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1、高等數(shù)學II期中試卷1、選擇題(每小題3分，共計 xy函數(shù) f (x, y) = 15分)22x +y #0 在(0, 0)點(A) .連續(xù)，偏導函數(shù)都存在;(B) .不連續(xù)，偏導函數(shù)都存在;在。(C).不連續(xù)，偏導函數(shù)都不存在;(D).連續(xù)，偏導函數(shù)都不存2、x2,0 x 1 )的值為重積分 口 xydxdy (其中D : 0 E y E D,、1(A) . g；-1(B) .一；121(C) .-；r 1(D) . - 043、設f為可微函數(shù),x az = f (y bz),貝 U a 烏；xbi=(A) 1；(B). a；(C). b;(D ). a +b04、設D是以原點為圓心，R為半

2、徑的圓圍成的閉區(qū)域，則J |xy d。DR4 (A).4 ;R4(B).9;R4(C).2 ;(D). R4o5、設 f (x，y) ft D : 0 _ y _1 _ x，0 x 1 上連續(xù)，則二重積分 j j f( x, y)d。表小 D成極坐標系下的二次積分的形式為二 102d1 f(cos，, r sin - )rdrcos 二 sin 二(B).f (r cos -,r sin -)rdr-T1 -cos -I0&. 0f (r cos -, r sin - )rdr(D).0d. 01cos i sin 1f (r cos，, r sin -)rdr、填空題（每小題4分，共計24分

3、）y1、設z = (xy尸，則dz= , 在點P(1,2)處的梯度g r azdp =。2、設 f (x, y) = x+(y-1)arcsinj2 ,貝 f x (x,1)=。3、 D由曲線(x _1)2 +(y _1)2 =1所圍成的閉區(qū)域，則! （x y）dxdy =Do4、函數(shù)u = xyz在點（5,1,2）處沿從點（5,1,2）到點（9,4,14 ）所確定方向的方向導數(shù)是。y =1-2x5、曲線,1 5 2在點（1,T,-2）處的切線方程為 ,法平面iz = x2 2方程為。6、改變積分次序0 二dy-1/_2arcsin y1,：； arcsin yf(X，y)dX0dy arcs

4、iny f(X，Y)dX =三、計算題（每小題7分，共計49分）11x. 1、求 Jdxysin dy。o x y2、求橢球面2x2+3y2 +z2=9的平行于平面2x 3y + 2z + 1 = 0的切平面方程。1 ：r3、已知z=fK,）具有二階連續(xù)偏導數(shù)，利用線性變換 =x+ay變換方程 x = x + by-2- 2- 2- 2胃+3=+詈=0。問：當a,b取何值時，方程化為 :z =0。 22x x y y4、x2 + y2 +z2 = xf （）, f 可微，求。 xx，15、在經過點P（ 2,1,3）的平面中，求一平面，使N與二坐標面圍成的在第一卦限中的立體的體積最小。_ 17、

5、設區(qū)域D : M x+y26、求二元函數(shù)z = x2+4y2 +9在區(qū)域x2 + y2 E 4的最大值、最小值。E1,證明：JJln( x2 + y2)dxdy 0,y0，t0 若 f(t)是連t -0續(xù)可微的函數(shù)，求f(t)高等數(shù)學II (B卷)單項選擇題(每小題分，共20分)1 .母線平行于y12x22軸且通過曲線I x2 y2zZ2 =16_ y2 =0的柱面方程為3x2 2z2 =16 y = 0_ 2_ 2-3x 2z =163x22 x22z2 =1622x2 +2y2 =16。. 下00二(-1)n ln(1n 1n(n 1)B、C、n10 n7n 1QO二(1 - cosn d

6、下述幕級A、x (1 1 HI 1)x n32 n二 1%xnR nW n ;C、二 1 n-2 xn t n ；,二1 nln(12)xD、nWnzln(x y z ).222設c為x +y +z ,則三重積分222-dxdydz 了 x2 y2 z2 1A、0B、nC、 3D 2n2.22_211 x3dydz y3dxdz z3dxdy工) 2,-3 111 a dxdydzA、二、-3 iiir2 r2sin drd id :G -5 .設Z為球面x +V +z =a的內側（a0）,建為Z所圍空間閉域，則按高斯公 式曲面積分可表小2,3111a dxdydzB、Q3 iiir2 r2s

7、in drd:D 、石二、填空題（每小題4分，共20分）； d d M d，6 .若向量x與a =2i - j +2k共線,且滿足a x = -18，則x =7 .曲面ez -z+xy=3在點(2,1,0)處的法線方程為 .2228 .若函數(shù) f(x,y,z)=x +2y +3z +xy+3x-2-6z,則 gradf(1,1,1)=x ay dx ydy29 .已知 （x + y）為某函數(shù)的全微分，則a=xy2dy - x2 ydx 二三、計算題（每小題11.設 ex*sin(x+z) =0.其中L是圓a210分，共60分）；z ；z-1 -計算 x二y,22土 .工= 1,(a 0)的正向

8、./、22212.設 z = z(x,y) 是由 x -6xy+1 0 y- 2 yz z+1 8確0t 的函數(shù)，求 z = z(x, 丫地勺極值，13.計算二重積分1120 dx xLdyI 二（x2 y2）dxdydz_ 214 .計算三重積分建.其中c由錐面zoxy與平面Z = 1.(x2 y2)dS所圍成的區(qū)域15 .設工是錐面z = & +y2 ,(0 Wz1),計算口16.計算工yzdxdz 2dxdy= 4,(z20)的上側.，22_2、2225+v +z ，其中工是球面x +v +z高等數(shù)學II(A卷)二、單項選擇題(每小題4分，共16分)22 32C、(z +y)=25x .

9、1 .將zox坐標面上曲線z3=5x繞z軸旋轉一周所生成的旋轉曲面方程為 )A、z3 =5jx2 +y2 ; B、 = -5Jx2 * y2 . 622z = 25 x y2 .有關二元函數(shù)f (x,y)的下面四條性質:(1) f (x, y)在點(x0,y0)可微分；(2)f式x,y0), fy(%。0)存在；(3) f (x，y)在點(x0,y0)連續(xù)； (4) fx(x, y), fy(x,y)在點(xo, yo)連續(xù).若用P Q表示可由性質P推出性質Q,則下列四個選項中正確的是()A、(4)=(1)= (2)； b、=(4)=(3)； c、(1)=(2)= (3)； d、 (2)= (

10、1)= (3)3 .設積分區(qū)域D =xy x 廠，則下式中正確的是A、1x y (x y)dxdy = 4 xex dx0 ；1 1B、x22lie (x y)dxdy = 0D.exD4.22ex .yD1(x 十 y)dxdy = 4Jxex dx(x y)dxdy =8 xex dx0.-22 . 一 . 一有向曲面工：z = x -y在第II卦限的右側、也是此曲面在第II卦限的()A、前側； B、后側；C、左側；D、不能確定.二、填空題(每小題4分，共20分). .2_1 u 二442 2一-5 .設函數(shù)u=x +v -4xy ,則縱,吟6 .曲面ezz + xy =3在點(2，1，0

11、)處的切平面方程為 227 .若函數(shù)z=2x+2y+3xy+ax + by + c在點(-2,3)處取得極值，貝(Ja=點(一2,3)是此函數(shù)的極 (大、小)值點.O0x= bn sin nx (0 三xM慝)8 .設 nl，則 4 =9.(y ex)dx (3x ey)dy =22xy2 - 1.其中L是正向橢圓ab三、計算題(每小題8分，共64分)f x = t : y =t3.求(1)曲線在點(1,1,1)處10 .已知函數(shù) u=ln(x + Jy2+z2),曲線 lzW 切線方向的單位向量(沿t增加方向)；(2)函數(shù)u =ln(x + Jy2+z2)在點(1,0,0)處沿(1)所指方向

12、的方向導數(shù). jz rzx -y, 11 .設方程esin(x+z)=0確定隱函數(shù)z = z(x,y),計算 出列.12 .計算二重積分ji jio6dy .:cosx , dxx13 .計算三重積分 圍成的區(qū)域.I = zdxdydz1.其中。是由錐面z = Jx2 + y2與平面z=1所r 2 ,2 ,2jX +y +z14 .設r是曲線X +y +z2二 a=0，計算x2 + y2)ds3 ._2 ._ 2 .11 x dydz 2xz dzdx 3y dxdy2215 .計算Z,三為拋物面z = 4-x -y位于平面z = 0上方部分的下側.二二 1% x16 .已知幕級數(shù)nn(n+1

13、) 和函數(shù)；n 1，求(1)此級數(shù)的收斂域；(2)此級數(shù)收斂域內的17 .設f(u)具有連續(xù)的導數(shù),222 . .2x +y +z t 0(3)級數(shù) n=1n(n+1)2n* 的值.lim 74- III f(X2 y2 z2 )dxdydz且T t夏存在，其中:計算(i) f；lim : 111 f (. x2 y2 z2 )dxdydz tot高數(shù)II試題、選擇題(每題4分，共xy16分)二0(A)連續(xù)，且偏導函數(shù)都存在；(C)不連續(xù)，且偏導函數(shù)都不存在;在(0, 0)點.(B)不連續(xù)，但偏導函數(shù)都存在;(D)連續(xù)，且偏導函數(shù)都不存在。:z2.設f為可微函數(shù),z= f(x + y+z, x

14、yz),貝(j afi yz f2A ) fi xy f2 -11- f1 - xy f2(B).f1+yzf2 ；f yz f2(c ).1 - f1 - x y f2 ；f1xzf2(D). My。3.設 f(x,y5D：x2 +2y-2 4f (x, y) d-上連續(xù)，則二重積分D表示成極坐標系下的二次積分的形式為(A).2 二 2f0 de f0 f(rcos0,rsin9)rdr .(B)二 2df (r cos/r sin i)rdr0 ，0 、 ， ；(C).f (r cos -,r sin)rdr(D).f (r cos -,r sin -)rdroO、anxnn與 的收斂半徑

15、 an(X - 1)n4.幕級數(shù)n衛(wèi)在x = 3處條件收斂，則幕級數(shù) O(A), 3；(B). 4 ； (C). 1 ；(D), 5。二、填空題(每題4分，共20分)1 .設函數(shù)z=xy,則函數(shù)z = xy的全微分j。2 .函數(shù)u = x2+y2+z2在點8。，1,1)處沿OP0方向的方向導數(shù)為,其中O 為坐標原點。3 .曲面2z+xy=3-ez在點(1,2, 0)處的切平面方程為 。4,曲線積分I電L(x *y ds (其中L是圓周：x2+y2=9)的值為 ox, 0x0(n= !！ zdxdydz2=2、11.計算 Q，建是由曲面、4-3(x +y )及,2,)，且nq 收斂，2,則級數(shù)

16、(-1)n(ntan )a2nnn ().(A)條件收斂；(B)絕對收斂；(C)發(fā)散；(D)收斂性與九有關。4,設二元函數(shù) f(x，y)滿足 fx(0,0) = 1f y(0,0) =2,則(A) f(x，y)在點(0，0)連續(xù);(B) df(x,y) |(0,0)=dx + 2dy ;二fl(0 0)cos2cos(C)日，其中cosc(，cosP為l的方向余弦；(D) f(x，y)在點(0，0)沿x軸負方向的方向導數(shù)為-1.二、填空題(每小題4分，共16分).xf (x，y) = x (y -1)arcsin -5 .設函數(shù)Vy,則 fx(x，1)=.、,22226 .曲面z = Vx y

17、被柱面x +y =1所割下部分的面積為2S(x)= bnsinn二 x (-二：x ： 二 )7.設 f(x) =x (OWX41),而n，其中1 L .bn =2 f (x)sin n xdx n =1,2， ，則 (2)S(9)=.J-1 (x-2)n-28.幕級數(shù)n n的收斂域為 .三、解答下列各題(每小題7分，共28分).9.設z=z(x，y)是由方程F(xy，z-2x)=0確定的隱函數(shù)，F(xiàn)(u，v)可微，計算 .z ;zx 一 - y 一 excy在曲面z=xy上求一點，使該點處的法線垂直于平面x + 3y + z+9=0.1 f(x) = 2z =x22y所圍成的閉區(qū)域.10.將函

18、數(shù) x +3x+2展開為x的幕級數(shù).四、解答下列各題（每小題10分，共30分）12. （10分）設f（x）具有二階連續(xù)導數(shù)，f=0=1 ,曲線積分2xy（x y） 7f （x）dx f （x） x ydyL與路徑無關.求f（x）.xdy -ydx22222 ,13. （10分）計算積分4x +y ，其中l(wèi)為圓周（x-1） +y =R越乂按 逆時針方向）.2 ,I = ydydz-xdzdx z dxdy2214. （10分）計算 三，其中為錐面z = Jx +y被z=1，z=2所截部分的外側.五、綜合題（每小題5分，共10分）22222215. 在橢千面2x +2y +z =1上求一點，使函數(shù)

19、f（x,y,z） = x +y +z在該點沿方向1 =（1，-1，0）的方向導數(shù)最大，并求出最大值.U、（1-1）證明：設Un是單調遞增的有界正數(shù)列，判斷級數(shù) niUn是否收斂，并證明你的結論.高等數(shù)學I一、單項選擇題（在每個小題四個備選答案中選出一個正確答案，填在題末的括號中）（本大題有4小題，每小題4分，共16分）1 .當xt %時，a（x）P（x）都是無窮小，則當xt X。時（）不一定是無窮小.(A)a(xM(x)(C)2.極限In 1 匕(x) ： (x)1sinxlim TsinaJ 的值是(B)二 2 x ： 2 x：2 (x)(D)： (x)(A) 1(B)ecot a(C) e

20、 (D)tan ae-l-sin x e2ax y f(x)= x3.L ax=0在x = 0處連續(xù)，則a =(A) 1(B) 0(C) e (D)-14.設f(x)在點x=a處可導,那么(A) 3f (a)lim f(a h) - f(a-2h)h Ph(B) 2(a)(C) f 、填空題(本大題有(D)4小題，每小題1/ (a)34分，共16分)ln(x a) -ln a lim (a 0)5 .極限7 x的值是.6 .由 exy +y1n X=cos2x 確定函數(shù) y(x), 則導函數(shù) y =7 .直線l過點M(1,2,3)且與兩平面x+2y-z = 0,2x-3y + 5z = 6都平

21、行，則直 線l的方程為.2求函數(shù) y = 2x - ln(4x)2007 2008學年第(1)學期考試試卷高等數(shù)學II (A卷重修)、填空題(每小題4分，共20分)二 2u u1 .2 .處取得3 .4 .4 ,4,22: 2設u = x +v -4x y，則.(0,0”Zx西y0廠0和zy ,。)。廠0是可微函數(shù)z = z(x.y)在點. y0)(充分、必要、充要)條件.2曲線x = 2t .y = c0s(3)2 = 21nt在對應于t= 2點處的切線方程為：周期為2n的函數(shù)f(x),它在一個周期內的表達式為1 -n x 0 f(x )= 110 -x工7T，設它的傅里葉級數(shù)的和函數(shù)為s(

22、x)則 S(0)= .2d y ody2 y - 0微分方程dx2dx 的通解為、計算題(每小題8分，共40分)求dzy z = In tan 【x J2.求函數(shù)u = x + y + z在球面x2 + y2+z2 = 1上點（001）處，沿 球面在該點的外法線方向的方向導數(shù)。3.交換積分次序21dx：?2x-x22-xf x y dy4將已知正數(shù)a分成兩個正數(shù) 大？2 2x y之和，問：x y為何值時使x y最dy 2xy =4x5 ,求微分方程dx. xydV的通解。、計算三重積分Cz = 1 z = 0 y = 02其中c是由柱面xy2 = 1與平面,x=0所圍成的第一卦限內的區(qū)域。（9

23、分）xdydz ydzdx zdxdy四、計x2（9分）22y z為球面2=a的外側。五、計算曲線積分xy（ydx ln xdy）I x，其中L:自點到點B =2,112J的一段有向曲線?。?分）1,2I2 1沿曲線/n1n-1上六、求級數(shù) nT七、求極限 m+t2n2t的收斂域與和函數(shù)。t dxte（9分）（x-y 12dy（4分）三z確定，則：x =高等數(shù)學下C （07）、填空題（每小題3分，共計15分）1 .設 z = f （x,/ 由方程 x + y + z = e -（x +y +z）2.函數(shù)u = xy2 + z3 - xyz在點P0(0，-1，2)沿方向l = (1，J2G的方向

24、導數(shù)P02222x y3 . L為圓周x +y =1,計算對弧長的曲線積分Ie ds =2 一 24 .已知曲面z = 1-x y上點P處的切平面平行于平面2x + 2y + z - 1 = 0,則點p的坐標是 05 .設f(x)是周期為2的周期函數(shù)，它在區(qū)間( 1，1的定義為2-1 x0,曲線y= f(x)上點(x，f(x)處的切線在y軸上的截距1 . xf(t)dt ，/、 等于x，求f (x)的一般表達式。5.求解微分方程y_2y = ex +x。.xdydz ydzdx (x z)dxdy三、(10分)計算曲面積分 工,其中三是平面2x + 2y + z=2在第一掛限部分的下側。四、(

25、10分)應用三重積分計算由平面X=0,y = 0，z = O及z = 2x + y+2所圍成的 四面體的體積。4422五、(10分)求函數(shù)z= xy -x -2a-y的極值。22六、(10分)設L是圓域D：x y ；2x的正向邊界，計算曲線積分 1(x3 - y)dx + (x - y3)dy。:(x-1)n七、(10分)求幕級數(shù)nn 的收斂區(qū)間與和函數(shù)。高等數(shù)學上B (07)試題一、 填空題：(共24分，每小題4分)dy _2 一 . 一 二1, y =sinsin(x ),則 dx 二 a .2dx =二2, 已知l+x , a=e1 ln x dx =3. eox4. y =e過原點的切

26、線方程為f (lnx)x i dx5. 已知 f(x)=e ，貝x =0326. a=, b=時，點(1,3)是曲線y = ax +bx的拐點二、計算下列各題：(共36分，每小題6分)3.4.5.cosx求y=(sinx)的導數(shù)。x 5 dx Jx2 10xf(x) 一十 k, xk 1,lim(求極限n ：-2,求 Jsin1nxdx。x - 0x 0在點(。,0)處可導，則k為何值?n2 12. n2 22HI - -=L=Jn2 +n2 06.方程。_Lx 2y _z 1 = 0 _L2x_ y z = 0求過點(2, 2,0)且與兩直線x-y + z-1 = 0和1x-y + z =

27、0平行的平面2.3.4.、解答下列各題：(共28分，每小題7分)_Lx = Rcostd2y設y = Rsint，求菽。x求F(x) = J0t(t -1)dt在-1,2上的最大值和最小值。22設 y = y(x)由方程 x(1 + y )-ln(x +2y)=0 確定，求 y(0)。2 ,2 一 一求由y=x與y =x圍成的圖形繞y軸旋轉所得的旋轉體的體積。四、證明題：(共12分，每小題6分)1,證明過雙曲線xy=1任何一點之切線與OX,OY二個坐標軸所圍成的三角 形的面積為一常數(shù)。2,設函數(shù)f(x)與g(x)在閉區(qū)間a3上連續(xù)，證明：至少存在一點、使得bf( ) g(x)dx = g( )

28、 f(x)dxa成績(B) .e (C)e (D)e2(A)(n 1)(1 - 水)n 1 nvx(B)(C)1v xn 1(1-x)n 2(D)(-1)n(n 1)(1 -3 x)(-1)n(1 -次)n2n 1 nvx試卷號：B020002校名 系名 專業(yè)姓名 學號 日期(請考生注意：本試卷共頁)大 題一二三四五六七八九十十一十二十三十 四成 績一、單項選擇題(在每個小題四個備選答案中選出一個正確答案，填在題末的括號中) (本大題分5小題，每小題2分，共10分)1、 X設 I = (-e-F1dx,Wl =ex 1 xx(A)ln(e -1) c (B) ln(e 1) c;(C)21n(

29、ex 1) -x c;(D) x -21n(ex 1) c.答() 2、lim e nJ ;(A)13、f(x)的n階麥克勞林展開式的拉 格朗日型余項Rn(x)=()(式中081)答()則點x = 0設f(x)在x=0勺某鄰域內連續(xù)，且fOXmof，：2(A)是f(x)的極大值點(B)是f(x)的極小值點(C)不是f(x)的駐點(D)是f(x)的駐點但不是極值點答()4、曲線y =x2 -2x + 4上點M0(0,4)處的切線M0T與曲線y2 =2(x-1)所圍成的平面圖形的面積A =214八 913(A)(B)(C)(D)49412二、填空題(將正確答案填在橫線上)(本大題分5小題，每小題3

30、分，共15分)設 y = ln 1 + tan(x + ),則 y，=1 、x2用切線法求方程x3 -2x2 -5x-1 =0在(-1,0)內的近似根時，選x。并相應求得下 一個近似值 x1 則x0, x1分別為 x -1 _ y 1 _ z -13、設空間兩直線 12 兒 與x *1 = y 1 = z相交于一點，則九=_sinx +e2ax -1 當f (x) =， x x 叱，在x = 0處連續(xù)，貝U a =.4、 a,當 X=0/xdx=,其中b是實數(shù).5、0 1三、解答下列各題(本大題4分)一 一 一 1 一 一 1一 一 一 1設平面冗與兩個向量a =3i + j和b = i +

31、j _4k平行，證明：向量c =2i _6j _ k與 平面n垂直。四、解答下列各題(本大題8分)討論積分：當?shù)臄可⑿?五、解答下列各題(本大題11分)導出計算積分的遞推公式，其中n為自然數(shù)。六、解答下列各題(本大題4分)l ；x + 2y_z_5 = 0求過P0(4,23)與平面Kx + y+z_10 = 0平行且與直線1 (Z 10 = O 垂 直的直線方程。七、解答下列各題(本大題6分)計算極限limisinx - cos2xx-0xtanx八、解答下列各題(本大題7分)ee試求I n = (ln x)%x勺遞推公式(n為自然數(shù))，并計算積分1(ln x) dx.九、解答下列各題(本大題

32、8分)設f (x)在(a,b)內可微，但無界,試證明f，(x)在(a,b)內無界。十、解答下列各題(本大題5分)設 lim 中(x) =u0,lim f (u) = f (u0),證明：lim f (x)= f (u0) x_0UT0x0oH一、解答下列各題(本大題4分)在半徑為R的球內，求體積最大的內接圓柱 體的高十二、解答下列各題(本大題5分)12:4cos 二二,cos -重量為p的重物用繩索掛在 A,B兩個釘子上，如圖。設135,求A, B十三、解答下列各題 (本大題6分)一質點，沿拋物線y = x(10 - x)運動，其橫坐標隨著時間t的變化規(guī)律為x=tJf(t的單位是秒，x的單位是

33、米),求該質點的縱坐標在點 M(8, 6)處的變化速率.十四、解答下列各題(本大題7分)設曲線x = J7,x = Y2 - y2及y =0周成一平面圖形.(1)求這個平面圖形的面積 (2)求此平面圖形繞x軸旋轉而成的立體的體積.成績高等數(shù)學試卷試卷號：B020009校名系名 專業(yè)姓名 學號 日期(請考生注意：本試卷共頁)大題一二三四五六七八九成績一、單項選擇題(在每個小題四個備選答案中選出一個正確答案，填在題末的括號中)(本大題分5小題，每小題2分，共10分) b極限lim(1 上戶 (a -二0, b -二0)的值為1、 x)0a(A)1.(B)ln?(C)ea.(D)號 aa答()2、

34、3lim(1 cosx)c0sx 二3A. e B. 8C, 1 D. 8答()3、設f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內可導記(I ) f(a) = f (b)(n )在9笛)內f,(x)三0則：(a)( i )是(n )的充分但非必要條件(B)( i )是(n )的必要，但非充分條件(C)( I )是(n )的充要條件(D)( I )與(11 )既非充分也非必要條件答 ()4、若(x0, f(x0)的連續(xù)曲線，y = f(x)上的凹弧與凸弧分界點，則()(A)(x0, f(x0)必為曲線的拐點(B)(x。，f(x。)必定為曲線的駐點(C) xo為f(x)的極值點(D) xo必定不是f (

35、x)的極值點答()5、1一長為Lcm的桿OA繞O點在水平面上作圓周逆動.桿的線密度P =-, rr為桿上一點到。點的距離，角速度為露則總動能E =12 2_12 2_12 2_12 2(A) L (B) L (C) L (D)- L2345二、填空題（將正確答案填在橫線上）（本大題分3小題，每小題3分，共9分）1、2、(3 x2)3dx =.x設f(x)= p(t-1)dt,則f(x)的單調減少的區(qū)間是二J（nn：-1）3、對于的值，討論級數(shù)n（1）大時，級數(shù)收斂（2）當時，級數(shù)發(fā)散、解答下列各題（本大題共3小題，總計13分）1、（本小題4分）驗證f （x） = x2在2,4上拉格朗日中值定理

36、的 正確性2、（本小題4分）3、：； n n J. n10是否收斂，是否絕對收斂？（本小題5分）設f （x ）是以2 n為周期的函數(shù)，當2 2 ；時，f（x）= x。又設 Sx）是 f（x）的以2 n為周期的Fourier級數(shù)之和函數(shù)。試寫出S（x）在-小冗內的表達式。四、解答下列各題（本大題共5小題，總計23分）1、（本小題2分）求極限x3 -12x 16lim 32x)2 2x -9x12x。42、(本小題2分)求(ex - 1)3exdx.3、（本小題4分）2-2求 r .x 7 dx-1 x4、（本小題7分）求 J x d x.5、（本小題8分）1y 二f試將函數(shù)x在點X。k處展開成泰

37、勒級數(shù)。五、解答下列各題（本大題5分）oO、anxn如果哥級數(shù)n 在x = -2處條件收斂，那么該 級數(shù)的收斂半徑是多少 ？試證之.六、解答下列各題 （本大題共2小題，總計16分）1、(本小題7分)如圖要圍成三間長都為y,寬都為x的長方形屋圍，其墻的總長度為a,問x,y各等于多少時,所圍成的總面積最大？(墻的厚度不計)2、(本小題9分)求由曲線丫 =e2x,x軸及該曲線過原點的切 線所圍成的平面圖形的 面積. 七、解答下列各題 (本大題6分)chx. x 之 0.設f (x)=，試討論f (x)的可導性并在可導處求 出f(x)Jn(1 -x), x 0), 又設 x = rcos1 f (x)

38、 = r sin 6.b一.試證明：2 f (x)dx r ( Rd? - bf (b) - af (a), a :二其中二=arctan f(a) , : = arctan f (b) . ab高等數(shù)學第一學期半期試題(06)填空cosx,x 之0 x 2f(x)= x 2a - a - x ,x1. 1.設 Lx的連續(xù)點。設方程 x - y+arctan y = 0 確定了 y = 2.1 acos2x bcos4x lim43 . tx=a,貝tj a=(a 0) 0當 a= _ 時，x=0 是 f(x)二y(x)，求乎dx = 。, b= ,A= ox4 .函數(shù)y=x2的極小值點為 。

39、5 .設 f (x) = x Inx 在 x0 處可導，且 f (x0)=2，貝U f (x0)= 6.設 limx0f x - f 0.2二 一 1,x貝U f(x)在x=0取得(填極大值或極小值)1.卜/1 . x 一 1函數(shù)f(x) =一耳、0, 三、解下列各題x 0x M 0 是否連續(xù)？是否可導？并求f(x)的導函數(shù)。2 x1 2x -12x2.2limx2 (3x 3 x - 2)x ：.22設曲線方程為x=t+2+sintdy 73.L yW+c0st ，求此曲線在x=2的點處的切線方程，及dx 一四、 四、 試確定a,b,c的值，使y=x3+ax2+bx+c在點(1,-1)處有拐

40、點，且在x=0處有極大值為1,并求此函數(shù)的極小值五、五、若直角三角形的一直角邊與斜邊之和為常數(shù)，求有最大面積的直角三角形。六、六、證明不等式： , e :二二：二,七、八、 證明:七、八、y=f(x)與y=sin(x)在原點相切，求極限設f(x)在0,1上連續(xù)且在 (0,1 )內可導，且 f(0) = f (1) = 0, f (1/2) = 1.(1)至少有一點 七 (1/2,1),使得f( E尸 七1.2.3.4.P1的坐標為(2) V技R ,存在 ne(o, ),使得()-， f(力-司=1 高等數(shù)學第二期半期考試試題、解答下列各題(每題6分)1. 利用二重積分求不等式r2cos& r

41、1所表達的區(qū)域的面積。2. 設 z=(1 + xy)x ,求 dz3. 求函數(shù)u=eyz 在點 P0(1,0,-1)沿 RR 方向的方向導數(shù)。其中(2,1,-1).4. 設u=f (x,y,z),而邛(x： ey, z)=0 ,y=simx其中f ,中具有一階連續(xù)偏導數(shù), du5.6.1.2.求dx。xy12, 、,z + x = Je dt確je,求5. 設 z=z(x , y)由06. 求曲面x2+4y-z 2+5=0垂直于直線2(每題8分)111 x| | y dxdy1. 計算二重積分 D其中D：323.dx sin y dy2. 計算二次積分1 x4。rx rxz二z-,-x二yy

42、-1二z的切平面方程。x2+y2電時的極限。, s sin x f(x)=2. 6分討論函數(shù)/-1一 -4x = e2_ td_j_3. 6分設 y - te 求 dx2x -0x 1,求 y1. 1.設Tx+1。2. 2. 設函數(shù) f (x)在0,1上可導，且 y=f (sin 2x)+f (cos2x),求 dy/dx3. 3. 求由方程x2+2xy-y 2=2x所確定的隱函數(shù)y=y(x)的導數(shù)。4. 4. 確定y=x-ln(1+x 2)的單調區(qū)間。； dx5. 5.計算 1 x(1 +x )三、三、試解下列各題：(每題6分)1. 1.2. 2.3. 3.4. 4.2lim x 求x 二2

43、t. 2J求山-t2設 y =t -e dx對函數(shù)f (x) = sin(x)在區(qū)間0,兀/2上驗證拉格朗日中值定理的正確性。ln xx . 1 ln xdxsin x .四、證明：ex&2+1)x -12e五、8分以半徑為R的球的直徑為軸線鉆一個半徑為a ( 0 a 0 .x2 - x 1, x 1 ； 設f(x)=2x 一6、（本小題5分）求極限limx2 - 17、8、（本小題 設（本小題1求2x t 15分)1nx.y =(3x +1)1n( 3x +1),求 y5分)3x dx1 -x214、（本小題5分）9、（本小題5分）設 y（x） = x3e、x,求 dy xt .10、（本小

44、題5分）2求由方程x23 +y3 =a%（常數(shù)aA0）確定的隱函數(shù)y = y(x)的微分dy.11、(本小題5分)設 y = y(x)由 x = (1 +s2y2 和y = (1 - s2) 2 所確定,試求.dx12、（本小題5分）x -y設y = y（x）由方程y =e x所確定，求y13、（本小題5分）若x 0,證明 x2 +ln（1 + x）2 2x8、（本小題5分）dx1、2、（本小題5分）要做一個圓錐形漏斗，其母線長20cm,要使其體積最大（本小題5分），問其圖應為多少？3、求曲線y =2 x2與y =（本小題5分）x所圍成的平面圖形的面積求曲線y = x2和y = x3在bl止所圍成的平面圖形的面積、解答下列各題（本大題5分）證明方程x5 -7x=4在區(qū)間（1, 2）內至少有一個實根.四、解答下列各題（本大題5分）判定曲線y =（x +3）qx在0, +s的凹凸性02-03第一學期期末高等數(shù)學試卷、解答下列各題（本大題共16小題，總計80分） 1、（本小題5分）求極限3_lim3x -12x 16x，22x3 -9x2 12x -42、（本小題5分）求一（12、2x ）dx.r 16 求L 1 41x +x15、（本小題5分）16、（本小題5分）求（x 1/1）二、解答下列各題（本大題共3小題，總計15分