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1、第一單元層次分析法一AH騎介(TheAnalyticHierarchyProcess-AHP)前言最優(yōu)化技術在決策分析中占著極重要的位置，數學模型在最優(yōu)化技術中占著統(tǒng)治地位；由于系統(tǒng)越來復雜，數學模型也越來越復雜，掌握運用困難很多，并且隨著復雜性增加，模型解與實際要求距離也在增加。事實上，數學模型也非萬能，決策中大量因素無法定量表示，所以，有時人們不得不回到決策的起點和終點：一一人的選擇和判斷，需要認真地研究選擇和判斷的規(guī)律，這就是AHP產生的背景。匹茲堡大學Saaty教授于七十年代中期提出層次分析法AHP。于80年代初由Saaty的學生介紹到我國。層次分析AHP的特點：1 .輸入信息主要是決

2、策者的選擇和判斷。決策過程充分反映了決策者對決策問題的認識；2 .簡潔性：基于高中知識，可不用計算機完成計算；3 .實用性：能進行定量分析，也可定性分析；而通常最優(yōu)化方法只能用于定量分析；4 .系統(tǒng)性：人們決策大致分三種：(因果判斷、概率推斷和系統(tǒng)推斷)，AHP把問題看作一個系統(tǒng)屬于第三種，真正要搞清楚AHP原理，需要深刻的數學背景。好在我們只重應用，并不過多涉及AHP的數學背景。AHP的主要不足在于：AHP只能用于選擇方案，而不能生成方案；主觀性太強，從層次結構建立，判斷矩陣的構造，均依賴決策人的主觀判斷，選擇，偏好，若判斷失誤，則可能造成決策失誤。規(guī)劃論一一采用較嚴格的數學計算，把人的主觀

3、性降到最低程度；但有些決策結果令決策人難以接受。AHP從本質上講是試圖使人的判斷條理化，所得結果基本上依據人的主觀判斷，當決策者的判斷因受個人偏好影響對客觀規(guī)律歪曲時，AHP的結果顯然靠不住，所以，AHP中通常是群組判斷方式。盡管AHP在理論上尚不完善，應用中也有缺陷；但由于AHP簡單、實用，仍被視為是多目標決策的有效方法，至今仍被廣泛應用的一種無結構決策方法。1預備知識1 .特征值與特征向量1.1特征值與特征向量的概念設A=（aj晨為n階方陣，若常數人和非零n維向量g=（g1,g2,，gJT滿足Ag=Zg（1）則稱為一為矩陣 A 的一個特征值（或特征根），非零向量 g 為矩陣 A 的屬于特征

4、值九的特征向量。1.2特征值與特征向量的求法由（1）知Ag-母=0,（A九 EB=0所以，g 是齊次線性方程組（A-九EX=0的非零解，所以有A九 E=0（2）稱（2）式為矩陣A的特征方程。它是一個一元n次方程，由代數基本定理知，該方程有且只有n個根。解 A 的特征方程，可求得 A 的n個特征值心，兒2，兒n。解齊次線性方程組（A%EX=0,其非零解為的全部特征向量（i=1,21n）。利用MATERLAB軟件，可以很容易地求出 A 的n個特征值及相應的特征向量。2 .重量模型m（,m2,，mn。設準則C為“重量大為好”，要在準則C下對n個物體UI,U2,，Un按其重量大小排序。1.a。0,4=

5、1；12.aij=；aji3.aijajk=aik滿足1）的矩陣A稱為正矩陣。滿足1）、2）的矩陣A稱為正互反矩陣。滿足1）、2）、3）的矩陣A稱為一致性判斷矩陣。如果已知一致性判斷矩陣 A,可根據 A 的任一行（列）元素對小排序，且按不同行（列）的排序結果完全相同。設 A 為一致性判斷矩陣，由A-九E=（-1），2（八-n）=0可求得 A 的n個特征值為設U1,U2,，Un為n個物體，重量分別為如果回，m2,，mn的值已知，則可按重量大小對設m1,m2,，mn的值未知，令a。=fmj(i,j=1,2，n),A 二n個物體排序。m1m1m2m2m2(aj葭=m1m2mnmnm1m2m1mnm2

6、mnamnmn)顯然 A 滿足:對任意的 i,j=1,2,，n,有n個物體U1,U2,，Un按重量大解齊次線性方程組（A-nE/=0,可得%=n的特征向量為Tg小日凡,E）,k=0由此可得，如果 A 為一致性判斷矩陣，則 A 的最大特征值為九max=n,其余特征值為零。且。=n的特征向量為Tg=k（mi,m2,凡）,k:0由于當 k0 時，g 的分量與g0=（m,m2,，0）丁的分量有相同的排序。所以只要求出九max=n的特征向量任意一個分量全為正的特征向量，則可按此特征向量的分量大小順序對n個物體排序。3 Perro-Frobineus定理正矩陣存在重數為1的正特征根，其它特征根的模均小于這

7、個正特征根，該正特征根對應的特征向量可以全部由正分量組成，經“歸一化”處理后該特征向量是惟一的。AHP型如果對一致性判斷矩陣 A 有一個小的擾動，即aj不再是真實重量的比值，這時顯然 A 不滿足一致性條件(A是正互反矩陣)，此時 A 的最大特征值?、max不再是n；因擾動很小，希望九max與n相差不大，這時Amax對應的特征向量雖然不會是n個物體的真實重量g0=(m1,m2;-,mnT的倍數，但變動也不會太大。我們設想：如果對 A 的擾動不大，則兒max離n就不遠，此時Kmax對應的特征向量 g 與50差不多，如果 g 不改變缶的各分量的大小次序，則 g 的分量同樣給出n個物體u1,u2，un

8、按重量大小的真實排序。這樣，對不滿足一致性的正互反矩陣A=(aij)n沖，我們求其最大特征根入max,再求與九max對應的特征向量g,則可按 g 的分量大小對n個物體u1,u2，un按重量大小排序。但是，這種做法有幾個問題：當 A 不滿足一致性時，A 還有沒有最大正特征根；既使 A 有最大特征根，那么，這個最大特征根Kmax對應的特征向量的分量能否全是正數？上一節(jié)的Perron定理明確告訴我們，對正的互反矩陣A,既使它不滿足一致性，也一定存在最大正的實特征根，它對應的特征向量的各個分量都可以是正數，并且“歸一化”后是惟一的。最重要的問題是，我們能否按這個“歸一化”后惟一的特征向量對n個物體按重

9、量大小排序呢？或說這個“歸一化”后的特征向量是否會改變擾動前的一致性矩陣 A 的最大特征根九max=n對應的特征向量的各分量的大小排序呢？人們難于正面明確地回答這個問題，而只能給出一個并不是十分令人滿意的簡接回答。那就是對判斷矩陣A=(aj的一致性滿意程度進行檢驗。由于對 A 的擾動不大，最大特征值與n不會相差太大。可以證明：只要 A 不滿足一致性，那么A 的最大特征根Xmax一定比n大，即入maxn0。稱 C.I.為一致性檢驗指標。顯然，我們希望 C.I.盡量小。但是，C.I.小到什么程度，才能使九max與maxn對應的特征向量“歸一化”后各分量大小次序不被破壞呢？這是一個理論上無法解決的問

10、題，人們難以正面回答。Saaty給出了平均一致性檢驗值 R.I.:對一致性判斷矩陣 A 進彳f1000次隨機擾動，得到1000個不同的 C.I.,計算其算術平均值得到平均隨機一致性檢驗指標 R.I.如下：階數123456789101112131415R.I.000.520.891.121.261.361.411.461.491.521.541.561.58 1.59A 的最大特征值九max對應的特征向量“歸一化”后，能給出n個物體UI,U2,，un按重量大小的真實排序。C.I.=max-n令當 C.R.0.1 時，認為判斷矩陣C.R.=C.I.R.I.A 的一致性是可以被接受的。亦即當C.I.

11、0.1R.I.時，認為判斷矩陣A=(aj)近似滿足一致性。即認為此時可以看出這不是正面回答，但這已是目前為止最好的回答,從應用角度看，當 C.R.,aij一，aii-1aji所以，A 是正互反矩陣，且又角線上元素為1。但是，A 通常不具有傳遞性，即ajWjk#aik,這是由事物的復雜性和人的認識的局限性造成的。如果aj，ajk=aik成立，即 A 是一致性矩陣，則n個元素比較 n-1 次，即可完全確定順序。從判斷矩陣 A 出發(fā)到導出元素在某種準則下按重要性大小的排序，矩陣 A 的一致性起著至關重要的作用。按著 1C 比例標度的上述說明，具體構造應用實例的六個準則下的兩兩比較判斷矩陣如下：GCi

12、C2C3C4C5G13535C21/31313C31/51/311/33C41/31313C51/51/31/31/31C1A1A2AA1115A2115A31/51/51C2A1A2A3A1135A21312A31/51/21C3A1A2A3A1147A21/414A3171/41C4A1A2A3A11/21/3A2211A3311C5A1A2A3A111/21/3A2211A3311ccC.I.C.R.=R.I.3.0037-320.52=0.00356:二 0.1712b9-Numbered_3d073793-f2c2-411c-bda3-230ce5f27cc8-Numbe 計算單一準

13、則下各元素的相對權重要性權重。(b)以G為準則的判斷矩陣115B21=115利用materlab軟件，求得最大特征值及歸一化特征向量為Xmax=3.0183,p=(0.16921,0.38737,0.44342)T致性檢驗：由于B24的一致性可以接受，p 的三個分量可以作為c4下A、A2、A3的重要性權重。(。以G為準則的判斷矩陣11/21/3B25=211=B24311T.一致性檢驗：由于所以，通過檢驗。即認為性權重。C.RC.I.R.I.3.0764-320.52=0.07346:二 0.1B23的一致性可以接受，p 的三個分量可以作為C3下A、A2、A3的重要C.RC.I.R.I.3.0

14、183-320.52=0.01760:二 0.1所以，通過檢驗。即認為所以，B24的一致性可以接受，p=(0.16921,0.38737,0.44342)的二個分量可以作為q下A、A2、人3的重要性權重。712b9-Numbered_3d073793-f2c2-411c-bda3-230ce5f27cc8-Numbe 計算各層元素的組合權重攙昀權重計算設準則層元素相對于總目標的排序權重向量為:a=(a1，a2,%,a4，a5)T方案層關于準則層第j準則的排序向量為：bj=(%,b2j,0j)T(j=1,2,3,4,5)則方案層3個元素相對于總目標的組合權重向量為:本例中，方案A、B、C在總目標

15、G下的排序向量為0.454550.648290.695520.169210.16920=0.454550.229670.229020.387370.3873|、0.090900.122030.075460.443420.4434)攙昀對于遞階層次組合判斷的一致性檢驗設第一層的計算結果為：C.I.1,R.I.1,C.R,1G下B2i的檢驗指標為C.I.2,R.I.2,C.R.2,(i=1,2,3,4,5)則第二層的相應指標為:C.I.2=(C.I.12cI.2，C.I.5)aRI.2=(R.I.2,R.I.2,-,R.I.5%aCIC.R.2=C.R.1R.I.當C.R.20.1時，認為遞階層次

16、在2層水平上整個判斷有滿意的一致性。QIb11b12b13b14b15a2b21b22b23b24b25a3&1b32b33b34b35)a4=bibhhbsa1二0.459I10.192870.095120.1928r、0.059910.44270.37270.1845對本例，有C.I.1=0.051675,R.I.1-1.12,C.R.1=0.046140.4593、0.1928C.I.2=(0,0.00185,0.0382,0.00915,0.00915)，0.0951=0.006300.19280.0599,0.45930.1928RI.2=(0.52,0.52,0.52,0.52,0

17、.52)，0.0951=0.520.19280599)CCC.I.20.00630C.R.2=C.R.12=0.04614=0.05826R.1.20.52因為C.R.20,%0%+Nji=1ij%=0(表明一個隊無法與自己比賽)在實際問題中，可取到0,1上的一切實數。稱h為Ui和Uj(i#j)的相對測度，稱ijnn為兩兩比賽判斷矩陣。如果%則稱Ui比Uj強，記為UiUj,含意是兩者比賽完后Ui得分七比Uj得分吃多，即Ui勝了；若判斷矩陣N=(%)n刈滿足：nn當UiUj,UjAUk時，有UiUk,則稱判斷矩陣叫n=N具有一致性。注意：UiUj,UjUk,而UkUi在此并不罕見，即甲勝乙、乙勝

18、丙，而丙勝甲的連環(huán)套是常有的。一致性矩陣的含意是：全部比賽未出現(xiàn)“連環(huán)套”的情況，允許甲大勝乙，乙大勝丙，而甲僅僅小勝內的情況出現(xiàn)。此時重量模型的一致性不被滿足，但是球賽的一致性卻可以被滿足，故球賽型比重量模型的兩兩比較判斷矩陣的一致性要求要低很多。nn1Uj的總得分fi=%,顯然工 fj=1n(n1)。令j1i12T2nWc=(w：,w：2,，wUn),W：=Z%n(n-1)jw稱Wc為在得分準則下相對權向量。以上討論可由下表給出：準則cU1U2UnWcU111專cWU1U2-匕1匕23*cWn2-Un匕匕2%cWnnn對(與n茹逐行檢驗就可知是否具有一致性。由于兩兩比較測度判斷矩陣)海的一

19、致性是UiUj；兩兩比較比例標度判斷矩陣nn匕。晨的一致性要求ajajk=aik,顯然在AHP的判斷矩陣的一致性要求高，通常的判斷矩陣的一致性難以滿足；而AHM的判斷矩陣的一致性要求很低，只要甲比乙強、乙比丙強，則甲比丙強，至于強多少沒有具體要求，所以一致性要求低，在AHP中一致性不被滿足時，對應到AHM時一致性卻經?？梢员粷M足，并且一致性可從(5)1n刈自身中觀察檢驗。注：比賽模型有兩類：一類如田徑、游泳、跳水、體操等，運動員的成績可以單獨測量出來；另一類如擊劍、拳擊、球賽，只有通過兩隊比賽才能定出來。球賽模型反映了后一類比賽。AHM中的比較判斷矩陣N=(Nj)通常由AHP中的比較判斷矩陣A

20、=(aj)中導出:轉模公式為：-Jji定，如B=2如上右式。從(%)中直接檢驗一致性，當一致性成立時就可以應用AHM,可用來按分量大小對Ui排序；綜合得分率最高者認為名次在前。事實上，當判斷矩陣N不滿足一致性時，仍然可以計算各隊的得分率，并按得分率對各隊排序也是可以的，故一致性檢驗是非本質的。ij-j11aijk10.50aijaijaij1k二1=12k2k+11=2k10.50，相當于兩隊比賽，一隊勝得1分,aaijajaijaij_1k=1i=j=1i=j另一隊敗得0分；當P取AHM層次決策例仍用“AHP”的例子， 某鬧市區(qū)一商場附近交通擁擠。 目標G:為改善該街區(qū)交通環(huán)境。 有三種方案

21、可供選擇：A:修天橋或修高架橋；A2：修地道；A3：商場搬遷。選擇方案的準則有5個:Ci:通車能力；C2:方便市民；C3:改造費用；C4:安全性；c5:市容美觀。兩兩比較的比例標度判斷矩陣如前。問題：選擇哪種方案？解：1、建立遞階層次結構:最高層：目標層G:改變交通環(huán)境2、單一準則下的相對權向量準則CU1U2UnE(C)wU111專席nzi=12njn(n-1)j3U2m21a匕2+3nz匕i3a2nZ2jn(n-1jaUn，1%RnnJniiT2n工%n(n-1)j3比如計算準則C2得C2A1AA3Sw(C2)A100.8570.9091.7660.5887A20.14300.80.9430

22、.3143A30.0910.200.2910.0970轉換公式:2k2k+11ii_jij-2k+10.50aij=ka.ajaij=1i=ja。二 1i=j同理得準則G,c1,c2,c3,c4,C5下排序權重，上述比較矩陣顯然滿足一致性條G通車G方便C2費用C3C4巾谷C5Gw通車G00.8570.9090.8570.9090.3530方便C20.14300.8570.50.8570.2360費用C30.0910.14300.1430.8570.1230C40.1430.50.85700.8570.2360巾谷C50.0910.1430.1430.14300.0520通車能力C1A1A2A3

23、C1w方便C2A1AA3C2w天橋A00.50.9090.47天橋A00.8570.9090.589地道A20.500.9090.47地道A0.14300.80.314搬遷A0.0910.09100.06搬遷A30.0910.200.097費用C3A1A2A3C3wC4AAAC4w天橋A100.8890.9330.607天橋A00.20.1430.114地道A20.11100.8890.333地道A0.800.50.433搬遷A0.0670.11100.060搬遷A0.8570.500.453巾谷C5A1AAC5w天橋A100.20.1430.114地道A20.800.50.433搬遷A30.

24、8570.500.4533、計算各方案對目標的合成權重WGA=(w2,WC5)WG即：0.3530,0521由此知，方案Ai的權重最大，故決策Ai,此結論與文獻1中用AHP所得結論相同。結論：層次分析AHP,與層次分析模型AHM是兩種不同模型，AHP基于重量模型，AHM基于球賽模型，本質區(qū)別在于a.=1,而匕=0,a。是正整數或其倒數，而可在0,1上取連續(xù)數匕=1-。，但是應用上，兩兩比較確定匕較困難，而用1C比例標0.470,5890.6070.1140.114、0.236WGA0.470,3140.3330.4330.4330.1239.060,0970.060,4530.4530.236

25、04120.4060,182,AiA2A3Wn-AWn二B一fn度確止aj直觀且易操作，故兩兩比較測度看常從兩兩比較標度中轉換得來。二者最本質判別是：AHP用特征根法求導出排序向量，而特征根法要求必須對(aij)n作一致性檢驗：aijajk=aik嚴格滿足一致性條件，幾乎是不可能的，所以，只是近似滿足，認為當C.R.Uj,UjAUk時，就有Ui即可。從本質上講，不進行一致性檢驗，由得分率仍然給出Ui,U2,，Un在準則C下的一種排序。且運算簡單，僅用加乘，故是一種簡單的決策方法。關于一致性檢驗：AHP中，一致性檢驗；AHM,本質上沒有一致性檢驗的條件限制。附錄：關于特征方程的補充設兩兩比較相對重量的精確測度為:wvv2vv2vv2vvnvWnW2WnWnWn則特征方程|A-距|=0,有一重實根九=n 及nT重0根。證明：W2WWL.W2W2-/uW2WiWnW2WnW2-WLW2W2-/ljW2WnWWnW2Wi1WnW2W(-)fn4()WnWnW2-fnJ=2X-2七JWnn-1n-1.fn2-2fnm-”,n=0故人二n為一重特征根，九=0為nT 重特征根。皿皿.W1皿W2Wn0-九000*一九0-0-WW2f2-=WnWn四一=（九_12-1=N-2k證畢!n1=fn=n一2一叫