp.rp515因為因為p，q，r均為整數，所以等式右邊是有理數，而均為整數，所以等式右邊是有理數，而等式左邊是無理數，二者不可能相等，推出矛盾，所等式左邊是無理數，二者不可能相等，推出矛盾，所以以1，2， 不可能是一個等差數列中的三項不可能是一個等差數列中的三項. 的平面是過直線a,.bab平行于直線求證：直線相交于直線與平面.,.”平行于直線“直線因此，假設不成立，即”矛盾平行于平面這與條件“直線相交于與平面所以，直線內在平面上，故在直線，相交，設交點為線不平行，故直中，且直線在同一平面由于直線”不平行于直線，即“直線假設命題的結論不成立baaAaAbAAbabababa證

13、明：證明：例例6 6 已知直線已知直線a a平行于平面平行于平面a ab b1.1.寫出用寫出用“反證法反證法”證明下列命題的證明下列命題的 “ “假設假設”. .(1)(1)互補的兩個角不能都大于互補的兩個角不能都大于9090. . (2)(2)ABCABC中中, ,最多有一個鈍角最多有一個鈍角. . 假設互補的兩個角都大于假設互補的兩個角都大于9090 假設假設ABCABC中中, ,至少有兩個鈍角至少有兩個鈍角 （3 3） “ “若若a a2 2 b b2 2, ,則則a a b”. b”. . .假設假設a=ba=b. . .2. 2. 用反證法證明命題：用反證法證明命題：“a,bN,a

14、ba,bN,ab可被可被5 5整整除，那么除，那么a,ba,b中至少有一個能被中至少有一個能被5 5整除整除”時，假設時，假設的內容應為的內容應為( )( )A.a,bA.a,b都能被都能被5 5整除整除 B.a,bB.a,b都不能被都不能被5 5整除整除C.a,bC.a,b不都能被不都能被5 5整除整除 D.aD.a不能被不能被5 5整除整除B B3.3.用反證法證明用反證法證明“形如形如4k+3(kN4k+3(kN* *) )的數不能化成兩的數不能化成兩整數的平方和整數的平方和”時，開始假設結論的反面成立應寫時，開始假設結論的反面成立應寫成成_._.4.4.命題命題“任意多面體的面至少有一

15、個是三角形或四任意多面體的面至少有一個是三角形或四邊形或五邊形邊形或五邊形”的結論的否定是的結論的否定是_._.假設假設4k+3=m4k+3=m2 2+n+n2 2(m(m，n n為整數為整數,kN,kN* *) )沒有一個是三角形或四邊形或五邊形沒有一個是三角形或四邊形或五邊形有一個多面體的面有一個多面體的面5.5.求證：定義在實數集上的單調減函數求證：定義在實數集上的單調減函數y=fy=f（x x）的）的圖像與圖像與x x軸至多只有一個公共點軸至多只有一個公共點證明：證明：假設函數假設函數y=fy=f（x x）的圖像與）的圖像與x x軸有兩個交點軸有兩個交點, ,設交點的橫坐標分別為設交點

16、的橫坐標分別為x x1 1，x x2 2，且，且x x1 1x x2 2因為函數因為函數y=fy=f（x x）在實數集上單調遞減）在實數集上單調遞減, ,所以所以f f（x x1 1）f f（x x2 2），），這與這與f f（x x1 1）=f=f（x x2 2）=0=0矛盾矛盾所以假設不成立所以假設不成立 故原命題成立故原命題成立反證法反證法的一般步驟的一般步驟: :假設命題不成立假設命題不成立引出矛盾引出矛盾假設不成立假設不成立求證的命題正確求證的命題正確假設假設歸謬歸謬結論結論從假設出發(fā)從假設出發(fā)得出結論得出結論與假設、已知、與假設、已知、定義、定理、定義、定理、公理或者事實公理或者事實矛盾等矛盾等回顧本節(jié)課你有什么收獲？回顧本節(jié)課你有什么收獲？ 一個人如同時具有孔子提倡的愛心、孟子的正義、墨子的實踐、韓非子的直面人生、老子的智、莊子的慧、荀子的自強，就一定能成為領袖.