第四節(jié)直接證明和間接證明總綱目錄教材研讀1.直接證明考點(diǎn)突破2.間接證明3.數(shù)學(xué)歸納法的步驟考點(diǎn)二分析法考點(diǎn)二分析法考點(diǎn)一綜合法考點(diǎn)三反證法考點(diǎn)三反證法考點(diǎn)四數(shù)學(xué)歸納法考點(diǎn)四數(shù)學(xué)歸納法教材研讀教材研讀1.直接證明內(nèi)容綜合法分析法定義利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立成立從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分充分條件,直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止實(shí)質(zhì)由因?qū)Ч麍?zhí)果索因框圖表示PQ1Q1Q2Q2Q3QnQQ P1 P1 P2P2 P3得到一個(gè)明顯成立的條件文字語(yǔ)言因?yàn)樗曰蛴傻靡C只需證即證2.間接證明間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法,反證法是一種常用的間接證明方法.(1)反證法的定義:假設(shè)原命題不成立不成立(即在原命題的條件下,結(jié)論不成立),經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾矛盾,因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明原命題成立原命題成立的證明方法.(2)用反證法證明的一般步驟:(i)反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立;(ii)歸謬根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理,直到推出矛盾為止;(iii)結(jié)論斷言假設(shè)不成立,從而肯定原命題的結(jié)論成立.3.數(shù)學(xué)歸納法的步驟(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0N*)時(shí)命題成立;(2)(歸納遞推)假設(shè)n=k(kn0,kN*)時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.只要完成以上兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.1.用分析法證明時(shí)出現(xiàn):欲使AB,只需Ccn+1 解析解析由題意知,an=,bn=n,cn=-n=.顯然,cn隨著n的增大而減小,cncn+1.21n 21n 211nn cncn+1B5.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時(shí),當(dāng)n=1時(shí),左邊表達(dá)式是1+2+3;從kk+1需增添的項(xiàng)是4k+5(或或(2k+2)+(2k+3).答案答案1+2+3;4k+5(或(2k+2)+(2k+3)解析解析用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時(shí),當(dāng)n=1時(shí),2n+1=3,所求左邊表達(dá)式是1+2+3;從kk+1需增添的項(xiàng)是4k+5(或(2k+2)+(2k+3).B考點(diǎn)一綜合法考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破 典例典例1已知點(diǎn)A(x1,y1),D(x2,y2)(其中x1x2)是曲線y2=4x(y0)上的兩點(diǎn),A,D兩點(diǎn)在x軸上的射影分別為點(diǎn)B,C,且|BC|=2.(1)當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)時(shí),求直線AD的斜率;(2)記OAD的面積為S1,梯形ABCD的面積為S2,求證:0,所以k0,m0,所以=,因?yàn)?16-16km0,所以0km1,所以=0,所以k0,m0,所以=,因?yàn)?16-16km0,所以0km1,所以=2,所以0,證明:+a+b+c.2ab2bc2ca證明證明因?yàn)閍,b,c0,根據(jù)基本不等式,有+b2a,+c2b,+a2c,三式相加,+a+b+c2(a+b+c),即+a+b+c.2ab2bc2ca2ab2bc2ca2ab2bc2ca1-2在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1.(1)求證:a,b,c成等差數(shù)列;(2)若C=,求證:5a=3b.23證明證明(1)由已知得sin Asin B+sin Bsin C=2sin2B,因?yàn)閟in B0,所以sin A+sin C=2sin B,由正弦定理,有a+c=2b,即a,b,c成等差數(shù)列.(2)由C=,c=2b-a及余弦定理得(2b-a)2=a2+b2+ab,即有5ab-3b2=0,所以=,即5a=3b.23ab35考點(diǎn)二分析法典例典例2已知函數(shù)f(x)=3x-2x,求證:對(duì)于任意的x1,x2R,均有 f.12()()2f xf x122xx證明證明要證明 f,即證明-2,因此只要證明-(x1+x2)-(x1+x2),即證明,因此只要證明,由于x1,x2R,所以0,0,由基本不等式知成立,故原結(jié)論成立.12()()2f xf x122xx1212(32 )(32)2xxxx1223xx122xx12332xx1223xx12332xx1223xx12332xx1233xx13x23x12332xx1233xx方法技巧方法技巧(1)分析法采用逆向思維,當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接,或證明過程中所需要用的知識(shí)不太明確、具體時(shí),往往采用分析法,特別是含有根號(hào)、絕對(duì)值的等式或不等式,從正面不易推導(dǎo)時(shí),?？紤]用分析法.(2)應(yīng)用分析法的關(guān)鍵在于需保證分析過程的每一步都是可逆的,它的常用書面表達(dá)形式為“要證只需要證”或“”.注意用分析法證明時(shí),一定要嚴(yán)格按照格式書寫.2-1已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.求證:+=.1ab1bc3abc證明證明要證+=,即證+=3,也就是+=1,只需證c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),需證c2+a2=ac+b2,又ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,故B=60,由余弦定理,得b2=c2+a2-2accos 60,即b2=c2+a2-ac,故c2+a2=ac+b2成立.于是原等式成立. 1ab1bc3abcabcababcbccababcB考點(diǎn)三反證法典例典例3設(shè)a0,b0,且a+b=+.證明:(1)a+b2;(2)a2+a2與b2+b0,b0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b2=2,即a+b2.(2)假設(shè)a2+a2與b2+b2同時(shí)成立,則由a2+a0得0a1;同理,0b1,從而0ab1,這與ab=1矛盾.故a2+a2與b2+b2不可能同時(shí)成立.1a1bababab易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示用反證法證明不等式要把握三點(diǎn):(1)必須先否定結(jié)論,即肯定結(jié)論的反面;(2)必須從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理,即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件,且必須依據(jù)這一條件進(jìn)行推證;(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣,有的與已知條件矛盾,有的與假設(shè)矛盾,有的與基本事實(shí)矛盾等,且推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.3-1已知f(x)=ax2+bx+c,若a+c=0,f(x)在-1,1上的最大值為2,最小值為- .求證:a0且2.52ba證明證明假設(shè)a=0或2.(1)當(dāng)a=0時(shí),由a+c=0,得f(x)=bx,由題意得b0, f(x)=bx在-1,1上是單調(diào)函數(shù),所以f(x)在-1,1上的最大值為|b|,最小值為-|b|,由已知條件,得|b|+(-|b|)=2-=-,這與|b|+(-|b|)=0相矛盾,所以a0.(2)當(dāng)2時(shí),a0,由二次函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸為x=-,知f(x)在-1,1上是單調(diào)函數(shù),故其最值在區(qū)間的端點(diǎn)處取得.所以或ba5212ba2ba5( 1),2(1)2fabcfabc 5(1),2( 1)2.fabcfabc 又a+c=0,則b不存在,所以2.由(1)(2),得a0且2.baba典例典例4已知數(shù)列an滿足a1=,an+1=an+.(1)求a2,a3的值;(2)證明:an.1221n2na656nn考點(diǎn)四數(shù)學(xué)歸納法解析解析(1)因?yàn)閍1=,an+1=an+,所以a2=a1+=,a3=a2+=.(2)證明:(i)當(dāng)n=1時(shí),左邊=,右邊=1,不等式成立.(ii)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時(shí),不等式成立,即ak0,所以k2.所以ak+1=ak+k+k2=k+1,所以當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.由(i)和(ii)可知不等式對(duì)任意nN*都成立.1221n2na21a341422a5764121221n2na2ka21k2ka21k所以-=-=.由(2)知0an=-,所以當(dāng)n2時(shí),有 +,所以-,所以,所以當(dāng)n3(nN*)時(shí),an.1na11na1na222nnnn aa21nna1na11na21nna21nn1n11n111nnaa111nnaa2311aa111nn111nn112321a11na1211n11na21a1211n431211n51166nn66511nn656nn(3)證明:因?yàn)閍1=,an+1=an+,所以= .2na21n1211na222nnnn aa易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示使用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)需注意的問題數(shù)學(xué)歸納法證明中的兩個(gè)步驟體現(xiàn)了遞推思想,第一步是遞推的基礎(chǔ),第二步是遞推的依據(jù),兩個(gè)步驟缺一不可,否則就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤.(1)第一步中,n=n0中的n0不一定為1,根據(jù)題目要求,有時(shí)可為2或3等.(2)第二步中,證明n=k+1時(shí)命題成立的過程中,一定要用到歸納假設(shè),掌握“一湊假設(shè),二湊結(jié)論”的技巧.由k到k+1的證明中尋找由k到k+1的變化規(guī)律是難點(diǎn),突破難點(diǎn)的關(guān)鍵是掌握由k到k+1的證明方法.在運(yùn)用歸納假設(shè)時(shí),應(yīng)分析P(k)與P(k+1)的差異及聯(lián)系,利用拆、添、并、放、縮等方法,或從P(k)出發(fā)拼湊P(k+1),或從P(k+1)中分離出P(k),再進(jìn)行局部調(diào)整;也可考慮尋求二者的“結(jié)合點(diǎn)”,以便順利過渡,切實(shí)掌握“觀察歸納猜想證明”這一從特殊到一般的推理方法. 4-1已知等差數(shù)列an的公差d大于0,且a2,a5是方程x2-12x+27=0的兩根,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,且Tn=1-bn.(1)求數(shù)列an,bn的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,試比較與Sn+1的大小,并說(shuō)明理由.121nb解析解析(1)由已知得又因?yàn)閍n的公差大于0,所以a5a2,所以a2=3,a5=9,所以d=2,a1=1,所以an=2n-1.因?yàn)門n=1-bn,所以b1=,當(dāng)n2時(shí),Tn-1=1-bn-1,因?yàn)閎n=Tn-Tn-1=1-bn-,化簡(jiǎn),得bn=bn-1,所以bn是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,252512,27,aaa a523aa933122312121112nb132313故bn=.所以an=2n-1,bn=.(2)因?yàn)镾n=n=n2,所以Sn+1=(n+1)2,以下比較與Sn+1的大小:當(dāng)n=1時(shí),=,S2=4,所以S2,當(dāng)n=2時(shí),=,S3=9,所以S3,當(dāng)n=3時(shí),=,S4=16,所以S5,23113n23n23n1(21)2n1nb11b3211b21b9221b31b27231b41b81241b猜想:當(dāng)n4時(shí),Sn+1.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n=4時(shí),已證.假設(shè)當(dāng)n=k(kN*,k4)時(shí),Sk+1,即(k+1)2,那么,當(dāng)n=k+1時(shí),=33(k+1)2=3k2+6k+3=(k2+4k+4)+2k2+2k-1(k+1)+12=S(k+1)+1.綜合,當(dāng)n4時(shí),Sn+1.所以當(dāng)n=1,2,3時(shí),Sn+1.1nb1kb32k11kb132k32k1nb1nb1nb