5、數(shù)字1,2,9的位置，再分步填寫空格；(2)按中間數(shù)進行分類．
答案 (1)A (2)A
解析 (1)∵每一行從左到右，每一列從上到下分別依次增大，1,2,9只有一種填法，5只能填在右上角或左下角，5填后與之相鄰的空格可填6,7,8任一個；
余下兩個數(shù)字按從小到大只有一種方法．
共有2×3＝6種結(jié)果，故選A.
(2)分8類，當中間數(shù)為2時，有1×2＝2種；
當中間數(shù)為3時，有2×3＝6種；
當中間數(shù)為4時，有3×4＝12種；
當中間數(shù)為5時，有4×5＝20種；
當中間數(shù)為6時，有5×6＝30種；
當中間數(shù)為7時，有6×7＝42種；
當中間數(shù)為8時，有7×8＝56種；
當
6、中間數(shù)為9時，有8×9＝72種．
故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240種．
思維升華 (1)在應(yīng)用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理時，一般先分類再分步，每一步當中又可能用到分類加法計數(shù)原理．
(2)對于復雜的兩個原理綜合使用的問題，可恰當列出示意圖或表格，使問題形象化、直觀化．
(1)(2014·大綱全國)有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個醫(yī)療小組，則不同的選法共有( )
A．60種 B．70種
C．75種 D．150種
(2)已知函數(shù)f(x)＝ln(x2＋1)的值域為{0,1,2}，則滿足這樣條件的函數(shù)的個數(shù)為( )
7、
A．8 B．9 C．26 D．27
答案 (1)C (2)B
解析 (1)由題意知，選2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生的方法有CC＝75(種)．
(2)因為值域為{0,1,2}即ln(x2＋1)＝0?x＝0，
ln(x2＋1)＝1?x＝±，
ln(x2＋1)＝2?x＝±，所以定義域取值即在這5個元素中選取，①當定義域中有3個元素時，CCC＝4，②當定義域中有4個元素時，CC＝4，③當定義域中有5個元素時，有一種情況．所以共有4＋4＋1＝9(個)這樣的函數(shù)．
熱點二 排列與組合
例2 (1)(2014·重慶)某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目，2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，
8、則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是( )
A．72 B．120
C．144 D．168
(2)數(shù)列{an}共有12項，其中a1＝0，a5＝2，a12＝5，且|ak＋1－ak|＝1，k＝1,2,3，…，11，則滿足這種條件的不同數(shù)列的個數(shù)為( )
A．84 B．168
C．76 D．152
思維啟迪 (1)將不能相鄰的節(jié)目插空安排；(2)考慮數(shù)列中項的增減變化次數(shù)．
答案 (1)B (2)A
解析 (1)先安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目，然后讓歌舞節(jié)目去插空．安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目的順序有三種：“小品1，小品2，相聲”“小品1，相聲，小品2”和“相聲，小品1，小品2”．對于第一種情
9、況，形式為“□小品1歌舞1小品2□相聲□”，有ACA＝36(種)安排方法；同理，第三種情況也有36種安排方法，對于第二種情況，三個節(jié)目形成4個空，其形式為“□小品1□相聲□小品2□”，有AA＝48(種)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(種)安排方法．
(2)∵|ak＋1－ak|＝1，k＝1,2,3，…，11，∴前一項總比后一項大1或小1，a1到a5中4個變化必然有3升1減，a5到a12中必然有5升2減，是組合的問題，∴C×C＝84.
思維升華 解排列、組合的應(yīng)用題，通常有以下途徑：
(1)以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素．
(2)以位置為主體，即先滿足特殊位
10、置的要求，再考慮其他位置．
(3)先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù)．
(1)在航天員進行的一項太空實驗中，先后要實施6個程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，程序B和C實施時必須相鄰，則實驗順序的編排方法共有( )
A．24種 B．48種
C．96種 D．144種
(2)從0,1,2,3,4中任取四個數(shù)字組成無重復數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)是________(用數(shù)字作答)．
答案 (1)C (2)60
解析 (1)首先安排A有2種方法；第二步在剩余的5個位置選取相鄰的兩個排B，C，有4種排法，而B，C位置互換有2種方法；第三步安
11、排剩余的3個程序，有A種排法，共有2×4×2×A＝96(種)．
(2)0,1,2,3,4中任取四個數(shù)字組成無重復數(shù)字的四位數(shù)，且為偶數(shù)，有兩種情況：
一是當0在個位的四位偶數(shù)有A＝24(個)；
二是當0不在個位時，先從2,4中選一個放在個位，再從余下的三個數(shù)選一個放在首位，應(yīng)有AAA＝36(個)，
故共有四位偶數(shù)60個．
熱點三 二項式定理
例3 (1)在(a＋x)7展開式中x4的系數(shù)為35，則實數(shù)a的值為________．
(2)如果(1＋x＋x2)(x－a)5(a為實常數(shù))的展開式中所有項的系數(shù)和為0，則展開式中含x4項的系數(shù)為________．
思維啟迪 (1)利用通項公
12、式求常數(shù)項；(2)可用賦值法求二項展開式所有項的系數(shù)和．
答案 (1)1 (2)－5
解析 (1)通項公式：Tr＋1＝Ca7－rxr，所以展開式中x4的系數(shù)為Ca3＝35，解得a＝1.
(2)∵令x＝1得(1＋x＋x2)(x－a)5的展開式中所有項的系數(shù)和為(1＋1＋12)(1－a)5＝0，∴a＝1，∴(1＋x＋x2)(x－a)5＝(1＋x＋x2)(x－1)5＝(x3－1)(x－1)4＝x3(x－1)4－(x－1)4，
其展開式中含x4項的系數(shù)為
C(－1)3－C(－1)0＝－5.
思維升華 (1)在應(yīng)用通項公式時，要注意以下幾點：
①它表示二項展開式的任意項，只要n與r確定，該
13、項就隨之確定；
②Tr＋1是展開式中的第r＋1項，而不是第r項；
③公式中，a，b的指數(shù)和為n且a，b不能隨便顛倒位置；
④對二項式(a－b)n展開式的通項公式要特別注意符號問題．
(2)在二項式定理的應(yīng)用中，“賦值思想”是一種重要方法，是處理組合數(shù)問題、系數(shù)問題的經(jīng)典方法．
(1)(2014·湖北)若二項式(2x＋)7的展開式中的系數(shù)是84，則實數(shù)a等于( )
A．2 B.
C．1 D.
(2)(2014·浙江)在(1＋x)6(1＋y)4的展開式中，記xmyn項的系數(shù)為f(m，n)，則f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)等于( )
A．45 B
14、．60
C．120 D．210
答案 (1)C (2)C
解析 (1)二項式(2x＋)7的展開式的通項公式為
Tr＋1＝C(2x)7－r·()r＝C27－rarx7－2r，
令7－2r＝－3，得r＝5.
故展開式中的系數(shù)是C22a5＝84，解得a＝1.
(2)因為f(m，n)＝CC，
所以f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)
＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.
1．排列、組合應(yīng)用題的解題策略
(1)在解決具體問題時，首先必須弄清楚是“分類”還是“分步”，接著還要搞清楚“分類”或者“分步”的具體標準是什么．
(2)區(qū)分某一問題是排列問題還是組合問題
15、，關(guān)鍵看選出的元素與順序是否有關(guān)．若交換某兩個元素的位置對結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問題；若交換任意兩個元素的位置對結(jié)果沒有影響，則是組合問題．也就是說排列問題與選取元素的順序有關(guān)，組合問題與選取元素的順序無關(guān)．
(3)排列、組合綜合應(yīng)用問題的常見解法：①特殊元素(特殊位置)優(yōu)先安排法；②合理分類與準確分步；③排列、組合混合問題先選后排法；④相鄰問題捆綁法；⑤不相鄰問題插空法；⑥定序問題倍縮法；⑦多排問題一排法；⑧“小集團”問題先整體后局部法；⑨構(gòu)造模型法；⑩正難則反、等價轉(zhuǎn)化法．
2．二項式定理是一個恒等式，對待恒等式通常有兩種思路
一是利用恒等定理(兩個多項式恒等，則對應(yīng)項系數(shù)相等)；二
16、是賦值．這兩種思路相結(jié)合可以使得二項展開式的系數(shù)問題迎刃而解．
另外，通項公式主要用于求二項式的指數(shù)，求滿足條件的項或系數(shù)，求展開式的某一項或系數(shù)，在運用公式時要注意以下幾點：
(1)Can－rbr是第r＋1項，而不是第r項．
(2)運用通項公式Tr＋1＝Can－rbr解題，一般都需先轉(zhuǎn)化為方程(組)求出n、r，然后代入通項公式求解．
(3)求展開式的特殊項，通常都是由題意列方程求出r，再求出所需的某項；有時需先求n，計算時要注意n和r的取值范圍及它們之間的大小關(guān)系.
真題感悟
1．(2014·浙江)在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎．將這8張獎券分配給4個人，每
17、人2張，不同的獲獎情況有________種(用數(shù)字作答)．
答案 60
解析 把8張獎券分4組有兩種分法，一種是分(一等獎，無獎)、(二等獎，無獎)、(三等獎，無獎)、(無獎，無獎)四組，分給4人有A種分法；另一種是一組兩個獎，一組只有一個獎，另兩組無獎，共有C種分法，再分給4人有A種分法，所以不同獲獎情況種數(shù)為A＋CA＝24＋36＝60.
2．(2014·山東)若(ax2＋)6的展開式中x3項的系數(shù)為20，則a2＋b2的最小值為________．
答案 2
解析 (ax2＋)6的展開式的通項為
Tr＋1＝C(ax2)6－r·()r＝Ca6－rbrx12－3r，
令12－3r＝3
18、，得r＝3，由Ca6－3b3＝20得ab＝1，
所以a2＋b2≥2＝2，故a2＋b2的最小值為2.
押題精練
1．給一個正方體的六個面涂上4種不同的顏色(紅、黃、綠、藍)，要求相鄰2個面涂不同的顏色，則所有涂色方法的種數(shù)為( )
A．6 B．12 C．24 D．48
答案 A
解析 由于涂色過程中，要使用4種顏色，且相鄰的面不同色，對于正方體的3組對面來說，必然有2組對面同色，1組對面不同色，而且3組對面具有“地位對等性”，因此，只需從4種顏色中選擇2種涂在其中2組對面上，剩下的2種顏色分別涂在另外2個面上即可．因此共有C＝6(種)不同的涂法，故選A.
2．某電視臺一節(jié)目
19、收視率很高，現(xiàn)要連續(xù)插播4個廣告，其中2個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益宣傳廣告，要求最后播放的必須是商業(yè)廣告，且2個商業(yè)廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式有( )
A．8種 B．16種 C．18種 D．24種
答案 A
解析 可分三步：第一步，最后一個排商業(yè)廣告有A種；第二步，在前兩個位置選一個排第二個商業(yè)廣告有A種；第三步，余下的兩個排公益宣傳廣告有A種．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的播放方式共有AAA＝8(種)．故選A.
3．(＋)2n的展開式中第6項的二項式系數(shù)最大，則其常數(shù)項為( )
A．120 B．252 C．210 D．45
答案 C
解析 根據(jù)二
20、項式系數(shù)的性質(zhì)，得2n＝10，故二項式(＋)2n的展開式的通項公式是Tr＋1＝C()10－r·()r＝C.根據(jù)題意令5－－＝0，解得r＝6，故所求的常數(shù)項等于C＝210.
4．設(shè)f(x)是(x2＋)6展開式的中間項，若f(x)≤mx在區(qū)間[，]上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________．
答案 [5，＋∞)
解析 (x2＋)6展開共七項，中間項為C(x2)3()3＝20·x6·＝x3，所以f(x)＝x3.
f(x)≤mx在區(qū)間[，]上恒成立，即x3－mx≤0在區(qū)間[，]上恒成立．
x3－mx＝x(x2－m)，因為x∈[，]，所以x>0，即x2－m≤0在區(qū)間[，]上恒成立，所以m≥
21、(·x2)max，在區(qū)間[，]上，易知當x＝時，x2有最大值，最大值為5，所以m≥5.
即實數(shù)m的取值范圍是[5，＋∞)．
(推薦時間：60分鐘)
一、選擇題
1．(2014·安徽)從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為60°的共有( )
A．24對 B．30對 C．48對 D．60對
答案 C
解析 如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，與面對角線AC成60°角的面對角線有B1C，BC1，A1D，AD1，AB1，A1B，D1C，DC1，共8條，同理與DB成60°角的面對角線也有8條．因此一個面上的2條面對角線與其相鄰的4個面上的8條對角線共組
22、成16對．又正方體共有6個面，所以共有16×6＝96(對)．又因為每對被計算了2次，因此成60°角的面對角線有×96＝48(對)．
2．在(x－)5的二項展開式中，x2的系數(shù)為( )
A．40 B．－40
C．80 D．－80
答案 A
解析 (x－)5的展開式的通項為
Tr＋1＝Cx5－r(－)r＝(－2)rC，
令5－＝2，得r＝2，故展開式中x2的系數(shù)是(－2)2C＝40，故選A.
3．從8名女生和4名男生中，抽取3名學生參加某檔電視節(jié)目，如果按性別比例分層抽樣，則不同的抽取方法數(shù)為( )
A．224 B．112
C．56 D．28
答案 B
解析 根
23、據(jù)分層抽樣，從8個人中抽取男生1人，女生2人；所以取2個女生1個男生的方法：CC＝112.
4．若(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則a0＋a1＋a3＋a5的值為( )
A．122 B．123 C．243 D．244
答案 B
解析 在已知等式中分別取x＝0、x＝1與x＝－1，得a0＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，因此有2(a1＋a3＋a5)＝35＋1＝244，a1＋a3＋a5＝122，a0＋a1＋a3＋a5＝123，
故選B.
5．(2014·四川)在x(1＋x)6的展開式中，含
24、x3項的系數(shù)為( )
A．30 B．20
C．15 D．10
答案 C
解析 因為(1＋x)6的展開式的第r＋1項為Tr＋1＝Cxr，x(1＋x)6的展開式中含x3的項為Cx3＝15x3，所以系數(shù)為15.
6．計劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排成一列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且水彩畫不放在兩端，那么不同的排列方式的種數(shù)有( )
A．AAB．AAA
C．CAAD．AAA
答案 D
解析 先把3種品種的畫看成整體，而水彩畫受限制應(yīng)優(yōu)先考慮，不能放在頭尾，故只能放在中間，又油畫與國畫有A種放法，再考慮國畫與油畫本身又可以全排列，故排列的方
25、法有AAA種．
7．二項式(－)n的展開式中第4項為常數(shù)項，則常數(shù)項為( )
A．10 B．－10
C．20 D．－20
答案 B
解析 由題意可知二項式(－)n的展開式的常數(shù)項為T4＝C()n－3(－)3＝(－1)3C，
令3n－15＝0，可得n＝5.
故所求常數(shù)項為T4＝(－1)3C＝－10，故選B.
8．有A、B、C、D、E五位學生參加網(wǎng)頁設(shè)計比賽，決出了第一到第五的名次．A、B兩位學生去問成績，老師對A說：你的名次不知道，但肯定沒得第一名；又對B說：你是第三名．請你分析一下，這五位學生的名次排列的種數(shù)為( )
A．6 B．18
C．20 D．24
答案
26、 B
解析 由題意知，名次排列的種數(shù)為CA＝18.
9．在二項式(x2－)n的展開式中，所有二項式系數(shù)的和是32，則展開式中各項系數(shù)的和為( )
A．32 B．－32
C．0 D．1
答案 C
解析 依題意得所有二項式系數(shù)的和為2n＝32，解得n＝5.
因此，令x＝1，則該二項展開式中的各項系數(shù)的和等于(12－)5＝0，故選C.
10．用紅、黃、藍、白、黑五種顏色涂在“田”字形的4個小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復使用，則所有涂色方法的種數(shù)為( )
A．60 B．80
C．120 D．260
答案 D
解析 如圖所示，將4個小
27、方格依次編號為1,2,3,4.如果使用2種顏色，則只能是第1,4個小方格涂一種，第2,3個小方格涂一種，方法種數(shù)是CA＝20；如果使用3種顏色，若第1,2,3個小方格不同色，第4個小方格只能和第1個小方格相同，方法種數(shù)是CA＝60，若第1,2,3個小方格只用2種顏色，則第4個方格只能用第3種顏色，方法種數(shù)是C×3×2＝60；如果使用4種顏色，方法種數(shù)是CA＝120.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，知總的涂法種數(shù)是20＋60＋60＋120＝260，故選D.
二、填空題
11．“霧霾治理”“光盤行動”“網(wǎng)絡(luò)反腐”“法治中國”“先看病后付費”成為2013年社會關(guān)注的五個焦點．小王想利用2014“五一”假期
28、的時間調(diào)查一下社會對這些熱點的關(guān)注度．若小王準備按照順序分別調(diào)查其中的4個熱點，則“霧霾治理”作為其中的一個調(diào)查熱點，但不作為第一個調(diào)查熱點的調(diào)查順序總數(shù)為________．
答案 72
解析 先從“光盤行動”“網(wǎng)絡(luò)反腐”“法治中國”“先看病后付費”這4個熱點選出3個，有C種不同的選法；在調(diào)查時，“霧霾治理”安排的調(diào)查順序有A種可能情況，其余三個熱點調(diào)查順序有A種，故不同調(diào)查順序的總數(shù)為CAA＝72.
12．(x－1)(4x2＋－4)3的展開式中的常數(shù)項為________．
答案 160
解析 (x－1)(4x2＋－4)3＝(x－1)(2x－)6，其中(2x－)6展開式的第r＋1項為
29、Tr＋1＝C(2x)6－r·(－)r＝(－1)r·C·26－r·x6－2r，
令r＝3，可得T4＝(－1)3C·23＝－160，
所以二項式(x－1)(4x2＋－4)3的展開式中常數(shù)項為(－1)×(－160)＝160.
13．(2014·北京)把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有________種．
答案 36
解析 將產(chǎn)品A與B捆綁在一起，然后與其他三種產(chǎn)品進行全排列，共有AA種方法，將產(chǎn)品A，B，C捆綁在一起，且A在中間，然后與其他兩種產(chǎn)品進行全排列，共有AA種方法．于是符合題意的排法共有AA－AA＝36(種)．
14．(2014
30、·課標全國Ⅱ)(x＋a)10的展開式中，x7的系數(shù)為15，則a＝________.(用數(shù)字填寫答案)
答案
解析 設(shè)通項為Tr＋1＝Cx10－rar，令10－r＝7，
∴r＝3，∴x7的系數(shù)為Ca3＝15，∴a3＝，∴a＝.
15．某工廠將甲、乙等五名新招聘員工分配到三個不同的車間，每個車間至少分配一名員工，且甲、乙兩名員工必須分到同一個車間，則不同分法的種數(shù)為________．
答案 36
解析 若甲、乙分到的車間不再分人，則分法有C×A×C＝18種；若甲、乙分到的車間再分一人，則分法有3×C×A＝18種．所以滿足題意的分法共有18＋18＝36種．
16．已知(x＋)6(a>
31、0)的展開式中常數(shù)項為240，則(x＋a)(x－2a)2的展開式中x2項的系數(shù)為________．
答案?。?
解析 (x＋)6的二項展開式的通項為
Tr＋1＝Cx6－r()r＝Ca，令6－＝0，得r＝4，則其常數(shù)項為Ca4＝15a4＝240，則a4＝16，由a>0，故a＝2.又(x＋a)(x－2a)2的展開式中，x2項為－3ax2.故x2項的系數(shù)為(－3)×2＝－6.
內(nèi)容總結(jié)
（1）第1講 排列、組合與二項式定理
考情解讀 1.高考中對兩個計數(shù)原理、排列、組合的考查以基本概念、基本方法(如“在”“不在”問題、相鄰問題、相間問題)為主，主要涉及數(shù)字問題、樣品問題、幾何問題、涂色問題、選取問題等
（2）②Tr＋1是展開式中的第r＋1項，而不是第r項
步步高廣東專用高考數(shù)學二輪復習 專題訓練七排列組合與二項式定理 理
