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1、數學數學第13講二次函數的圖象和性質 第三章函數及其圖象yax2bxc(其中a，b，c是常數，且a0) 3圖象與性質4.圖象的平移5拋物線yax2bxc與系數a、b、c的關系2拋物線的頂點常見的三種變動方式(1)兩拋物線關于x軸對稱，此時頂點關于x軸對稱，a的符號相反；(2)兩拋物線關于y軸對稱，此時頂點關于y軸對稱，a的符號不變；(3)開口反向(或旋轉180)，此時頂點坐標不變，只是a的符號相反3二次函數與二次方程間的關系已知二次函數yax2bxc的函數值為k，求自變量x的值，就是解一元二次方程ax2bxck；反過來，解一元二次方程ax2bxck，就是把二次函數yax2bxck的函數值看作0

2、，求自變量x的值4二次函數與二次不等式間的關系“一元二次不等式”實際上是指二次函數的函數值“y0，y0或y0，y0”，從圖象上看是指拋物線在x軸上方或x軸下方的情況1(2016懷化)二次函數yx22x3的開口方向、頂點坐標分別是( )A開口向上，頂點坐標為(1，4) B開口向下，頂點坐標為(1，4)C開口向上，頂點坐標為(1，4) D開口向下，頂點坐標為(1，4)2(2016山西)將拋物線yx24x4向左平移3個單位，再向上平移5個單位，得到拋物線的函數表達式為( )Ay(x1)213 By(x5)23 Cy(x5)213 Dy(x1)23ADDD3(2016益陽)關于拋物線yx22x1，下列

3、說法錯誤的是( )A開口向上B與x軸有兩個重合的交點C對稱軸是直線x1 D當x1時，y隨x的增大而減小4(2016荊門)若二次函數yx2mx的對稱軸是x3，則關于x的方程x2mx7的解為( )Ax10，x26 Bx11，x27 Cx11，x27 Dx11，x27D二次函數的圖象及性質 B【例1】(2016齊齊哈爾)如圖，拋物線yax2bxc(a0)的對稱軸為直線x1，與x軸的一個交點坐標為(1，0)，其部分圖象如圖所示，下列結論：4acb2；方程ax2bxc0的兩個根是x11，x23；3ac0；當y0時，x的取值范圍是1x3；當x0時，y隨x增大而增大其中結論正確的個數是 ( )A4個 B3個

4、 C2個 D1個(2)(2016寧波)如圖，已知拋物線yx2mx3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點B的坐標為(3，0)求m的值及拋物線的頂點坐標點P是拋物線對稱軸l上的一個動點，當PAPC的值最小時，求點P的坐標解：把點B的坐標為(3，0)代入拋物線yx2mx3得：0323m3，解得：m2，yx22x3(x1)24，頂點坐標為：(1，4)【點評】(1) 對于二次函數yax2bxc(a0)，二次項系數a決定拋物線的開口方向和大?。寒攁0時，拋物線開口向上；當a0時，拋物線開口向下；一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時(即ab0)，對稱軸在y軸側左； 當a與b異號

5、時(即ab0)，對稱軸在y軸側右(簡稱：左同右異)；常數項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于(0，c)；拋物線與x軸交點個數由決定：b24ac0時，拋物線與x軸有兩個交點；b24ac0時，拋物線與x軸有一個交點；b24ac0時，拋物線與x軸沒有交點(2) 此題考查了二次函數的性質、待定系數法求解析式以及距離最短問題注意找到點P的位置是解此題的關鍵C對應訓練1(1)(2016孝感)如圖是拋物線yax2bxc(a0)的部分圖象，其頂點坐標為(1，n)，且與x軸的一個交點在點(3，0)和(4，0)之間則下列結論：abc0；3ab0；b24a(cn)；一元二次方程ax2bxcn1有兩個不相等的實

6、數根其中正確結論的個數是( )A1 B2 C3 D4待定系數法確定二次函數的解析式 【例2】(1)(2016淄博)如圖，拋物線yax22ax1與x軸僅有一個公共點A，經過點A的直線交該拋物線于點B，交y軸于點C，且點C是線段AB的中點(1)求這條拋物線對應的函數解析式；(2)求直線AB對應的函數解析式【點評】根據不同條件，選擇不同設法(1)若已知圖象上的三個點，則設所求的二次函數為一般式y(tǒng)ax2bxc(a0)，將已知條件代入，列方程組，求出a，b，c的值；(2)若已知圖象的頂點坐標或對稱軸，函數最值，則設所求二次函數為頂點式y(tǒng)a(xm)2k(a0)，將已知條件代入，求出待定系數；(3)若已知拋

7、物線與x軸的交點，則設拋物線的解析式為交點式y(tǒng)a(xx1)(xx2)(a0)，再將另一條件代入，可求出a值結合幾何圖形的函數綜合題 【例3】(2016賀州)如圖，矩形的邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點B的坐標為(10，8)，沿直線OD折疊矩形，使點A正好落在BC上的E處，E點坐標為(6，8)，拋物線yax2bxc經過O，A，E三點(1)求此拋物線的解析式；(2)求AD的長；(3)點P是拋物線對稱軸上的一動點，當PAD的周長最小時，求點P的坐標(2)由題意可知：ADDE，BE1064，AB8，設ADx，則EDx，BDABAD8x，在RtBDE中，由勾股定理可知ED2EB2BD2，即x242(8x)2，解得x5，AD5；【點評】本題主要考查二次函數的綜合應用，涉及知識點有待定系數法、矩形的性質、勾股定理、軸對稱的性質及方程思想在(2)中注意方程思想的應用，在(3)中確定出滿足條件的P點的位置是解題的關鍵(3)平行四邊形OEAF的面積為24時，平行四邊形OEAF不能為菱形，理由如下：當平行四邊形OEAF的面積為24時，即4x228x2424，化簡，得x27x120，x13，x24，OA6，當x4時，E(4，4)，OEEA，平行四邊形OEAF不能為菱形當x3時，E(3，4)，此時平行四邊形OEAF為菱形13.二次函數錯例分析)