《數學第六章 數列 第四節(jié) 數列求和 文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《數學第六章 數列 第四節(jié) 數列求和 文（28頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第四節(jié)數列求和總綱目錄教材研讀1.求數列的前n項和的方法考點突破2.常見的裂項公式考點二裂項相消法求和考點二裂項相消法求和考點一錯位相減法求和考點三分組轉化法求和考點三分組轉化法求和1.求數列的前求數列的前n項和的方法項和的方法(1)公式法公式法(i)等差數列的前n項和公式Sn=na1+.(ii)等比數列的前n項和公式當q=1時,Sn=na1;1()2nn aa(1)2n nd教材研讀教材研讀當q1時,Sn=.(2)分組轉化法分組轉化法把數列的每一項轉化成幾項之和,使所求和轉化為幾個等差、等比數列之和,再求解.(3)裂項相消法裂項相消法把數列的通項拆成兩項之差求和,正負相消剩下首尾若干項.(4

2、)倒序相加法倒序相加法把數列分別正著寫和倒著寫再相加,倒序相加法是對等差數列求和公式的推導過程的推廣.1(1)1naqq11naa qq(5)錯位相減法錯位相減法適用于一個等差數列與一個等比數列對應項相乘所得的數列的求和,錯位相減法是對等比數列求和公式的推導過程的推廣.(6)并項求和法并項求和法若一個數列的前n項和中,可兩兩合并求解,這種方法稱為并項求和.形如an=(-1)nf(n)類型,可采用兩項合并求解.例如,Sn=1002-992+982-972+22-12=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5050.2.常見的裂項公式常見的裂項公式(1)=-;(2)=;(3)=-.1(1)

3、n n1n11n1(21)(21)nn12112121nn11nn1nn1.若數列an的通項公式為an=2n+2n-1,則它的前n項和Sn=()A.2n+n2-1B.2n+1+n2-1C.2n+1+n2-2D.2n+n2-2答案答案CSn=(21+1)+(22+3)+(23+5)+(2n+2n-1)=(21+22+2n)+1+3+5+(2n-1)=+=2n+1-2+n2.故選C.2(1 2 )1 2n1(21)2nnC2.已知數列an的前n項和為Sn=1-5+9-13+17-21+(-1)n-1(4n-3),則S15+S22-S31的值是()A.13B.-76C.46D.76答案答案BS15=

4、1-5+9-13+(413-3)-(414-3)+(415-3)=7(-4)+57=29,BS22=1-5+9-13+(421-3)-(422-3)=11(-4)=-44,S31=1-5+9-13+(429-3)-(430-3)+(431-3)=15(-4)+121=61,S15+S22-S31=29-44-61=-76.故選B.3.數列的前n項之和為,則n=.1(1)n n991003.數列的前n項之和為,則n=.1(1)n n99100答案答案99解析解析由題意得+=-+-+-+-=1-=,令=,解得n=99.11 212 313 41(1)nn1112121313141n11n11n1n

5、n1nn99100994.已知數列an的前n項和為Sn,且an=n2n,則Sn=.(n-1)2n+1+2答案答案(n-1)2n+1+2解析解析an=n2n,Sn=121+222+323+n2n.2Sn=122+223+(n-1)2n+n2n+1.-,得-Sn=2+22+23+2n-n2n+1=-n2n+1=2n+1-2-n2n+12(1 2 )1 2n=(1-n)2n+1-2.Sn=(n-1)2n+1+2.典例典例1(2015北京朝陽一模)設數列an的前n項和為Sn,且a1=4,an+1=Sn,nN*.(1)寫出a2,a3,a4的值;(2)求數列an的通項公式;(3)已知等差數列bn中,有b2

6、=a2,b3=a3,求數列anbn的前n項和Tn.考點一錯位相減法求和考點一錯位相減法求和考點突破考點突破(2)當n2時,an=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n.又當n=1時,a1=S1=4.所以an=(3)設等差數列bn的公差為d,依題意,b2=a2=4,b3=a3=8,則由得b1=0,d=4,則bn=4(n-1).所以anbn=因為當n=1時,(n-1)2n+2=0,所以anbn=(n-1)2n+2(nN*).4,1,2 ,2.nnn114,28,bdbd20,1,(1)2,2.nnnn解析解析(1)因為a1=4,an+1=Sn,所以a2=S1=a1=4,a3=S2=a1+a2=4+4

7、=8,a4=S3=a1+a2+a3=4+4+8=16.所以Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+an-1bn-1+anbn=0+124+225+326+(n-2)2n+1+(n-1)2n+2,2Tn=0+125+226+327+(n-2)2n+2+(n-1)2n+3,-,得-Tn=24+25+26+27+2n+2-(n-1)2n+3=-(n-1)2n+3=-16-(n-2)2n+3.所以Tn=16+(n-2)2n+3.412 (1 2)1 2n方法技巧方法技巧(1)一般地,如果數列an是等差數列,bn是等比數列,求數列anbn的前n項和時,可采用錯位相減法求和,一般是和式兩邊同乘等比數

8、列bn的公比,然后作差求解;(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn-qSn”的表達式.1-1已知數列an是公差大于零的等差數列,數列bn為等比數列,且a1=1,b1=2,b2-a2=1,a3+b3=13.(1)求數列an和bn的通項公式;(2)設cn=anbn,求數列cn的前n項和Tn.解析解析(1)設數列an的公差為d(d0),數列bn的公比為q,由已知得解得或d0,d=2,q=2,an=1+2(n-1)=2n-1,bn=22n-1=2n,即an=2n-1(nN*),bn=2n(nN*).(2)由(1)知cn=anbn=(2n-1)2n

9、,Tn=12+322+523+(2n-1)2n,2Tn=122+323+524+(2n-1)2n+1,22(1)1,12213,qddq10,4dq 2,2.dq-得Tn=-12-222-223-22n+(2n-1)2n+1=-2-23-24-2n+1+(2n-1)2n+1=-2-+(2n-1)2n+1=6+(2n-3)2n+1.312(1 2)1 2n考點二裂項相消法求和考點二裂項相消法求和典例典例2(2016北京東城二模)已知等差數列an滿足a3=7,a5+a7=26,其前n項和為Sn.(1)求an的通項公式及Sn;(2)令bn=(nN*),求數列bn的前8項和.1nSn解析解析(1)設等

10、差數列an的公差為d,由a5+a7=26,得a6=13,又a6-a3=3d=6,故d=2.所以an=a3+(n-3)d=7+2(n-3)=2n+1.所以Sn=n=n=n2+2n.(2)由bn=,得bn=-.設bn的前n項和為Tn,則T8=+=1-=.故數列bn的前8項和為.12naa3212n1nSn21nn1(1)n n1n11n112112311341189198989易錯警示易錯警示利用裂項相消法求和時,應注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項,也有可能前面剩兩項,后面也剩兩項.有些情況下,裂項時需要調整前面的系數,使裂開的兩項之差和系數之積與原通項相等.2-1(2018北京海淀高三期

11、中)已知等比數列an滿足a1a2a3=8,a5=16.(1)求an的通項公式及前n項和Sn;(2)設bn=log2an+1,求數列的前n項和Tn.11nnb b解析解析(1)設等比數列an的公比為q.因為a1a2a3=8,且a1a3=,所以=8,解得a2=2,又因為a5=a2q3=16,所以q3=8,解得q=2,所以a1=1.所以an=2n-1(nN+),所以Sn=2n-1.(2)因為an+1=2n,所以bn=log2an+1=n,所以=-.所以數列的前n項和Tn=+=1-=.22a32a1(1)1naqq1 21 2n11nnb b1(1)n n1n11n11nnb b1121123111n

12、n11n1nn典例典例3(2017北京西城一模)已知an是等比數列,a1=3,a4=24.數列bn滿足b1=1,b4=-8,且an+bn是等差數列.(1)求數列an和bn的通項公式;(2)求數列bn的前n項和.考點三分組轉化法求和考點三分組轉化法求和解析解析(1)設等比數列an的公比為q.由題意得q3=8,解得q=2.所以an=a1qn-1=32n-1.設等差數列an+bn的公差為d.由題意得d=4.所以an+bn=(a1+b1)+(n-1)d=4n.從而bn=4n-32n-1(n=1,2,).(2)由(1)知bn=4n-32n-1.設bn的前n項和為Sn.41aa4411()()4 1aba

13、b1643則Sn=(4+42+4n)-(321-1+322-1+32n-1)=4(1+2+n)-3(20+21+2n-1)=2n(n+1)-3(1 2 )1 2n=2n2+2n+3-32n.所以,數列bn的前n項和為2n2+2n-32n+3.規(guī)律總結規(guī)律總結(1)若an=bncn,且bn,cn為等差或等比數列,可采用分組轉化法求an的前n項和.(2)對于通項公式為an=的數列,其中bn,cn是等比數列或等差數列,可采用分組轉化法求和.(3)采用分組轉化法求和是將所求數列和分解轉化為若干個可求和的新數列的和或差,從而求得原數列的和,這就需要通過對數列通項結構特點進行分析研究,將數列的通項合理分解

14、轉化.,nnb nc n為奇數為偶數3-1(2016北京海淀二模)已知等差數列an的通項公式為an=4n-2,各項都是正數的等比數列bn滿足b1=a1,b2+b3=a3+2.(1)求數列bn的通項公式;(2)求數列an+bn的前n項和Sn.解析解析(1)設數列bn的公比為q,q0,因為b1=a1=2,所以b2+b3=2q+2q2=a3+2=12.解得q=2或q=-3(舍).所以bn=b1qn-1=2n.(2)記an的前n項和為Tn,bn的前n項和為Hn,所以Tn=n=n=2n2,12naa2422nHn=2n+1-2.1(1)1nbqq2(1 2 )1n所以Sn=Tn+Hn=2n2+2n+1-2.