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湖南省益陽市資陽區(qū)迎豐橋鎮(zhèn)九年級數(shù)學(xué)上冊 第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系課件 (新版)新人教版

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1、21.2.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系1 1、已知方程已知方程x2 2-4x-7=0-4x-7=0的根為的根為x1 1,x,x2 2,則,則x x1 1+x+x2 2= = , x, x1 1x2 2= = ; ;2 2、已知方程、已知方程x2 2+3x-5=0+3x-5=0的兩根為的兩根為x1 1,x,x2 2,則,則x x1 1+x+x2 2= = , , x x1 1x2 2= = . .思考:一般的一元二次方程思考:一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中,中,二次項二次項系數(shù)系數(shù)a未必是未必是1,它的兩根的和、積與系數(shù)又有怎樣,它的兩根的和、積與系數(shù)又有怎樣的關(guān)系呢?的關(guān)系呢?已

2、知方程已知方程ax2+bx+c=0(a0),當,當b2-4ac0時,兩根分時,兩根分別為別為x1= ,x2= 。x1+x2= ,x1x2= .242bbaca 242bbaca 22442222bbacbbacbbaaaa 222224422()(4)4bbacbbacaabbaccaa 因此,方程的兩個根因此,方程的兩個根x1,x2和系數(shù)和系數(shù)a,b,c有如有如下關(guān)系:下關(guān)系:bcxxx xaa 1212,. 例例 根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,求下列方程兩根求下列方程兩根x1,x2的和與積的和與積. (1) x2-6x-15=0 (2) 3x2+7x-9=

3、0 (3) 5x-1=4x2 解:解:(1)x1+x2=-(-6)=6, x1x2=-15121279(2),333xxx x xxxxx x 21212(3)4510551,.444方方程程化化為為,不解方程,求下列方程兩根的和與積不解方程,求下列方程兩根的和與積. .x2-3x=15; 5x2-1=4x2+x解:解:x1+x2=3 x1x2=-15解:化簡得解:化簡得 x2-x-1=0 x1+x2=1 x1x2=-11. 關(guān)于關(guān)于x的方程的方程x2+px+q=0的根為的根為x1=1+ ,x2=1- ,則則p= ,q= .2. 已知方程已知方程5x2+kx6=0的一根是的一根是2,則另一根,

4、則另一根是是 , k .2-2-1-735 23. 求下列方程的兩根求下列方程的兩根x1,x2的和與積:的和與積: (1)x23x+2=0; (2)x2+x=5x+6解:解:x1+x2=3 x1x2=2解:化簡得解:化簡得 x2-4x-6=0 x1+x2=4 x1x2=-64. 已知兩個數(shù)的和為已知兩個數(shù)的和為8,積為,積為9.75,求這兩個數(shù),求這兩個數(shù).解:設(shè)其中一個數(shù)為解:設(shè)其中一個數(shù)為x,則另一個數(shù)為則另一個數(shù)為(8-x). 根據(jù)題意,得根據(jù)題意,得x(8-x)=9.75,整理,整理, 得得x2-8x+9.75=0. 解得解得x1=6.5, x2=1.5. 當當x=6.5時,時,8-x

5、=1.5;當當x=1.5時,時,8-x=6.5. 這兩個數(shù)是這兩個數(shù)是6.5和和1.5.5. x1,x2是方程是方程x25x7=0的兩根,不解方的兩根,不解方程求下列各式的值:程求下列各式的值: (1) ;(;(2) .1211xx 2212xx 解:解:x1,x2是方程是方程x2-5x-7=0的兩根的兩根. 則則x1+x2=5,x1x2=-7.1212121155(1)77xxxxx x 221222112212212122(2)22()252 ( 7)39xxxx xxx xxxx x 6. 已知關(guān)于已知關(guān)于x的方程的方程x2-(2m+3)x+m2=0的兩根之和等于兩根之的兩根之和等于兩根

6、之 積,求積,求m的值的值.解:設(shè)方程解:設(shè)方程x2-(2m+3)x+m2=0的兩根為的兩根為x1,x2. x1+x2=2m+3,x1x2=m2. 根據(jù)題意得根據(jù)題意得m2=2m+3,解得,解得m1=3,m2=-1. 當當m=3時,原方程為時,原方程為x2-9x+9=0,b2-4ac=450.方程有實數(shù)根方程有實數(shù)根. 當當m=-1時,原方程為時,原方程為x2-x+1=0,b2-4ac=-30.方程無實數(shù)根,此方程無實數(shù)根,此m值舍去值舍去. m的值為的值為3.7、已知方程、已知方程3x219x+m=0的一個根是的一個根是1,求它的另一個根及,求它的另一個根及m的值。的值。8、設(shè)、設(shè)x1,x2

7、是方程是方程2x24x3=0的兩個根,求的兩個根,求(x1+1)(x2+1)的值。的值。解:設(shè)方程的另一個根為解:設(shè)方程的另一個根為x1, m= 3x1 = 16 解:解: 由根與系數(shù)的關(guān)系,得由根與系數(shù)的關(guān)系,得則則x1+1= ,193 x1= ,163又又x11= ,3mx1+x2= - 2 , x1 x2=32 (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( )+1=32若方程若方程ax2+bx+c=0(a0)的兩個根分別為的兩個根分別為x1,x2,則,則若方程若方程x2+px+q=0有兩個實根有兩個實根x1,x2,則則x1+x2=-p, x1x2=q.bcxxx xaa 1212,.

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