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1、!1! 微分方程部分 90 # 數(shù)學模型在《一階線性微分方程》教學中的應用實例 北京郵電人學數(shù)學教研室 J ?金扣 教學內容I -階線性微分方程 教學對象：理丁科本科一年級 教學目的：鞏固教學內容并培養(yǎng)建模能力：一階線性微分方程空+ p(x)v = <7(x)的通解 dx 為: # # 使用學時：15分鐘 使用建議：作為課I：例題 例1：跳傘運動員下降的運動規(guī)律 設降落傘從跳傘塔卜?降后，所受空氣陰力與速度成正比，并設降落金離開跳傘塔時『?0 速度為零。求降落傘卜落速度與時間的換數(shù)關系，以及它的極限速度。 解：

2、設降落傘卜降速度為y(r)，由牛頓第二定th F = ma: dv mn =mg - kv # # \dv k + _* = g < dt m [v(0) = 0 把v(0) = 0代入?求得c = _怛 令 fT+8 有 lim v(r) = — “°任 k 可以看出，隨著/的增人，速度?/)接近常數(shù)竺，且不超過竺°即降落傘開始卜降 k k 時是加速運動，以后逐漸接近勻速運動。 例2：乍間通風問題 設 車間體積0 = 10800〃/,開始時空氣屮含有0.12%的CQ,為保證工人健康, 用一臺風斎為v = 15OO/K3/min

3、的鼓風機通入新鮮空氣，它含冇0.04%的CO?。設通 入空氣與原仃空氣混介均勻后以相同的風砒排出，問鼓風機開動10分仲后，車間含Yj CO, 的百分比降到多少？ 解：設時刻f車間中含CO?的百分比為，則時間內車間內CO?的改變磺 Z = CO.的通入吊5 — CO2的排出駅“2 w1 = v * 0.04%Af, w2 = v * x%Ar Aw = Q^x(t + Af)% 一 x(r)%) = QAx% 即 0Ar = vAr(0.04-x) 亦即 竺=上(0.04 - x) Ar Q dx v 令2Vt0,有一 = —(0.04 —x),代入數(shù)值并化簡，得 dt Q

4、 dx 5 1 1 x — < dt 36 180 x(0) = 0.12 解之得 5 X(F)= 0.04+ 0.08/赤 50 x(10) = 0.04+ 0.08^ =0.06 答:io分鐘后車間內CO?的百分比降到0.06%。 注：從上述分析可知：s時，x(t) 0.04 ,即若一直冇鼓風機在換氣，則車 間內的空氣和外界的空氣應該是一樣的。事實上，上述結論是在條件”通入空氣與原仃空 氣混介均勻后”卜得出的。一般來說，乍間死角處的空氣得不到允分的混介，這樣就需耍在 車間內增加空氣攪拌設備。 92 可降階的二階微分方程 北京航空航夭人學瑰光美 本節(jié)課將

5、學習求解卜Hi兩種特殊類型的二階微分方程： ? 的微分方程 ? / = 型的微分方程 一、 實例 例1懸鏈線方程 設有一條質赧均勻、柔軟且不能伸縮的繩索，兩端分別被尚定在兩個不同的位置，它在 重力作用卜處J：平衡狀態(tài).試求繩索在平衡狀態(tài)時所對應的曲線方程. 背景 這是歷史上一個箸名的力學問題，它繪初由詹姆斯?伯努利在1690年提出.在 此Z詢，伽里略曾關注過該問趣.并猜想這條曲線是拋物線，惠更斯曾利用兒何方法證明它 不是拋物線,最后是由約翰?伯努利解決的.萊布尼茲將其命名為懸健線，它在I：程中有廣 泛的應用. 分析住解決微分方程的實際問題中，首先要處模，即建工描述實際問題的微分方

6、程. 這不僅石耍用數(shù)學知識，而H需要用到相關學科的一些基本知識，令時還耍用到實際經驗. 利用微分方程解決實際問題的步驟為： 第一步分析實際問題，根據(jù)它遵循的規(guī)律，建立反映該問題的微分方程，并寫出柑應 的初始條件； 第二步求解微分方程； 第三步根據(jù)所求得的解，分析和解釋相關問題的實際意義，討論某些性質和預測一些 現(xiàn)彖. 解第一步建立模型 如圖1、建'"匕標系.設繩索的垠低點為D,取〉?軸通過點D鉛苴向上,x軸水'卜向右, 且點D到原點O的距離為一定值a @工0待定）.由題意,曲線在點D處的切線斜率為零. 設M（x,y）為繩索上任一點，DM的弧長為$,繩索的線密度為Q,分析點M（xj）的

7、受力情 況則有 T shi = pgs, TcosO = H. 于是tan。二竺. H 將）』=tan 0.s = Jo\/1 + yf2dx代入上式并求導，得 ），"=抑+嚴， （1） 且滿足初始條件：y（o）= ）『（o）= o,其屮a = pg 第二步求解方程 分析 方程（1）是二階方程，我們現(xiàn)在熟悉的是-階方程的求解方法.因此，我們考慮能否將此二階方程化為一階方程從而求解.觀察方程（1）的形式，發(fā)現(xiàn)它只顯含未知函數(shù)的 一階和二階導數(shù)，而沒冇出現(xiàn)自變昴和未知函數(shù).此時，若引進一個新聞數(shù)來表示未知函數(shù) 的一階導數(shù)，則未知函數(shù)的二階導數(shù)就可用新函數(shù)的一階導數(shù)表示. 設y

8、=p（x）,則/=貳是方程⑴化為 / =抑+“,,"（0） = 0. 這是一個變駅可分離的方程 求出p（x）后，再由y二〃（X）可得到方程⑴滿足給定初 始條件的解為： y = a cosh—, a 這就是所求懸鏈線的函數(shù)表達式. 第三步結論分析 當 | x I 很小時，由 cosh- = 1 + —Ua2 + o（x2）知 a 2cr V I 懸鏈線y = ?cosli-近似丁?拋物線y = ? +厶xl a 2cT 宙此看出，伽里略猜想懸鏈線是拋物線是仃實際童義的. 例2核廢料的處理問題 將核廢料裝在密対的圓桶里沉到水深約91 m的海里.問這種處理方法是否安全？

9、 背景材料 安全隱患：（1）圓桶密封性；（2）圓桶破裂 實驗結論：（1）圓桶所受阻力與圓桶的下沉方位無關，與卜?沉速度成正比，比例系數(shù) 20.12; （2）圓桶速度超過12.2 nvs時，圓桶會因碰撞而破裂 所用常數(shù)：圓桶 1ER:VV=239. 156Kg,海水浮力：1025.91kg/m3,圓桶體積：V=0. 208m3. 解第一步建立模型 如圖2,建立坐標系.圓桶所受的力F二W—B—D. 其屮 W 是重力，浮力 B=1025.94XV-213.396, F沉阻力 D=kv=0.12v. 根據(jù)牛頓第二定律F-ma.得 W — B-di空, （ dt dr 且滿足初始

10、條件：y（0）= o,y'（o）= v（0）= o. 第二步求解方程 求解方法. 分析 方程（2）也是二階方程，也只顯含未知函數(shù)的 ?階和二階導數(shù)，因此考慮用例1的 令y=v(x), pm/=此于是方程⑵化為 ,k W-B 心 n v +—v = .『(0) = 0. m m 這是一個一階轡旦￡齊次盈理￡ y = —^—U +牛")- v = ^^0-OjM得方程(2)的解為 (W - B)m k r-? 第三步結論分析 題目需求當y-91m時卩的值，因此可將y-91代入上面的解中求出時間人然后利用 v與f的關系求出v的值.然而，根據(jù)y與/的復雜的西數(shù)關系我們

11、可以看出，己知y值求/ 是非常困難的.J：是，我們返回原方程，看能否直接求得y與v的關系. 第四歩再解方程 分析 觀察在方程(2)中沒仃出現(xiàn)門變死 此時，若引進-個關J：未知函數(shù)的新函數(shù)的來 表示未知因數(shù)的一階導數(shù)，則未知函數(shù)的二階導數(shù)一樣可降為新函數(shù)的一階函數(shù). 令V = v(y),貝忖=w； 丁?是方程⑵可化為 mv v = W - B - kv, v(0) = 0. 這是一個變磧可分離的方程，其解為 mv y='—~ W - B- kv W - B 第五步再分析 我們利用引進另一個變吊潛換求出了y與v的關系，理論上可以求當)-91時v的值, 然而我們同樣注恿到y(tǒng)

12、與v的函數(shù)關系式是很復雜的，所以代入)?值求v的務確值仍卄常困 難.這說明在實際問題中，與教科節(jié)上的例題不同，往往很難得到桔:確值.因此，我們轉向 求滿足精度耍求的近似值. 通過近似方法，如上冊學習過的牛頓法，可求tBv-13.64/n/5. 因為13.64m/s〉12.2nVs,所以圓桶可能發(fā)生破裂. 結論這種處理核廢料的方法不安全. 二、解法 i/ = /uy) 特點：右端不含)，. 解法：變量替換 設y = “(X),則y"=卩‘,于是原方程/ = /u,/)化為一階方程p' = fa,p). 先求出卩⑴，然后求y. 2-/ = /(y,y) 特點：右端不顯禽ri變nt x. 解法：變鼠替換 設 y = P(y),則 y"=羋牛=pp； ay dx 于是原方程y" = f (y,y")化為一階方程pp' = f(x,p). 先求出P(y),然后求y. 總結：我們學習了通過變屆替換將兩類特殊的一階方程化為 邛介方程的求解方沙，在斛決實 際問題時還需靈活應用，同時領會變彊替換在求解微分方程中的重耍作用. 97