《2012高考數(shù)學(xué) 沖刺必考專題解析 數(shù)學(xué)應(yīng)用題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2012高考數(shù)學(xué) 沖刺必考專題解析 數(shù)學(xué)應(yīng)用題（12頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、數(shù)學(xué)應(yīng)用性問(wèn)題怎么解數(shù)學(xué)應(yīng)用性問(wèn)題是歷年高考命題的主要題型之一, 也是考生失分較多的一種題型. 高考中一般命制一道解答題和兩道選擇填空題.解答這類問(wèn)題的要害是深刻理解題意,學(xué)會(huì)文字語(yǔ)言向數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言的翻譯轉(zhuǎn)化,這就需要建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型,這當(dāng)中,函數(shù),數(shù)列,不等式，排列組合是較為常見(jiàn)的模型,而三角,立幾,解幾等模型也應(yīng)在復(fù)課時(shí)引起重視.高中數(shù)學(xué)下載平臺(tái) ：數(shù)學(xué)1618 （） 為您分享例1某校有教職員工150人，為了豐富教工的課余生活，每天定時(shí)開(kāi)放健身房和娛樂(lè)室。據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，每次去健身房的人有10%下次去娛樂(lè)室，而在娛樂(lè)室的人有20%下次去健身房.請(qǐng)問(wèn)，隨著時(shí)間的推移，去健身房的人數(shù)能否趨于穩(wěn)

2、定？講解: 引入字母,轉(zhuǎn)化為遞歸數(shù)列模型.設(shè)第n次去健身房的人數(shù)為an，去娛樂(lè)室的人數(shù)為bn，則.，于是即.故隨著時(shí)間的推移，去健身房的人數(shù)穩(wěn)定在100人左右.上述解法中提煉的模型, 使我們聯(lián)想到了課本典型習(xí)題（代數(shù)下冊(cè)P.132第34題）已知數(shù)列的項(xiàng)滿足其中，證明這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是有趣的是, 用此模型可以解決許多實(shí)際應(yīng)用題, 特別, 2002年全國(guó)高考解答題中的應(yīng)用題(下文例9)就屬此類模型.例2某人上午7時(shí)乘摩托艇以勻速V千米/小時(shí)（4V20）從A港出發(fā)前往50千米處的B港，然后乘汽車以勻速W千米/小時(shí)（30W100）自B港向300千米處的C市駛?cè)?，在同一天?6時(shí)至21時(shí)到達(dá)C市, 設(shè)

3、汽車、摩托艇所需的時(shí)間分別是x小時(shí)、y小時(shí)，若所需經(jīng)費(fèi)元，那么V、W分別為多少時(shí)，所需經(jīng)費(fèi)最少？并求出這時(shí)所花的經(jīng)費(fèi).戰(zhàn)略合作伙伴：有機(jī)蔬菜專賣網(wǎng)：http:/www.like-講解: 題中已知了字母, 只需要建立不等式和函數(shù)模型進(jìn)行求解.由于又則z最大時(shí)P最小.作出可行域，可知過(guò)點(diǎn)（10，4）時(shí), z有最大值38，P有最小值93，這時(shí)V=12.5，W=30.視這是整體思維的具體體現(xiàn), 當(dāng)中的換元法是數(shù)學(xué)解題的常用方法.例3 某鐵路指揮部接到預(yù)報(bào)，24小時(shí)后將有一場(chǎng)超歷史記錄的大暴雨，為確保萬(wàn)無(wú)一失，指揮部決定在24小時(shí)內(nèi)筑一道歸時(shí)堤壩以防山洪淹沒(méi)正在緊張施工的遂道工程。經(jīng)測(cè)算，其工程量除現(xiàn)有

4、施工人員連續(xù)奮戰(zhàn)外，還需要20輛翻斗車同時(shí)作業(yè)24小時(shí)。但是，除了有一輛車可以立即投入施工外，其余車輛需要從各處緊急抽調(diào)，每隔20分鐘有一輛車到達(dá)并投入施工，而指揮部最多可組織25輛車。問(wèn)24小時(shí)內(nèi)能否完成防洪堤壩工程？并說(shuō)明理由.講解: 引入字母, 構(gòu)建等差數(shù)列和不等式模型.由20輛車同時(shí)工作24小時(shí)可完成全部工程可知，每輛車，每小時(shí)的工作效率為，設(shè)從第一輛車投入施工算起，各車的工作時(shí)間為a1，a2，, a25小時(shí)，依題意它們組成公差（小時(shí)）的等差數(shù)列，且，化簡(jiǎn)可得. 解得.可見(jiàn)a1的工作時(shí)間可以滿足要求，即工程可以在24小時(shí)內(nèi)完成.對(duì)照此題與2002年全國(guó)高考文科數(shù)學(xué)解答題中的應(yīng)用題, 你

5、一定會(huì)感覺(jué)二者的解法是大同小異的. 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就需要這種將舊模式中的方法遷移為解答新題的有用工具, 這要求你不斷的聯(lián)想, 力求尋找恰當(dāng)?shù)慕忸}方案.例4 某學(xué)校為了教職工的住房問(wèn)題，計(jì)劃征用一塊土地蓋一幢總建筑面積為A(m2)的宿舍樓.已知土地的征用費(fèi)為2388元/m2，且每層的建筑面積相同，土地的征用面積為第一層的2.5倍.經(jīng)工程技術(shù)人員核算，第一、二層的建筑費(fèi)用相同都為445元/m2，以后每增高一層，其建筑費(fèi)用就增加30元/m2.試設(shè)計(jì)這幢宿舍樓的樓高層數(shù)，使總費(fèi)用最少，并求出其最少費(fèi)用.（總費(fèi)用為建筑費(fèi)用和征地費(fèi)用之和）.講解: 想想看, 需要引入哪些字母? 怎樣建構(gòu)數(shù)學(xué)模型?設(shè)樓高為n層，

6、總費(fèi)用為y元，則征地面積為，征地費(fèi)用為元，樓層建筑費(fèi)用為445+445+（445+30）+（445+302）+445+30（n2）元，從而（元）當(dāng)且僅當(dāng) , n=20（層）時(shí)，總費(fèi)用y最少.故當(dāng)這幢宿舍樓的樓高層數(shù)為20層時(shí), 最少總費(fèi)用為1000A元.實(shí)際應(yīng)用題的數(shù)列模型是近兩年高考命題的熱門(mén)話題, 涉及到等差數(shù)列, 等比數(shù)列, 遞歸數(shù)列等知識(shí)點(diǎn), 化歸轉(zhuǎn)化是解答的通性同法.例5 在一很大的湖岸邊（可視湖岸為直線）停放著一只小船，由于纜繩突然斷開(kāi)，小船被風(fēng)刮跑，其方向與湖岸成15角，速度為2.5km/h，同時(shí)岸邊有一人,從同一地點(diǎn)開(kāi)始追趕小船，已知他在岸上跑的速度為4km/h，在水中游的速度

7、為2km/h.,問(wèn)此人能否追上小船.若小船速度改變，則小船能被人追上的最大速度是多少？講解: 不妨畫(huà)一個(gè)圖形,將文字語(yǔ)言翻譯為圖形語(yǔ)言, 進(jìn)而想法建立數(shù)學(xué)模型.設(shè)船速為v，顯然時(shí)人是不可能追上小船，當(dāng)km/h時(shí)，人不必在岸上跑，而只要立即從同一地點(diǎn)直接下水就可以追上小船，因此只要考慮的情況，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追趕，當(dāng)人沿岸跑的軌跡和人游水的軌跡以及船在水中漂流的軌跡組成一個(gè)封閉的三角形時(shí)，人才能追上小船。設(shè)船速為v，人追上船所用時(shí)間OABvt2(1k)t4kt15為t，人在岸上跑的時(shí)間為，則人在水中游的時(shí)間為，人要追上小船，則人船運(yùn)動(dòng)的路線滿足如圖

8、所示的三角形.由余弦是理得即整理得.要使上式在（0，1）范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)解，則有且解得. 故當(dāng)船速在內(nèi)時(shí)，人船運(yùn)動(dòng)路線可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度為，由此可見(jiàn)當(dāng)船速為2.5km/h時(shí), 人可以追上小船.涉及解答三角形的實(shí)際應(yīng)用題是近年高考命題的一個(gè)冷點(diǎn), 復(fù)課時(shí)值得關(guān)注.例6 一根水平放置的長(zhǎng)方體形枕木的安全負(fù)荷與它的寬度a成正比，與它的厚度d的平方成正比，與它的長(zhǎng)度l的平方成反比. （1）將此枕木翻轉(zhuǎn)90（即寬度變?yōu)榱撕穸龋?，枕木的安全?fù)荷變大嗎？為什么？ （2）現(xiàn)有一根橫斷面為半圓（半圓的半徑為R）的木材，用它來(lái)截取成長(zhǎng)方形的枕木，其長(zhǎng)度即為枕木規(guī)定的長(zhǎng)度，問(wèn)如何截取，

9、可使安全負(fù)荷最大？adl 講解:（1）安全負(fù)荷為正常數(shù)） 翻轉(zhuǎn)，安全負(fù)荷變大.4分當(dāng) ，安全負(fù)荷變小.（2）如圖，設(shè)截取的寬為a，高為d，則.枕木長(zhǎng)度不變，u=ad2最大時(shí)，安全負(fù)荷最大.，當(dāng)且僅當(dāng)，即取，取時(shí)，u最大， 即安全負(fù)荷最大.三次函數(shù)最值問(wèn)題一般可用三元均值不等式求解, 如果學(xué)過(guò)導(dǎo)數(shù)知識(shí), 其解法就更為方便, 省去了應(yīng)用均值不等式時(shí)配湊“定和”或“定積”的技巧性.例7 已知甲、乙、丙三種食物的維生素A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三種食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物內(nèi)至少含有56000單位維生素A和63000單位維生素B.甲乙丙維生素A（單位/

10、千克）600700400維生素B（單位/千克）800400500成本（元/千克）1194（1）用x，y表示混合食物成本c元；（2）確定x，y，z的值，使成本最低.講解:（1）依題意得 .（2）由 , 得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立., 當(dāng)x=50千克，y=20千克，z=30千克時(shí)，混合物成本最低為850元.線性規(guī)劃是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容, 涉及此類問(wèn)題的求解還可利用圖解法, 試試看.例8 隨著機(jī)構(gòu)改革工作的深入進(jìn)行，各單位要減員增效，有一家公司現(xiàn)有職員人（140420，且為偶數(shù)），每人每年可創(chuàng)利萬(wàn)元.據(jù)評(píng)估，在經(jīng)營(yíng)條件不變的前提下，每裁員1人，則留崗職員每人每年多創(chuàng)利萬(wàn)元，但公司需付下崗職員每人每年萬(wàn)元

11、的生活費(fèi)，并且該公司正常運(yùn)轉(zhuǎn)所需人數(shù)不得小于現(xiàn)有職員的，為獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益，該公司應(yīng)裁員多少人？講解 設(shè)裁員人，可獲得的經(jīng)濟(jì)效益為萬(wàn)元,則=依題意 0.又140420, 70210.(1)當(dāng)0,即70,即140210時(shí)， ,取到最大值; 綜上所述，當(dāng)70140時(shí)，應(yīng)裁員人；當(dāng)140210時(shí)，應(yīng)裁員人.在多字母的數(shù)學(xué)問(wèn)題當(dāng)中，分類求解時(shí)需要搞清：為什么分類？對(duì)誰(shuí)分類？如何分類？例9 某城市2001年末汽車保有量為30萬(wàn)輛，預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同.為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過(guò)60萬(wàn)輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過(guò)多少輛?講解設(shè)2001年末

12、汽車保有量為萬(wàn)輛，以后各年末汽車保有量依次為萬(wàn)輛，萬(wàn)輛，每年新增汽車萬(wàn)輛，則，所以，當(dāng)時(shí)，兩式相減得：（1）顯然，若，則，即，此時(shí)（2）若，則數(shù)列為以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，.（i）若，則對(duì)于任意正整數(shù)，均有，所以，此時(shí)，（ii）當(dāng)時(shí)，則對(duì)于任意正整數(shù)，均有，所以，由，得，要使對(duì)于任意正整數(shù)，均有恒成立，即對(duì)于任意正整數(shù)恒成立，解這個(gè)關(guān)于x的一元一次不等式 , 得,上式恒成立的條件為：，由于關(guān)于的函數(shù)單調(diào)遞減，所以，.本題是2002年全國(guó)高考題，上面的解法不同于參考答案，其關(guān)鍵是化歸為含參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題，其分離變量后又轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.例10 為促進(jìn)個(gè)人住房商品化的進(jìn)程，我

13、國(guó)1999年元月公布了個(gè)人住房公積金貸款利率和商業(yè)性貸款利率如下：貸款期(年數(shù))公積金貸款月利率()商業(yè)性貸款月利率()11121314154.3654.4554.5454.6354.7255.0255.0255.0255.0255.025 汪先生家要購(gòu)買(mǎi)一套商品房，計(jì)劃貸款25萬(wàn)元，其中公積金貸款10萬(wàn)元，分十二年還清；商業(yè)貸款15萬(wàn)元，分十五年還清每種貸款分別按月等額還款，問(wèn)： (1)汪先生家每月應(yīng)還款多少元? (2)在第十二年底汪先生家還清了公積金貸款，如果他想把余下的商業(yè)貸款也一次性還清；那么他家在這個(gè)月的還款總數(shù)是多少? (參考數(shù)據(jù)：1.0044551441.8966，1.00502

14、51442.0581，1.0050251802.4651)講解 設(shè)月利率為r，每月還款數(shù)為a元，總貸款數(shù)為A元，還款期限為n月第1月末欠款數(shù)A(1r)a第2月末欠款數(shù)A(1r)a(1r)a A(1r)2a (1r)a 第3月末欠款數(shù)A(1r)2a (1r)a(1r)aA(1r)3a (1r)2a(1r)a第n月末欠款數(shù) 得：對(duì)于12年期的10萬(wàn)元貸款，n144，r4.455對(duì)于15年期的15萬(wàn)元貸款，n180，r5.025由此可知，汪先生家前12年每月還款942.371268.222210.59元，后3年每月還款1268.22元(2)至12年末，汪先生家按計(jì)劃還款以后還欠商業(yè)貸款其中A1500

15、00，a1268.22，r5.025X41669.53 再加上當(dāng)月的計(jì)劃還款數(shù)2210.59元，當(dāng)月共還款43880.12元需要提及的是，本題的計(jì)算如果不許用計(jì)算器，就要用到二項(xiàng)展開(kāi)式進(jìn)行估算，這在2002年全國(guó)高考第（12）題中得到考查.例11 醫(yī)學(xué)上為研究傳染病傳播中病毒細(xì)胞的發(fā)展規(guī)律及其預(yù)防，將病毒細(xì)胞注入一只小白鼠體內(nèi)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，經(jīng)檢測(cè)，病毒細(xì)胞的增長(zhǎng)數(shù)與天數(shù)的關(guān)系記錄如下表. 已知該種病毒細(xì)胞在小白鼠體內(nèi)的個(gè)數(shù)超過(guò)108的時(shí)候小白鼠將死亡但注射某種藥物，將可殺死其體內(nèi)該病毒細(xì)胞的98%（1）為了使小白鼠在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中不死亡，第一次最遲應(yīng)在何時(shí)注射該種藥物？（精確到天）（2）第二次最遲應(yīng)在

16、何時(shí)注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命？（精確到天）天數(shù)t病毒細(xì)胞總數(shù)N12345671248163264 已知：lg2=0.3010講解 （1）由題意病毒細(xì)胞關(guān)于時(shí)間n的函數(shù)為, 則由兩邊取對(duì)數(shù)得 n27.5,即第一次最遲應(yīng)在第27天注射該種藥物.（2）由題意注入藥物后小白鼠體內(nèi)剩余的病毒細(xì)胞為,再經(jīng)過(guò)x天后小白鼠體內(nèi)病毒細(xì)胞為,由題意108，兩邊取對(duì)數(shù)得， 故再經(jīng)過(guò)6天必須注射藥物，即第二次應(yīng)在第33天注射藥物本題反映的解題技巧是“兩邊取對(duì)數(shù)”，這對(duì)實(shí)施指數(shù)運(yùn)算是很有效的.例12有一個(gè)受到污染的湖泊，其湖水的容積為V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)正好平衡，且污染物

17、質(zhì)與湖水能很好地混合，用g(t)表示某一時(shí)刻t每立方米湖水所含污染物質(zhì)的克數(shù)，我們稱為在時(shí)刻t時(shí)的湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)，已知目前污染源以每天p克的污染物質(zhì)污染湖水，湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)滿足關(guān)系式g(t)= +g(0)- e(p0),其中，g(0)是湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù).（1）當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時(shí)，求湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)；（2）求證：當(dāng)g(0) 時(shí)，湖泊的污染程度將越來(lái)越嚴(yán)重；（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要經(jīng)過(guò)多少天才能使湖水的污染水平下降到開(kāi)始時(shí)污染水平的5%？講解（1）g(t)為常數(shù), 有g(shù)(0)-=0,g(0)= .(2) 我們易證得0t1t2, 則g(t1

18、)-g(t2)=g(0)- e-g(0)- e=g(0)- e-e=g(0)- ,g(0)0,t1e,g(t1)g(t2).故湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)隨時(shí)間變化而增加，污染越來(lái)越嚴(yán)重.(3)污染停止即P=0，g(t)=g(0)e,設(shè)經(jīng)過(guò)t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g(t)=5% g(0)=e，t= ln20，故需要 ln20天才能使湖水的污染水平下降到開(kāi)始時(shí)污染水平的5%.高考應(yīng)用性問(wèn)題的熱門(mén)話題是增減比率型和方案優(yōu)化型, 另外,估測(cè)計(jì)算型和信息遷移型也時(shí)有出現(xiàn).當(dāng)然,數(shù)學(xué)高考應(yīng)用性問(wèn)題關(guān)注當(dāng)前國(guó)內(nèi)外的政治,經(jīng)濟(jì),文化, 緊扣時(shí)代的主旋律,凸顯了學(xué)科綜合的特色,是歷年高考命題的一道亮麗的風(fēng)景線.內(nèi)容總結(jié)