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無窮級數(shù) 知識點總復(fù)習(xí)

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1、無窮級數(shù) 知識點總復(fù)習(xí) 本章重點是判斷數(shù)項級數(shù)的斂散性,冪級數(shù)與傅里葉級數(shù)的展開與求和. §7.1 數(shù)項級數(shù) 本節(jié)重點是級數(shù)的性質(zhì),正項級數(shù)的幾個判別法,交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法,任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂. ● 常考知識點精講 一、數(shù)項級數(shù)的概念 1.?dāng)?shù)項級數(shù)定義 定義:設(shè)是一個數(shù)列,則稱表達式 為一個數(shù)項級數(shù),簡稱級數(shù),其中第項稱為級數(shù)的通項或一般項,稱為級數(shù)的前項部分和. 2.級數(shù)收斂的定義 定義:若數(shù)項級數(shù)的部分和數(shù)列有極限,則稱級數(shù)收斂,極限值稱為此級數(shù)的

2、和.當(dāng)不存在時,則稱級數(shù)發(fā)散. 利用級數(shù)收斂的定義,易知當(dāng)時,幾何級數(shù)收斂,和為;當(dāng),幾何級數(shù)發(fā)散. [例1.1] 判斷下列級數(shù)的斂散性 ⑴ ⑵ 解:⑴由于 所以 ,故級數(shù)收斂. ⑵ 由于 所以,故級數(shù)發(fā)散. 二、級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件 1.設(shè)都收斂,和分別為,則必收斂,且; 評注:若收斂,發(fā)散,則必發(fā)散;若都發(fā)散,則可能發(fā)散也可能收斂. 2.設(shè)為非零常數(shù),則級數(shù)與有相同的斂散性; 3.改變級數(shù)的前有限項,不影響級數(shù)的斂散性; 4.級數(shù)收斂的必要條件:如果收斂

3、,則; 5.收斂的級數(shù)在不改變各項次序前提下任意加括號得到的新級數(shù)仍然收斂且和不變. 評注:若某級數(shù)添加括號后所成的級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)亦發(fā)散. [例1.2] 判斷下列級數(shù)的斂散性 ⑴ ⑵ 解:⑴由于收斂,發(fā)散,所以 發(fā)散, 由性質(zhì)5的“注”可知級數(shù)發(fā)散; ⑵ 由于,不滿足級數(shù)收斂的必要條件,所以級數(shù) 發(fā)散. 三、正項級數(shù)及其斂散性判別法 各項為非負()的級數(shù)稱為正項級數(shù). 1.正項級數(shù)收斂的基本定理 定理:設(shè)是正項級數(shù)的部分和數(shù)列,則正項級數(shù)收斂的充要條件是數(shù)列有界. 當(dāng)時,級數(shù)收斂;當(dāng)時,級數(shù)發(fā)散.(時的級數(shù)也叫調(diào)和級數(shù)) 2

4、.正項級數(shù)的比較判別法 定理:(正項級數(shù)比較判別法的非極限形式) 設(shè)都是正項級數(shù),并設(shè),則 ⑴ 若收斂,則收斂; ⑵ 若發(fā)散,則發(fā)散. 定理:(正項級數(shù)比較判別法的極限形式) 設(shè)都是正項級數(shù),并設(shè)或為,則 ⑴ 當(dāng)為非零常數(shù)時,級數(shù)有相同的斂散性; ⑵ 當(dāng)時,若收斂,則必有收斂; ⑶ 當(dāng)時,若發(fā)散,則必有發(fā)散. 評注:用比較判別法的比較對象常取級數(shù)與等比級數(shù)及. 3.正項級數(shù)的比值判別法 定理:設(shè)是正項級數(shù),若或為,則級數(shù)有 ⑴ 當(dāng)時,收斂; ⑵ 當(dāng)或時,發(fā)散; ⑶ 當(dāng)時,斂散性不確定. 評注:⑴ 若,則級數(shù)必發(fā)散; ⑵ 如果正項級數(shù)通項中含有階乘,一般用比值判

5、別法判定該級數(shù)的斂散性; ⑶ 當(dāng)1或不存在(但不為),則比值判別法失效. 4.正項級數(shù)的根值判別法 將比值判別法中的改成,其它文字?jǐn)⑹觥⒔Y(jié)論均不改動,即為根值判別法. 5.利用通項關(guān)于無窮小的階判定正項級數(shù)的斂散性 定理:設(shè)是正項級數(shù),為的階無窮小,則當(dāng)時,正項級數(shù)收斂;當(dāng)時,正項級數(shù)發(fā)散. [例1.3] 判斷下列級數(shù)的斂散性 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 解:⑴ 由于,而級數(shù)發(fā)散,故原級數(shù)發(fā)散; ⑵ 由于,所以由比值判別法可得,原級數(shù)收斂; ⑶ 由于,所以由根值判別法可知,原級數(shù)收斂; ⑷ 由于為的階無窮小,所以原級數(shù)收斂. 四、

6、交錯級數(shù)及其斂散性判別法 1.交錯級數(shù)定義 定義:若級數(shù)的各項是正項與負項交錯出現(xiàn),即形如 的級數(shù),稱為交錯級數(shù). 2.交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法 定理:若交錯級數(shù)滿足條件 ⑴ ; ⑵ , 則交錯級數(shù)收斂,其和其余項滿足. 五、任意項級數(shù)及其絕對收斂 若級數(shù)的各項為任意實數(shù),則稱它為任意項級數(shù). 1.條件收斂、絕對收斂 若收斂,則稱絕對收斂;若發(fā)散但收斂,則稱條件收斂. 評注:絕對收斂的級數(shù)不因改變各項的位置而改變其斂散性與其和. 2.任意項級數(shù)的判別法 定理:若級數(shù)收斂,則級數(shù)收斂.即絕對收斂的級數(shù)一定收斂. [例1.4] 判斷下

7、列級數(shù)是否收斂?若收斂,指明是絕對收斂還是條件收斂 ⑴ ⑵ 解:⑴ 記 因為 所以級數(shù)收斂,故原級數(shù)收斂且為絕對收斂; ⑵ 記 由于,而發(fā)散,所以級數(shù)發(fā)散 又是一交錯級數(shù),,且,由萊布尼茲定理知,原級數(shù)收斂,故原級數(shù)條件收斂. ●● ??碱}型及其解法與技巧 一、概念、性質(zhì)的理解 [例7.1.1] 已知,,則級數(shù)的和等于__________. 解:由于,所以根據(jù)級數(shù)的性質(zhì)可得 從而 因此. [例7.1.2] 設(shè),則下列級數(shù)中肯定收斂的是 (A); (B); (C);

8、 (D) 解:取,則,此時(A)與(C)都發(fā)散; 若取,則,此時(B)發(fā)散; 由排除法可得應(yīng)選(D). 事實上,若,則,根據(jù)“比較判別法”得收斂.從而 收斂,故應(yīng)選(D). [例7.1.3] 已知級數(shù)發(fā)散,則 (A)一定收斂, (B)一定發(fā)散 (C)不一定收斂 (D) 解:假設(shè)收斂,則根據(jù)級數(shù)斂散的性質(zhì),不改變各項的次序加括號后得到的新級數(shù)仍然收斂,即也收斂.這與已知矛盾,故一定發(fā)散.應(yīng)選(B). [例7.1.4] 設(shè)正項級數(shù)

9、的部分和為,又,已知級數(shù)收斂,則級數(shù)必 (A)收斂 (B)發(fā)散 (C)斂散性不定 (D)可能收斂也可能發(fā)散 解:由于級數(shù)收斂,所以根據(jù)收斂的必要條件可得,又,所以,故級數(shù)發(fā)散,故應(yīng)選(B). [例7.1.5] 設(shè)有命題 (1) 若收斂,則收斂; (2)若為正項級數(shù),且,則收斂; (3)若存在極限,且收斂,則收斂; (4)若,又與都收斂,則收斂. 則上述命題中正確的個數(shù)為 (A) (B) (C) (D) 解:關(guān)于命題(1),令,則收斂,但發(fā)散,所以不正確;

10、 關(guān)于命題(2),令,則為正項級數(shù),且,但發(fā)散,所以不正確; 關(guān)于命題(3),令,則在極限,且收斂,但發(fā)散,所以不正確; 關(guān)于命題(4),因為,所以,因為與都收斂,所以由“比較判別法”知收斂,故收斂.故應(yīng)選(A). 二、正項級數(shù)斂散性的判定 正項級數(shù)判別斂散的思路:①首先考察(若不為零,則級數(shù)發(fā)散;若等于零,需進一步判定);②根據(jù)一般項的特點選擇相應(yīng)的判別法判定. 評注:⑴ 若一般項中含有階乘或者的乘積形式,通常選用比值判別法: ⑵ 若一般項中含有以為指數(shù)冪的因式,通常采用根值判別法: ⑶ 若一般項中含有形如(為實數(shù))的因式,通常采用比較判別法. ⑷ 如果以上方法還

11、行不通時,則可考慮用斂散的定義判定. [例7.1.6] 判斷下列級數(shù)的斂散性 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 解:(1)用比值法. , 所以原級數(shù)收斂. (2)用比值法. , 所以原級數(shù)收斂. (3)用根值法. , 所以原級數(shù)發(fā)散. (4)用比較法. 取,因為,而收斂, 所以原級數(shù)收斂. (5)用比較法. 取,因為,而發(fā)散,

12、所以原級數(shù)發(fā)散. (6)由于,故由級數(shù)收斂的必要條件知原級數(shù)發(fā)散. 評注:在考研題中遇到該類問題應(yīng)①先看當(dāng)時,級數(shù)的通項是否趨向于零(如果不易看出,可跳過這一步),若不趨于零,則級數(shù)發(fā)散;若趨于零,則②再看級數(shù)是否為幾何級數(shù)或級數(shù),因為這兩種級數(shù)的斂散性已知.如果不是幾何級數(shù)或級數(shù),則③用比值判別法進行判定,如果比值判別法失效,則④再用比較判別法進行判定.常用來做比較的級數(shù)主要有幾何級數(shù)、級數(shù)等. [例7.1.7] 判斷下列級數(shù)的斂散性 (1) (2) 分析:用比值判別法失效,用比較判別法不易找到用來作比較的級數(shù),此時一般利用通項關(guān)于無窮小的階判定正項

13、級數(shù)的斂散性. 解:(1)考查 換成連續(xù)變量,再用羅必達法則, 取,上述極限值為. 所以原級數(shù)與同斂散,故原級數(shù)收斂. (2)考查 換成連續(xù)變量,再用羅必達法則, 取,上述極限值為. 所以原級數(shù)與同斂散,故原級數(shù)收斂. [例7.1.8] 研究下列級數(shù)的斂散性 (1)(是常數(shù)); (2),這里為任意實數(shù),為非負實數(shù). 分析:此例中兩個級數(shù)的通項都含有參數(shù).一般說來,級數(shù)的斂散性與這些參數(shù)的取值有關(guān).對這種情況通常由比值判別法進行討論. 解:(1)記,由比值判別法可得 顯

14、然,當(dāng)時,級數(shù)收斂;當(dāng)時,級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)時,由于,所以,故級數(shù)發(fā)散. (2)記,由比值判別法可得 顯然,當(dāng),為任意實數(shù)時,級數(shù)收斂;當(dāng)時,為任意實數(shù)時,級數(shù)發(fā)散;當(dāng)時,比值判別法失效.這時,由級數(shù)的斂散性知,當(dāng)時,級數(shù)收斂;當(dāng)時,級數(shù)發(fā)散. [例7.1.9] 判別下列級數(shù)的斂散性 (1) (2) 分析:此例兩個級數(shù)的通項都是由積分給出的正項級數(shù).如果能把積分求出來,再判定其斂散性,這樣做固然可以,但一般工作量較大.常用的方法是利用積分的性質(zhì)對積分進行估值.估值要適當(dāng):若放大則不等式右端應(yīng)是某收斂的正項級數(shù)的通項

15、;若縮小,則不等式左端應(yīng)是某發(fā)散的正項級數(shù)的通項. 解:(1)因為時,,所以 由于級數(shù)收斂,所以原級數(shù)收斂. (2)因為函數(shù)在區(qū)間上單減,所以 由于,又因為級數(shù)收斂,所以原級數(shù)收斂. 三、交錯級數(shù)判定斂散 判別交錯級數(shù)斂散性的方法: 法一:利用萊布尼茲定理; 法二:判定通項取絕對值所成的正項級數(shù)的斂散性,若收斂則原級數(shù)絕對收斂; 法三:將通項拆成兩項,若以此兩項分別作通項的級數(shù)都收斂則原級數(shù)收斂;若一收斂另一發(fā)散,則原級數(shù)發(fā)散; 法四:將級數(shù)并項,若并項后的級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)發(fā)散. 評注

16、:法二、法三和法四適應(yīng)于不單調(diào)減少或判定單調(diào)很困難的交錯級數(shù). [例7.1.10] 判定下列級數(shù)的斂散性 (1) (2) (3) (4) 解:(1)該級數(shù)是交錯級數(shù),顯然. 令,則,所以單調(diào)減少. 由萊布尼茲判別法可知,原級數(shù)收斂. (2)不難得到數(shù)列不單調(diào).而 , 顯然,級數(shù)發(fā)散; 又級數(shù)是交錯級數(shù),顯然滿足, 令,則,所以單調(diào)減少,由萊布尼茲判別法可得,級數(shù)收斂. 故由級數(shù)斂散的性質(zhì)可得,原級數(shù)發(fā)散. (3)不難得到不單調(diào),但有 即加括號后得到的新級數(shù)發(fā)

17、散,利用級數(shù)的性質(zhì)可知,原級數(shù)發(fā)散. (4)顯然判定數(shù)列的單調(diào)性很麻煩. 但 ,而由比值判別法易得到級數(shù)收斂,所以級數(shù)收斂. 從而原級數(shù)收斂,且絕對收斂. 四、判定任意項級數(shù)的斂散性 對任意項級數(shù),主要研究它絕對收斂性和條件收斂性.解題的一般思路:①先看當(dāng)時,級數(shù)的通項是否趨向于零,若不趨于零,則級數(shù)發(fā)散;若趨于零,則②按正項級數(shù)斂散性的判別法,判定是否收斂,若收斂,則級數(shù)絕對收斂;若發(fā)散,則③若上述發(fā)散是由正項級數(shù)的比值判別法或根值判別法得到,則原級數(shù)發(fā)散;若是由比較判別法判定的,此時應(yīng)利用交錯級數(shù)萊布尼茲判別法或級數(shù)斂散的性質(zhì)判定是否收斂(若收斂則為條件收斂).

18、[例7.1.11] 討論下列級數(shù)的斂散性,若收斂,指出是條件收斂還是絕對收斂,說明理由 (1)為常數(shù); (2); (3). 解:(1),由于當(dāng)充分大時,保持定號,所以級數(shù)從某項起以后為一交錯級數(shù). 當(dāng)不是整數(shù)時,不論取何值,總有,故級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)是整數(shù)時,有,因而,由于 所以利用比較判別法的極限形式可得,當(dāng)時級數(shù)發(fā)散,又因為總是非增的趨于零,故由交錯級數(shù)的“萊布尼茲判別法”知,級數(shù)收斂,且為條件收斂;當(dāng)時,級數(shù)顯然收斂,且絕對收斂. (2)由于 所以原級數(shù)為交錯級數(shù). 先判定級數(shù)的斂散性 由于當(dāng)時,,所以 由于級數(shù)發(fā)散,所以

19、級數(shù)發(fā)散. 因為原級數(shù)為交錯級數(shù),且滿足萊布尼茲判別法的條件,因此級數(shù)為條件收斂. (3)這是任意項級數(shù).考慮每三項加一括號所成的級數(shù) 此級數(shù)的通項是的有理式,且分子的次數(shù)僅比分母的次數(shù)低一次,用比較判別法知它是發(fā)散的,由級數(shù)的基本性質(zhì)可得,原級數(shù)發(fā)散. 五、關(guān)于數(shù)項級數(shù)斂散性的證明題 證明某個未給出通項具體表達式的級數(shù)收斂或發(fā)散這類題,一般用級數(shù)收斂的定義、比較判別法或級數(shù)的基本性質(zhì). [例7.1.12] 證明:如果級數(shù)與收斂,且,則級數(shù)也收斂. 證明:由可得,; 由級數(shù)收斂的基本性質(zhì)可得收斂,

20、故由正項級數(shù)的比較判別法可得收斂. 又由于,所以級數(shù)收斂. [例7.1.13] 設(shè),證明 (Ⅰ)存在 ; (Ⅱ)級數(shù)收斂. 證明:(Ⅰ)由于,所以根據(jù)均值不等式可得 故數(shù)列有下界. 又因為,所以單調(diào)不增,從而由單調(diào)有界準(zhǔn)則可知,存在. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,,所以級數(shù)是正項級數(shù). 又因為 , 而正項級數(shù)的前項和 所以正項級數(shù)是收斂的,由比較判別法知,原級數(shù)收斂. [例7.1.14] 設(shè)在點的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù),且,證明級數(shù) 絕對收斂. 分析:已知條件中出現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù),

21、可考慮使用泰勒公式完成. 證明:由于在點連續(xù),且,所以可得. 將在點展開成一階泰勒公式,有 . 由于在點的某一鄰域內(nèi)連續(xù),故存在,使得在的某小鄰域內(nèi),從而 (當(dāng)充分大時) 由比較判別法可知,級數(shù)絕對收斂. [例7.1.15] 若滿足:⑴在區(qū)間上單增;⑵;⑶存在,且.證明 (Ⅰ)收斂 ; (Ⅱ)收斂. 證明:(Ⅰ)由于, 所以,從而級數(shù)收斂. (Ⅱ)由于存在,且,所以函數(shù)單調(diào)不增.又因為在區(qū)間上單增,所以必有,即級數(shù)是正項級數(shù). 根據(jù)拉格朗日中值定理可得,

22、所以 . 由(Ⅰ)可知收斂,所以根據(jù)正項級數(shù)的比較判別法知,級數(shù)收斂,再根據(jù)級數(shù)收斂的性質(zhì)可得級數(shù)收斂. 六、其它 [例7.1.16] 設(shè)正項數(shù)列單調(diào)減少,且發(fā)散,判定級數(shù)的斂散性. 解:正項數(shù)列單調(diào)減少,由單調(diào)有界準(zhǔn)則可得,存在,記為(). 因為級數(shù)是交錯級數(shù),若,由萊布尼茲判別法可知,該級數(shù)收斂.但題設(shè)該級數(shù)發(fā)散,所以必定有,于是 . 由根值判別法知,級數(shù)收斂. [例7.1.17] 討論級數(shù)在哪些處收斂?在哪些處發(fā)散? 解:⑴ 當(dāng)時,原級數(shù)為,這是交錯級數(shù),且滿足“萊布尼茲判別法”的條件,故收斂; ⑵ 當(dāng)時,

23、 當(dāng)時,, 當(dāng)時,趨向定常數(shù), 故發(fā)散,從而原級數(shù)發(fā)散; ⑶ 當(dāng)時, 由于,所以上式中第一項以后的各項都為負的. 考察級數(shù),由于 , 所以根據(jù)正項級數(shù)的“比較判別法”的極限形式知,級數(shù)發(fā)散. 從而,即原級數(shù)發(fā)散. 綜上所述,當(dāng)時,級數(shù)收斂;當(dāng)時,級數(shù)發(fā)散. [例7.1.18] 已知,判定級數(shù)的斂散性. 分析:該級數(shù)的通項以遞推公式給出,這給級數(shù)類型的判定以及通項是否收斂于零帶來困難.不妨先假設(shè)級數(shù)通項,再看由遞推公式兩端取極限時能否導(dǎo)出矛盾.一旦產(chǎn)生矛盾,便可確定級數(shù)發(fā)散. 解:若,則.這與假設(shè)矛盾.因此,原級數(shù)發(fā)散. [例7.1.19] 設(shè)為常數(shù),,討論級數(shù)

24、的斂散性. 解:由于存在,因此想到分討論. 當(dāng)時,由于,所以,級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)時,=,所以,級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)時,由于,所以級數(shù)收斂,故級數(shù)收斂且絕對收斂. [例7.1.20] 已知,對于,設(shè)曲線上點處的切線與軸交點的橫坐標(biāo)是 (Ⅰ)求; (Ⅱ)設(shè)是以,和為頂點的三角形的面積,求級數(shù)的和 解:(Ⅰ)曲線上點處的切線方程為 從而,從而 (Ⅱ)由題意 所以. §7.2 冪級數(shù) 本節(jié)重點是求冪級數(shù)的收斂域、求冪級數(shù)的和函數(shù)、將函數(shù)展開成冪級數(shù). ● ??贾R點精講 一、函

25、數(shù)項級數(shù)的概念 1.函數(shù)項級數(shù)的定義 定義:設(shè)函數(shù)都在上有定義,則稱表達式 為定義在上的一個函數(shù)項級數(shù),稱為通項,稱為部分和函數(shù). 2.收斂域 定義:設(shè)是定義在上的一個函數(shù)項級數(shù),,若數(shù)項級數(shù)收斂,則稱是的一個收斂點.所有收斂點構(gòu)成的集合稱為級數(shù)的收斂域. 3.和函數(shù) 定義:設(shè)函數(shù)項級數(shù)的收斂域為,則任給,存在唯一的實數(shù),使得成立.定義域為的函數(shù)稱為級數(shù)的和函數(shù). 評注:求函數(shù)項級數(shù)收斂域時,主要利用收斂域的定義及有關(guān)的數(shù)項級數(shù)的判別法. 二、冪級數(shù) 1.冪級數(shù)的定義 定義:設(shè)是一實數(shù)列,則稱形如的函數(shù)項級數(shù)為處的冪級數(shù).

26、 時的冪級數(shù)為. 2.阿貝爾定理 定理:對冪級數(shù)有如下的結(jié)論: ⑴ 如果該冪級數(shù)在點收斂,則對滿足的一切的對應(yīng)的級數(shù)都絕對收斂; ⑵ 如果該冪級數(shù)在點發(fā)散,則對滿足的一切的對應(yīng)的級數(shù)都發(fā)散. [例2.1] 若冪級數(shù)在處收斂,問此級數(shù)在處是否收斂,若收斂,是絕對收斂還是條件收斂? 解:由阿貝爾定理知,冪級數(shù)在處收斂,則對一切適合不等式 (即)的該級數(shù)都絕對收斂.故所給級數(shù)在處收斂且絕對收斂. 三、冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間 如果冪級數(shù)不是僅在處收斂,也不是在整個數(shù)軸上收斂,則必定存在一個正數(shù),它具有下述性質(zhì): ⑴ 當(dāng)時,絕對收斂; ⑵ 當(dāng)時,發(fā)散. 如果冪級數(shù)僅在處收斂,定

27、義;如果冪級數(shù)在內(nèi)收斂,則定義. 則稱上述為冪級數(shù)的收斂半徑.稱開區(qū)間為冪級數(shù)的收斂區(qū)間. 四、冪級數(shù)收斂半徑的求法 求冪級數(shù)的收斂半徑 法一:⑴ 求極限 ⑵ 令 則收斂半徑為; 法二:若滿足,則; 法三;⑴ 求極限 ⑵ 令 則收斂半徑為. [例2.2] 求下列冪級數(shù)的收斂域 ⑴ ⑵ ⑶ 解:⑴ 收斂半徑, 所以收斂域為; ⑵ 收斂半徑 當(dāng)時,對應(yīng)級數(shù)為這是收斂的交錯級數(shù), 當(dāng)時,對應(yīng)級數(shù)為這是發(fā)散的級數(shù), 于是該冪級數(shù)收斂域為; ⑶ 由于 令,可得,所以收斂半徑為 當(dāng)時,對應(yīng)的級數(shù)為,

28、此級數(shù)發(fā)散, 于是原冪級數(shù)的收斂域為. 五、冪級數(shù)的性質(zhì) 設(shè)冪級數(shù)收斂半徑為;收斂半徑為,則 1.,收斂半徑; 2.,收斂半徑; 3.冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂域上連續(xù); 4.冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項求導(dǎo),且求導(dǎo)后所得到的冪級數(shù)的收斂半徑仍為.即有 . 5.冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項積分,且積分后所得到的冪級數(shù)的收斂半徑仍為.即有 [例2.3] 用逐項求導(dǎo)或逐項積分求下列冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù) ⑴ ⑵ 解:⑴ 令,則 所以; ⑵ 令,則

29、 所以 ,. 六、函數(shù)展開成冪級數(shù) 1.函數(shù)展開成冪級數(shù)的定義 定義:設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義,,若存在冪級數(shù),使得 則稱在區(qū)間上能展開成處的冪級數(shù). 2.展開形式的唯一性 定理:若函數(shù)在區(qū)間上能展開成處的冪級數(shù) 則其展開式是唯一的,且 . 七、泰勒級數(shù)與麥克勞林級數(shù) 1.泰勒級數(shù)與麥克勞林級數(shù)的定義 定義:如果在的某一鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù),則稱冪級數(shù) 為函數(shù)在點的泰勒級數(shù). 當(dāng)時,稱冪級數(shù) 為函數(shù)的

30、麥克勞林級數(shù). 2.函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的充要條件 定理:函數(shù)在處的泰勒級數(shù)在上收斂到的充分必要條件是:在處的泰勒公式 的余項在上收斂到零,即對任意的,都有. 八、函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法 1.直接法 利用泰勒級數(shù)的定義及泰勒級數(shù)收斂的充要條件,將函數(shù)在某個區(qū)間上直接展開成指定點的泰勒級數(shù)的方法. 2.間接法 通過一定的運算將函數(shù)轉(zhuǎn)化為其它函數(shù),進而利用新函數(shù)的冪級數(shù)展開將原來的函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法.所用的運算主要是四則運算、(逐項)積分、(逐項)求導(dǎo)、變量代換.利用的冪級數(shù)展開式是下列一些常用函數(shù)的麥克勞林展開公式. 冪級

31、數(shù)常用的七個展開式 . ●● ??碱}型及其解法與技巧 一、阿貝爾定理的應(yīng)用 [例7.2.1] 設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為2,則冪級數(shù)在下列點處必收斂 (A) (B) (C) (D) 解:由于與有相同的收斂半徑,所以當(dāng)?shù)臅r候?qū)?yīng)的級數(shù)都絕對收斂,顯然集合中的點都滿足不等式,故選(A) [例7.2.2] 如級數(shù)在處收斂,問級數(shù)在處斂散性怎樣? 解:由阿貝爾定理,對一切的值,級數(shù)絕對收斂,從而級數(shù)滿足:對一切的值,級

32、數(shù)絕對收斂.現(xiàn)顯然不滿足,故級數(shù)在處斂散性不確定. [例7.2.3] 設(shè)收斂,則 (A)條件收斂 (B)絕對收斂 (C)發(fā)散 (D)不定 解:考查冪級數(shù),由于收斂,所以冪級數(shù)在點收斂,根據(jù)阿貝爾定理當(dāng)時,對應(yīng)的冪級數(shù)都絕對收斂,所以當(dāng)時,對應(yīng)的冪級數(shù)絕對收斂,而此時對應(yīng)級數(shù)為.所以應(yīng)選(B) [例7.2.4] 設(shè)冪級數(shù)在處條件收斂,則該冪級數(shù)的收斂半徑為. 解:由于在處條件收斂,由阿貝爾定理得,當(dāng)時級數(shù) 絕對收斂.所以收斂半徑; 假設(shè).由收斂半徑的定義知時,對應(yīng)的級數(shù)都絕對收斂,所以級數(shù)在處應(yīng)絕對收斂,矛盾.所以. 因此收斂半徑

33、. 二、收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域 求冪級數(shù)收斂半徑的方法我們在常考知識點中介紹過,如果冪級數(shù)中的冪次是按自然數(shù)順序依次遞增的,這時冪級數(shù)的收斂半徑的計算公式 如果冪級數(shù)中的冪次不是按自然數(shù)順序依次遞增的(如缺少奇數(shù)次冪或缺偶次冪等),這時不能用上面的公式計算收斂半徑,而必須使用正項級數(shù)的比值判別法或根值判別法(即常考知識點中介紹的法一與法三)求出冪級數(shù)的收斂半徑. 設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為.為了求冪級數(shù)的收斂域還需判別在 與處級數(shù)的斂散性. [例7.2.5] 求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域 (1)

34、 (2) (3) (4) (5) 解:(1)此級數(shù)的冪次是按自然數(shù)順序依次遞增的,其收斂半徑可直接按公式計算: 在處,級數(shù)成為,由[例7.1.8]中的(1)可知該級數(shù)發(fā)散; 在處,級數(shù)成為,可判定發(fā)散. 故原級數(shù)的收斂域為. (2)此級數(shù)的收斂半徑也可按公式計算: 在處,級數(shù)成為,這是交錯級數(shù),滿足萊布尼茲定理的條件,故收斂; 在處,級數(shù)成為,由于,而級數(shù)發(fā)散,故級數(shù)發(fā)散. 因此所給級數(shù)的收斂域為. (3)此級

35、數(shù)缺少的偶次冪.故需利用比值判別法求收斂半徑. 令可得,,故收斂半徑為. 在處,級數(shù)成為,這是交錯級數(shù),滿足萊布尼茲定理的條件,故收斂; 在處,級數(shù)成為,這是交錯級數(shù),滿足萊布尼茲定理的條件,故收斂. 因此所給級數(shù)的收斂域為. (4)此級數(shù)缺少的奇次冪.故需利用比值判別法求收斂半徑. 令可得,,故收斂半徑為. 在處,級數(shù)成為,該級數(shù)顯然收斂; 在處,級數(shù)成為,該級數(shù)收斂. 因此所給級數(shù)的收斂域為. (5)此級數(shù)中的的冪次不是按自然順依次遞增的.故需用比值判別法求收斂半徑. 令可得,,故收斂半徑為. 于是冪級數(shù)的收斂域為. [例

36、7.2.6] 求冪級數(shù)的收斂域. 解:設(shè)冪級數(shù),的收斂半徑分別為,則 ,.因此冪級數(shù)的收斂半徑為. (1) 若,則. 在,級數(shù)為收斂; 在,級數(shù)為發(fā)散,從而收斂域為. (2)若,則. 在,級數(shù)為收斂; 在,級數(shù)為收斂;,從而收斂域為. [例7.2.7] 已知冪級數(shù)在處收斂,在處發(fā)散,求其收斂域. 解:由于冪級數(shù)級數(shù)在處收斂,由阿貝爾定理可得,當(dāng)時,對應(yīng)的冪級數(shù)絕對收斂,所以收斂半徑; 假設(shè)收斂半徑,由收斂半徑的定義可知,時,對應(yīng)的級數(shù)都絕對收斂,而,所以級數(shù)在處絕對收斂,與已知矛盾.故. 綜上可得,收斂半徑. 又因為級數(shù)在處收斂,在處發(fā)散,故收斂域為.

37、 三、函數(shù)項級數(shù)求收斂域 函數(shù)項級數(shù)求收斂域的基本方法:⑴ 用正項級數(shù)比值判別法(或根值判別法)求(或);⑵解不等式,求出的收斂區(qū)間;⑶ 判定級數(shù)與的斂散性. 評注:函數(shù)項級數(shù)求收斂域有時也利用變量代換化為冪級數(shù),利用冪級數(shù)求收斂域的方法來完成,或者利用數(shù)項級數(shù)其它判別法、及性質(zhì)完成. [例7.2.8] 求下列函數(shù)項級數(shù)的收斂域 (1) (2) 解:(1) 令,可得. 而當(dāng)時,,所以該級數(shù)也收斂. 所以原級數(shù)的收斂域為. (2) 令,可得,即. 當(dāng)時,,所以該級數(shù)也收斂; 當(dāng)時,對應(yīng)的級數(shù)為,它是交錯

38、級數(shù),由萊布尼茲判別法知,該級數(shù)收斂; 當(dāng)時,對應(yīng)的級數(shù)為,它是正項級數(shù),由比較判別法知,該級數(shù)發(fā)散. 故原級數(shù)的收斂域為. [例7.2.9] 求級數(shù)的收斂域. 解:令,考察級數(shù)的收斂域 由于,所以冪級數(shù)的收斂半徑為 當(dāng)時,對應(yīng)冪級數(shù)為,由于,所以級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)時,對應(yīng)冪級數(shù)為,由于級數(shù)和級數(shù)都收斂,所以收斂. 從而冪級數(shù)的收斂域為. 由于,所以原級數(shù)的收斂域為. 四、冪級數(shù)求和函數(shù) 求冪級數(shù)和函數(shù)的基本方法:⑴求出其收斂域;⑵利用冪級數(shù)的四則運算性質(zhì)、逐項求導(dǎo)、逐項積分、或變量代換,將冪級數(shù)化為常用展開式的情形之一,從而得到新級數(shù)的和函數(shù);⑶對所得到的和函數(shù)

39、做相反的分析運算,便得原冪級數(shù)的和函數(shù). 評注:①若冪級數(shù)通項的系數(shù)是的有理分式,一般可用逐項求導(dǎo)來求和函數(shù); ②若冪級數(shù)通項的系數(shù)是的有理整式,一般可用逐項積分來求和函數(shù). [例7.2.10]求下列冪級數(shù)的和函數(shù) (1) (2) 分析:冪級數(shù)通項的系數(shù)是的有理整式,故應(yīng)利用逐項積分來求和函數(shù),冪級數(shù)通項的系數(shù)是的有理分式,應(yīng)利用逐項求導(dǎo)來求和函數(shù). 解:(1)由于收斂半徑 當(dāng)時,對應(yīng)級數(shù)為,發(fā)散; 當(dāng)時,對應(yīng)級數(shù)為,該級數(shù)發(fā)散,故冪級數(shù)收斂域為. 因為 令 ,則

40、 于是 , 從而 ,, 所以和函數(shù)為. (2),所以收斂半徑為 當(dāng)時,級數(shù)收斂; 當(dāng)時,級數(shù)發(fā)散,故級數(shù)的收斂域為. 設(shè),則,從而 所以 當(dāng)時,;當(dāng)時, 故=. [例7.2.11] 求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù). 解:收斂半徑為,所以收斂域為. 令 顯然 , 又 而 所以, 故 . [例7.2.12] 設(shè)有級數(shù) (Ⅰ)求此級數(shù)的收斂域 (Ⅱ)證明此級數(shù)滿足微分方程 (Ⅲ)求此級數(shù)的和函數(shù) 解:(Ⅰ)因為,故知級數(shù)對任何都收斂,即其收斂域為 (Ⅱ)設(shè),則, 所以 , (Ⅲ

41、)容易求得上述方程的通解為 由,可定出 故級數(shù)的和函數(shù)為. [例7.2.13] 設(shè)冪級數(shù)在內(nèi)收斂,其和函數(shù)滿足 , (Ⅰ)證明; (Ⅱ)求的表達式. 分析:用已知條件推證(Ⅰ)比較簡單.對于的表達式想通過解方程得到非常困難,因為所給方程超出我們所學(xué)范圍,不過可以通過(Ⅰ)把的具體表達式求出來,利用已知的常用冪級數(shù)展開式把冪級數(shù)的和函數(shù)寫出來. 證明:(Ⅰ) 由于,從而 , 故 所以 , ; (Ⅱ)因為,所以,于是由(Ⅰ)可得 , 所

42、以級數(shù)為,而, 故,. 五、用冪級數(shù)求數(shù)項級數(shù)和 求數(shù)項級數(shù)和的方法之一是利用冪級數(shù)的和函數(shù).此方法是:①根據(jù)的特點,構(gòu)造冪級數(shù)(其中取等情形中的一種);②求冪級數(shù)的和函數(shù),則. 評注:的構(gòu)造應(yīng)選取易求得和函數(shù)的冪級數(shù). [例7.2.14] 求下列數(shù)項級數(shù)的和 (1) (2) (3) 解:(1)令,則 所以 ,因此. (2)令,則 所以, 因此. (3)令,則 , 所以,因此. [例7.2.15] 求級數(shù)的和. 解:由于, 令 , 則, 所以, 從而. 六、將函

43、數(shù)展開成冪級數(shù) 函數(shù)展開成冪級數(shù)主要用間接展開法. Ⅰ 有理分式函數(shù)展開成冪級數(shù) 有理分式函數(shù)展開成冪級數(shù)的一般思路:①將有理分式函數(shù)分解成部分分式的和;②將各個部分分式用或 的冪級數(shù)展開式展開;③利用冪級數(shù)的四則運算性質(zhì)寫出的展開式. [例7.2.16] 將展開成的冪級數(shù). 解:由于,而 ; , 所以. [例7.2.17] 將展開成的冪級數(shù). 解:,而 , , 所以. Ⅱ 三角型函數(shù)展開成冪級數(shù) 三角型函數(shù)展開成冪級數(shù)的一般思路:①利用三角公式將表示成與和

44、、差的形式;②利用與的冪級數(shù)展開式將與展開;③利用冪級數(shù)的四則運算性質(zhì)寫出的展開式. [例7.2.18] 將展開成的冪級數(shù). 解:, 而 , 所以 . Ⅲ 對數(shù)型函數(shù)展開成冪級數(shù) 對數(shù)型函數(shù)展開成冪級數(shù),一般有以下幾種方法: 法一:①利用乘積或商的對數(shù)性質(zhì)將對數(shù)函數(shù)拆開(有時需因式分解)成與和、差形式;②利用的展開式,將與展開;③利用冪級數(shù)的四則運算性質(zhì)寫出的展開式. 法二:①將函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)展開;②利用逐項積分得到的展開式. [例7.2.19] 將函數(shù),在處展開成冪級數(shù). 解:,而 , 所以 ,. [例

45、7.2.20] 將函數(shù)展開成的冪級數(shù). 解:,而 所以 . Ⅳ 反三角型函數(shù)展開成冪級數(shù) 反三角型函數(shù)展開成冪級數(shù)的一般思路:①將函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)展開;②利用逐項積分得到的展開式. [例7.2.21] 將展開成的冪級數(shù). 解:,而 所以,又, 故 . Ⅴ 其它形式的函數(shù)展開成冪級數(shù) [例7.2.22] 設(shè),試將展開成的冪級數(shù),并求 的和. 解:由于,所以 因此,當(dāng)或時, +

46、 , 令,則 所以 1+2,, 且=. [例7.2.23] 將展開成的冪級數(shù). 解:由于 所以 由得: 故 . [例7.2.24] 將在展開成冪級數(shù). 解:依題意有 ,兩端求導(dǎo)得 , 設(shè)在展開成冪級數(shù),將其代入方程得 即 比較系數(shù)得,. 由于,故,因此,, 于是在的冪級數(shù)展開式為. 評注:冪級數(shù)與微分方程有密切的關(guān)系:本例是通過解方程來展開冪級數(shù),而[例7.2.12]是利用解方程來求冪級數(shù)的和函數(shù). 七、冪級數(shù)的應(yīng)用 [

47、例7.2.25] 已知,計算 分析:已知條件為某個已知和的數(shù)項級數(shù),但所求的積分卻十分困難,這就需要我們從另一個角度來考慮問題.既然要用已知條件求出積分,那該積分能否表示成某一級數(shù)的形式呢?于是問題的關(guān)鍵就是如何將被積函數(shù)展開成的冪級數(shù). 解:由于 , 所以 . [例7.2.26] 設(shè),求. 分析:根據(jù)冪級數(shù)展開式的唯一性,的麥克勞林級數(shù)就是在的冪級數(shù)展開式,所以,即. 解:由于, 所以, 從而. [例7.2.27] 設(shè),證明:時, 分析:證明恒等式最有力的方法是用拉格朗日中值定理的推論. 證明:令,則

48、 由拉格朗日中值定理推論可得: 又, 從而. [例7.2.28] 求證. 分析:等號左邊的級數(shù)固然可以求和函數(shù),但是等號右邊的積分卻十分困難,這就需要我們從另一個角度來考慮問題.既然證明積分的結(jié)果是一級數(shù),那該級數(shù)能否看作是某一冪級數(shù)逐項積分的結(jié)果呢?于是問題的關(guān)鍵就是如何將被積函數(shù)展開成的冪級數(shù). 解:當(dāng)時, 又因為,所以 從而 .

49、 §7.3 傅里葉級數(shù) 本節(jié)重點是傅里葉級數(shù)的狄里赫萊定理、將函數(shù)展開成傅里葉級數(shù). ● ??贾R點精講 一、傅里葉級數(shù) 定義1:設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可積,令 則三角級數(shù)叫以為周期的傅里葉級數(shù),其中 叫的傅里葉系數(shù). 定義2:設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可積,令 則三角級數(shù)叫以為周期的傅里葉級數(shù),其中 叫的傅里葉系數(shù). [例3.1] 設(shè)的傅里葉級數(shù)為,則其中的系數(shù)的值為. 解: , 其中 于是 .

50、二、傅里葉級數(shù)的收斂定理 定理(狄里赫萊定理)如果在區(qū)間上滿足: (1)只有有限個第一類間斷點; (2)只有有限個極值點 則的以為周期的傅里葉級數(shù) 的收斂域為,其和函數(shù)是以為周期的周期函數(shù),在其一個周期上的表達式為 三、對稱區(qū)間上奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù) 命題1:若為定義在上的偶函數(shù),則其以為周期的傅里葉級數(shù)為 其中 命題2:若為定義在上的奇函數(shù),則其以為周期的傅里葉級數(shù)為 其中 . ●● ??碱}型及其解法與技巧 一、狄

51、里赫萊定理的應(yīng)用 [例7.3.1] 設(shè),則其以為周期的傅里葉級數(shù)在收斂于,在收斂于. 解:根據(jù)狄里赫萊定理知: 以為周期的傅里葉級數(shù)在收斂于 , 以為周期的傅里葉級數(shù)在收斂于 . [例7.3.2] 設(shè)函數(shù),而,其中,則. (A) (B) (C) (D) 解:是函數(shù)先作奇延拓再作周期為2的周期延拓后的函數(shù)的傅里葉級數(shù)的和函數(shù).由于在處連續(xù),所以由狄里赫萊定理可得 而為奇函數(shù),所以.故應(yīng)選(C). [例7.3.3] 設(shè),,,其中 ,則等于 (A) (B)

52、 (C) (D) 解:是函數(shù)先作偶延拓再作周期為2的周期延拓后的函數(shù)的傅里葉級數(shù)的和函數(shù).由狄里赫萊定理, 而 , 故應(yīng)選(C). 二、將函數(shù)在上展開成傅里葉級數(shù) 這里有兩種情況:一是已知函數(shù)在上的表達式,且是以為周期的函數(shù),要將展開成傅里葉級數(shù);二是僅在上定義,要將展開成傅里葉級數(shù).如果是后一種情況,只需通過周期延拓的方法,在區(qū)間外擴充的定義,使它延拓為以為周期的函數(shù),就變成了前一種情況.這兩種情形的解題方法是相同的.具體為:① 畫出的草

53、圖,驗證是否滿足狄里赫萊定理的條件;②求出傅里葉系數(shù),寫出的傅里葉級數(shù);③利用狄里赫萊定理得到的傅里葉展開式,并注明展開式成立的范圍. 評注:畫出的草圖的目的,一是為了驗證狄里赫萊定理的條件;二是為了找到展開式成立的范圍(連續(xù)點都可以展開). [例7.3.4] 將展開成以6為周期的傅里葉級數(shù). 解:畫出的草圖如下所示. 由圖可見在上滿足狄里赫萊條件. 又 , , 所以以6為周期的傅里葉級數(shù)為 又因為傅里葉級數(shù)的和函數(shù)滿足: , 而,所以 ,. 三、將函數(shù)在

54、上展開成正弦級數(shù)或余弦級數(shù) 如函數(shù)在上有定義,要將它展開成正弦級數(shù)(或余弦級數(shù))的一般思路:① 將函數(shù)延拓成上的奇函數(shù)(或偶函數(shù));②畫出的草圖,驗證是否滿足狄里赫萊定理的條件;③求出傅里葉系數(shù),寫出的傅里葉級數(shù);④利用狄里赫萊定理將展開成正弦級數(shù)(或余弦級數(shù)),并注明展開式成立的范圍. [例7.3.5] 設(shè),試將展開成周期為4 的余弦級數(shù). 解:將延拓成上的偶函數(shù). 畫出的草圖如下圖所示: 由圖可見在上滿足狄里赫萊條件. 又 () 所以以4為周期的傅里葉級數(shù)為

55、 又因為傅里葉級數(shù)的和函數(shù)滿足: 所以, 故,. 四、利用函數(shù)的傅里葉展開式,求收斂常數(shù)項級數(shù)的和 利用函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式也是求收斂常數(shù)項級數(shù)和的方法之一,思路為:①求出所給函數(shù)的傅里葉展開式;②根據(jù)傅里葉系數(shù)的特點,確定傅里葉展開式在某個點所得到的級數(shù)恰為常數(shù)項級數(shù);③用狄里赫萊定理求出傅里葉級數(shù)的和函數(shù)在的值,即為所求. [例7.3.6] 將函數(shù), 在展開成以為周期的余弦級數(shù),并求下列數(shù)項級數(shù)的和. (1); (2); (3). 解: 將作偶延拓,得到上的偶函數(shù). 畫出

56、的草圖如圖所示: 由圖可見在上滿足狄里赫萊條件 則 所以 因為在內(nèi)連續(xù),的傅里葉級數(shù)的和函數(shù)滿足 , 因此 (**) 在式(**)中分別令和,得 , 由此可得 (1), (2), 再將上兩式逐項相加,又得

57、 故 (3). 五、其它 [例7.3.7] 設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù),并且傅里葉系數(shù)為 .求的傅里葉系數(shù),并利用所得結(jié)果推出 . 分析:是抽象函數(shù),也不可能得到具體的解析表達式,因此只能借助于的傅里葉系數(shù)來表示的傅里葉系數(shù).另外應(yīng)該看到求證的等式左端為. 解:顯然是以為周期的連續(xù)函數(shù),其傅里葉系數(shù) (交換積分次序所得) (利用周期函數(shù)的積分性質(zhì)所得) 由上述類似方法可得 由狄里赫萊定理知

58、 特別當(dāng)時 . [例7.3.8] 證明當(dāng)時, 分析:這里要證明一個三角級數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)收斂于一個函數(shù).這是傅里葉級數(shù)的反問題.證明這一類題的一般方法是將所給函數(shù)在指定區(qū)間上展開成傅里葉級數(shù),看它是不是等于給定的級數(shù). 證明:令 因為所給級數(shù)只含余弦項,故將函數(shù)偶延拓到區(qū)間內(nèi),于是其傅里葉系數(shù). ( 所以, 故.        

59、  知識點、考點測試 一、選擇題 1.下列命題中正確的是 設(shè)正項級數(shù)發(fā)散,則 設(shè)收斂,則收斂 設(shè),至少有一個發(fā)散,則發(fā)散 設(shè)收斂,則,均收斂. 2.下列論述正確的是 收斂,則收斂 3.設(shè)條件收斂,則必有 存在自然數(shù),使得當(dāng)成立, 收斂 發(fā)散 收斂 4.已知,且條件收斂.若設(shè) (,則級數(shù) (A)條件收斂 (B)絕對收斂 (C)發(fā)散

60、 (D)斂散性取決于的具體形式 5.設(shè)絕對收斂,則下列各選項正確的是( ) (A)發(fā)散 (B)條件收斂 (C)絕對收斂 (D) 6.對于常數(shù),級數(shù) 絕對收斂 條件收斂 發(fā)散 收斂性與的取值有關(guān) 7.設(shè)且收斂,常數(shù),則級數(shù) 絕對收斂

61、 條件收斂 發(fā)散 斂散性與有關(guān) 8.設(shè)級數(shù)收斂,則的值分別為 9.設(shè)正項級數(shù)收斂, ,則級數(shù) (A)發(fā)散 (B)絕對收斂 (C)條件收斂 (D)不定 10.在下列級數(shù) (1)

62、 (2) (3) (4) 中收斂的一共有( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 11.設(shè)冪級數(shù)在處收斂,則當(dāng)時,此級數(shù) 絕對收斂 發(fā)散 條件收斂 斂散性不確定 12.設(shè)冪級數(shù)在點條件收斂,則冪級數(shù),在點處 絕對收斂

63、 條件收斂 發(fā)散 不能確定 13.若級數(shù)的收斂域分別是 14.設(shè)收斂,則級數(shù)的收斂半徑是 15.將函

64、數(shù)在上展開為余弦級數(shù),則其和函數(shù)在處的函數(shù)值分別為( ) (A) (B)0,2,0 (C) (D) 16.設(shè)以為周期的函數(shù),有傅里葉級數(shù) 則下列函數(shù)的圖形哪一種可保證在可展開成傅里葉級數(shù),即成立等式 二、填空題 1.設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑是2,則冪級數(shù)的收斂半徑是. 2.設(shè)有級數(shù),若,則該級數(shù)的收斂半徑等于. 3.設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為,則的收斂半徑為. 4.已知冪級數(shù)當(dāng)時條件收斂,則該冪級數(shù)的收斂區(qū)間為. 5.設(shè)的收

65、斂區(qū)間為,則級數(shù)的收斂區(qū)間為. 6.冪級數(shù)的收斂域為. 7.冪級數(shù)的收斂域為. 8.將函數(shù)展成的冪級數(shù)是. 9.設(shè),而,,其中,則. 10.設(shè)函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式為 則其中系數(shù) 11.設(shè),則其以為周期的傅里葉級數(shù)在收斂于,在收斂于. 三、解答題 1. 判斷下列級數(shù)的斂散性 (1) (2) (3)判斷級數(shù)的斂散性. (4) 2.判別級數(shù)的斂散性 3.判斷級數(shù)的斂散性.其中 4.設(shè)為單調(diào)減少的正項數(shù)列,且發(fā)散,試討論級數(shù)的斂散性, 5.討論下列級數(shù)的斂散性,若收斂,

66、指出是條件收斂還是絕對收斂,說明理由. (1) (2) (3) 6.研究級數(shù)的斂散性(其中 7.求下列冪級數(shù)的收斂域 (1) (2) (3) (4) 8.求下列冪級數(shù)的和函數(shù) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 9.求冪級數(shù)的收斂半徑,收斂域及其和函數(shù);并求數(shù)項級數(shù) 的和. 10.求下列數(shù)項級數(shù)的和 (1) (2) (3) (4) 11.將展開為的冪級數(shù) . 12.將展開成的冪級

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