《數(shù)學(xué)第六章 數(shù)列 第二節(jié) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 文》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué)第六章 數(shù)列 第二節(jié) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 文（33頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和總綱目錄教材研讀1.等差數(shù)列的定義考點(diǎn)突破2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式3.等差中項(xiàng)考點(diǎn)二等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用考點(diǎn)二等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用考點(diǎn)一等差數(shù)列的基本運(yùn)算4.等差數(shù)列的常用性質(zhì)5.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式6.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系7.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值考點(diǎn)三等差數(shù)列的判定與證明考點(diǎn)三等差數(shù)列的判定與證明考點(diǎn)四等差數(shù)列的前考點(diǎn)四等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及其最值項(xiàng)和及其最值1.等差數(shù)列的定義等差數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,通常用字母d表示,定義的表達(dá)式為an+1-a

2、n=d(nN*).教材研讀教材研讀2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=a1+(n-1)d.3.等差中項(xiàng)等差中項(xiàng)如果A=,那么A叫做a與b的等差中項(xiàng).2ab4.等差數(shù)列的常用性質(zhì)等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣:an=am+(n-m)d(n,mN*).(2)若an是等差數(shù)列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),則ak+al=am+an.(3)若an是等差數(shù)列,公差為d,則a2n也是等差數(shù)列,公差為2d.(4)若an,bn(項(xiàng)數(shù)相同)是等差數(shù)列,則pan+qbn(p,q是常數(shù))仍是等差數(shù)列.(5)若an是等差數(shù)列,則ak,ak+m,ak+2m,(k,mN

3、*)組成公差為md的等差數(shù)列.5.等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=或Sn=na1+.1()2nn aa(1)2n nd6.等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系Sn=n2+n.數(shù)列an是等差數(shù)列Sn=An2+Bn(A、B為常數(shù)).2d12da7.等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值項(xiàng)和的最值在等差數(shù)列an中,若a10,d0,則Sn存在最大值;若a10,則Sn存在最小值.與等差數(shù)列有關(guān)的結(jié)論與等差數(shù)列有關(guān)的結(jié)論(1)an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d(n,mN*),p+q=m+nap+aq=am+an(p、q、m、nN*

4、).(2)ap=q,aq=p(pq)ap+q=0;Sm+n=Sm+Sn+mnd.(3)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列.(4)=n+是關(guān)于n的一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù),數(shù)列也是等差數(shù)列.(5)Sn=.nSn2d12danSn1()2nn aa21()2nn aa32()2nn aa(6)若非零等差數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2m,公差為d,奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇,偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶,則所有項(xiàng)之和S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md,=.(7)若非零等差數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2m-1,奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇,偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶,則所有項(xiàng)之和S2m-1=(2m-1)am,S奇=mam,S偶=(m

5、-1)am,S奇-S偶=am,=.(8)若Sm=n,Sn=m(mn),則Sm+n=-(m+n).SS偶奇1mmaaSS奇偶1mm1.在等差數(shù)列an中,若a2=4,a4=2,則a6=()A.-1B.0C.1D.6答案答案B設(shè)數(shù)列an的公差為d,由a4=a2+2d,a2=4,a4=2,得2=4+2d,d=-1,a6=a4+2d=0.故選B.B2.等差數(shù)列an中,a1+a5=10,a4=7,則數(shù)列an的公差為()A.1B.2C.3D.4答案答案B設(shè)公差為d.a1+a5=2a3=10,a3=5,又a4=7,d=2.故選B.3.(2016北京東城期中)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知a3=3,a10=

6、10,則S7的值是()A.30B.29C.28D.27答案答案Ca3=3,a10=10,S7=7a1+d=28.1123,910.adad11,1.ad762BC4.已知等差數(shù)列an滿足a1+a2+a3+a101=0,則有()A.a1+a1010B.a2+a1000C.a3+a99=0D.a1=51答案答案CS101=0,S101=0,a1+a101=a2+a100=a3+a99=0.故選C.1101101()2aaC5.(2017北京朝陽(yáng)期末)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=2,S2=a3,則a2=,S10=.答案答案4;110解析解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.S2=a3,2a1+

7、d=a1+2d,又a1=2,d=2.a2=4,S10=102+2=110.10 926.(2015北京海淀一模)已知an為等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和.若a3=-6,S1=S5,則公差d=,Sn的最小值為.答案答案12;-54解析解析S1=S5,a2+a3+a4+a5=0,a3+a4=0.a3=-6,a4=6,d=a4-a3=12,a1=a3-2d=-30.Sn=-30n+12=6n2-36n=6(n-3)2-54.故當(dāng)n=3時(shí),Sn取最小值-54.(1)2n n典例典例1(2017北京海淀一模)已知等差數(shù)列an滿足a1+a2=6,a2+a3=10.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列an+

8、an+1的前n項(xiàng)和.考點(diǎn)一等差數(shù)列的基本運(yùn)算考點(diǎn)一等差數(shù)列的基本運(yùn)算考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破解析解析(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d.因?yàn)閍1+a2=6,a2+a3=10,所以a3-a1=4,所以2d=4,d=2.又a1+a1+d=6,所以a1=2,所以an=a1+(n-1)d=2n.(2)設(shè)bn=an+an+1,所以b1=6,bn=2n+2(n+1)=4n+2,又bn+1-bn=4(n+1)+2-4n-2=4,所以bn是首項(xiàng)為6,公差為4的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和Sn=2n2+4n.故數(shù)列an+an+1的前n項(xiàng)和為2n2+4n.1()2nn bb(642)2nn方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)

9、和公式共涉及五個(gè)量a1,an,d,n,Sn,知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè),體現(xiàn)了用方程的思想來(lái)解決問(wèn)題.(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中可起到變量代換作用,a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量,用它們表示已知和未知是常用解題方法.1-1(2015北京西城一模)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a3=2,S5=a7.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an及Sn;(2)若a4,a4+m,a4+n(m,nN*)成等比數(shù)列,求n的最小值.解析解析(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.由題意,得解得a1=-2,d=2,所以an=-2+(n-1)2=2n-4,11122,155 46 ,2adadad Sn=-2

10、n+n(n-1)2=n2-3n.(2)因?yàn)閍4,a4+m,a4+n成等比數(shù)列,所以=a4a4+n,所以-2+(4+m-1)22=4-2+(4+n-1)2,所以(2m+4)2=4(2n+4),1224 ma所以n=(m+2)2-2.12令f(x)=(x+2)2-2,易知f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,因?yàn)閒(1)=,f(2)=6,m,nN*,所以當(dāng)m=2時(shí),n取最小值6.1252典例典例2(1)在等差數(shù)列an中,a3+a9=27-a6,Sn表示數(shù)列an的前n項(xiàng)和,則S11=()A.18B.99C.198D.297(2)已知等差數(shù)列an的公差為2,項(xiàng)數(shù)是偶數(shù),奇數(shù)項(xiàng)之和為15,偶數(shù)項(xiàng)之和為25,則

11、這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為()A.10B.20C.30D.40(3)等差數(shù)列an的前m項(xiàng)和為30,前3m項(xiàng)和為90,則它的前2m項(xiàng)和為.考點(diǎn)二等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用考點(diǎn)二等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用答案答案(1)B(2)A(3)60解析解析(1)因?yàn)閍3+a9=27-a6,2a6=a3+a9,所以3a6=27,所以a6=9,所以S11=(a1+a11)=11a6=99.(2)設(shè)這個(gè)數(shù)列有2n項(xiàng),由等差數(shù)列的性質(zhì)可知:偶數(shù)項(xiàng)之和減去奇數(shù)項(xiàng)之和等于nd,即25-15=2n,故2n=10,即數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為10.(3)由Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數(shù)列,可得2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m,即S2m

12、=60.112333mmSS3 30903易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示一般地,運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)可以化繁為簡(jiǎn)、優(yōu)化解題過(guò)程.但要注意性質(zhì)運(yùn)用的條件,如m+n=p+q(m,n,p,qN*),則am+an=ap+aq,該性質(zhì)的運(yùn)用條件是序號(hào)之和相等.2-1(2014北京西城期末)若等差數(shù)列an滿足a1=,a4+a6=5,則公差d=;a2+a4+a6+a20=.12答案答案;5512解析解析由題意得2a1+8d=5,又a1=,故d=,則an=n,所以a2=1,a4=2,則a4-a2=1,故a2+a4+a6+a20=10+=55.12121210 922-2已知an為等差數(shù)列,若a1+a2+a3=5,a7+a8+

13、a9=10,則a19+a20+a21=.答案答案20解析解析由等差數(shù)列的性質(zhì),可知S3,S6-S3,S9-S6,S21-S18成等差數(shù)列,設(shè)此數(shù)列的公差為D.所以5+2D=10,所以D=.所以a19+a20+a21=S21-S18=5+6D=5+15=20.52202-3在等差數(shù)列an中,a1=-2012,其前n項(xiàng)和為Sn,若-=2,則S2012的值等于.1212S1010S答案答案-2012-2012解析解析由Sn=An2+Bn(A、B為常數(shù)),知=An+B,數(shù)列是等差數(shù)列,又-=2,的公差為1,又其首項(xiàng)為=-2012,nSnnSn1212S1010SnSn11S=-2012+(2012-1

14、)1=-1,故S2012=-2012.20122012S典例典例3(2017北京朝陽(yáng)二模)已知數(shù)列an是首項(xiàng)a1=,公比q=的等比數(shù)列.設(shè)bn=2loan-1(nN*).(1)求證:數(shù)列bn為等差數(shù)列;(2)設(shè)cn=an+b2n,求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.131313g考點(diǎn)三等差數(shù)列的判定與證明考點(diǎn)三等差數(shù)列的判定與證明典例典例3(2017北京朝陽(yáng)二模)已知數(shù)列an是首項(xiàng)a1=,公比q=的等比數(shù)列.設(shè)bn=2loan-1(nN*).(1)求證:數(shù)列bn為等差數(shù)列;(2)設(shè)cn=an+b2n,求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.131313g考點(diǎn)三等差數(shù)列的判定與證明考點(diǎn)三等差數(shù)列的判定與證明解析解析(1

15、)證明:由已知得:an=,則bn=2lo-1=2n-1(nN*).13113n13n13g13n則bn+1-bn=2(n+1)-1-2n+1=2.所以數(shù)列bn是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列.(2)由(1)知,bn=2n-1,則b2n=4n-1,則數(shù)列b2n是以3為首項(xiàng),4為公差的等差數(shù)列.cn=an+b2n=+4n-1.則Tn=+3+7+(4n-1),即Tn=+,即Tn=2n2+n+-(nN*).13n131913n11133113n(341)2nn121213n方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)證明一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列的基本方法有兩種:一是定義法,證明an-an-1=d(n2,d為常數(shù));二是等差中項(xiàng)法,證明

16、2an+1=an+an+2.若證明一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列,則可以舉反例,也可以用反證法.3-1若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足an+2SnSn-1=0(n2),a1=.(1)求證:是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.121nS解析解析(1)證明:當(dāng)n2時(shí),由an+2SnSn-1=0,得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,又易知Sn0,所以-=2,又=2,故是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列.(2)由(1)可得=2n,Sn=.當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=-=-.當(dāng)n=1時(shí),a1=不適合上式.故an=1nS11nS11S11a1nS1nS12n12n12(1)n12 (1)nnn n 12 (1

17、)n n 121,1,21,2.2 (1)nnn n典例典例4(2017北京豐臺(tái)一模)已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,a11=8,設(shè)bn=log2an,且b4=17.(1)求證:數(shù)列bn是以-2為公差的等差數(shù)列;(2)設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn,求Sn的最大值.考點(diǎn)四考點(diǎn)四等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及其最值項(xiàng)和及其最值解析解析(1)證明:設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,則bn+1-bn=log2an+1-log2an=log2=log2q,因此數(shù)列bn是等差數(shù)列.又b11=log2a11=3,b4=17,所以等差數(shù)列bn的公差d=-2,所以數(shù)列bn是以-2為公差的等差數(shù)列.(2)由(1)知bn

18、=25-2n,b1=23,則Sn=(24-n)n=-(n-12)2+144,于是當(dāng)n=12時(shí),Sn有最大值,最大值為144.1nnaa114114bb1()2nbb n(23252 )2n n方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)處理等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題的常用方法(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性,求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng);(2)將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù)且A0)看作二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解.4-1在等差數(shù)列an中,a1=29,S10=S20,則數(shù)列an的前n項(xiàng)和中最大的為()A.S15B.S16C.S15和S16D.S17答案答案AS10=S20,10a1+d=20a1+d,又a1=29,d=-2,Sn=29n+(-2)=-n2+30n=-(n-15)2+225.當(dāng)n=15時(shí),Sn取得最大值.10 9220 192(1)2n nA