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1、第第2 2講三角恒等變換與解三角形講三角恒等變換與解三角形考情分析考情分析總綱目錄考點(diǎn)一 三角恒等變換及求值考點(diǎn)二 正、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用(高頻考點(diǎn))考點(diǎn)三 正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)四 與解三角形有關(guān)的創(chuàng)新交匯問(wèn)題考點(diǎn)一 三角恒等變換及求值1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()=sin cos cos sin ;(2)cos()=cos cos sin sin ;(3)tan()=.tantan1tantan2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2=2sin cos ;(2)cos 2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2;(3)tan 2=.22

2、tan1tan.3.輔助角公式asin x+bcos x=sin(x+).22abtanba其中典型例題典型例題(1)(2017課標(biāo)全國(guó)理,15,5分)已知,tan =2,則cos= .(2)(2017江蘇,5,5分)若tan=,則tan = .(3)(2017安徽合肥第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))已知sin 2-2=2cos 2,則sin2+sin 2= .答案答案(1)(2)(3)1或 0,244163 10107585解析解析(1)因?yàn)?且tan =2,所以sin =2cos ,又sin2+cos2=1,所以sin =,cos =,則cos=cos cos+sin sin =+=.(2)因?yàn)閠an

3、=,所以tan =tan=.0,2sincos2 555544455222 55223 101041644tantan441tantan44116111675(3)由sin 2-2=2cos 2得sin 2=2+2cos 2,即2sin cos =4cos2,即cos =0或tan =2.當(dāng)cos =0時(shí),sin2+sin 2=1;當(dāng)tan =2時(shí),sin2+sin 2=.綜上,sin2+sin 2=1或.222sin2sin cossincos22tan2tantan18585方法歸納方法歸納三角恒等變換的“4大策略”(1)常值代換:特別是“1”的代換,1=sin2+cos2=tan 45等

4、;(2)項(xiàng)的分拆與角的配湊:如sin2+2cos2=(sin2+cos2)+cos2,=(-)+等;(3)降次與升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次;(4)弦、切互化:一般是切化弦.跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.(2017河南洛陽(yáng)第一次統(tǒng)考)若sin=,則cos= .31423答案答案- 78解析解析依題意得cos=-cos=-cos=2sin2-1=2-1=-.2323233214782.(2017云南第一次統(tǒng)一檢測(cè))計(jì)算= (用數(shù)字作答).cos103cos( 100 )1 sin10答案答案 2解析解析 =.cos103cos( 100 )1 sin10cos103cos801 cos80

5、cos103sin102sin402sin(1030 )2sin402考點(diǎn)二 正、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用(高頻考點(diǎn))命題點(diǎn)1.利用正、余弦定理求三角形的角;2.利用正、余弦定理求三角形的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng);3.利用正、余弦定理求三角形的面積.1.正弦定理及其變形在ABC中,=2R(R為ABC的外接圓半徑).變形:a=2Rsin A,sin A=,a b c=sin A sin B sin C等.sinaAsinbBsincC2aR2.余弦定理及其變形在ABC中,a2=b2+c2-2bccos A;變形:cos A=.2222bcabc3.三角形面積公式SABC=absin C=bcsin A=ac

6、sin B.121212典型例題典型例題(1)(2017課標(biāo)全國(guó),16,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,則B= .(2)(2017課標(biāo)全國(guó)理,17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.求c;設(shè)D為BC邊上一點(diǎn),且ADAC,求ABD的面積.37解析解析(1)解法一:由正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A,即sin 2B=sin(A+C),即sin 2B=sin(180-B),可得B=60.解法二:由余弦定理得2b=a+c,即b

7、=b,所以a2+c2-b2=ac,所以cos B=,又0B180,所以B=60.(2)由已知可得tan A=-,所以A=.在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),或c=4.由題設(shè)可得CAD=,所以BAD=BAC-CAD=.2222acbac2222abcab2222bcabc222acbac123232326答案答案(1)60故ABD面積與ACD面積的比值為=1.又ABC的面積為42sinBAC=2,所以ABD的面積為.1sin2612AB ADAC AD1233方法歸納方法歸納解三角形的一般方法(1)已知兩角和一邊,如已知A、B和c,

8、由A+B+C=求C,由正弦定理求a、b.(2)已知兩邊和這兩邊的夾角,如已知a、b和C,應(yīng)先用余弦定理求c,再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角,然后利用A+B+C=求另一角.(3)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,如已知a,b和A,應(yīng)先用正弦定理求B,由A+B+C=求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多種情況.(4)已知三邊a、b、c,可應(yīng)用余弦定理求A、B、C.跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.(2017浙江,14,6分)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.點(diǎn)D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),BD=2,連接CD,則BDC的面積是 ,cosBDC= .解析解析AB=AC=4,BC=2,cosABC=,ABC為三角形

9、的內(nèi)角,sinABC=,sinCBD=,故SCBD=22=.BD=BC=2,ABC=2BDC.又cosABC=,2cos2BDC-1=,得cos2BDC=,又BDC為銳角,cosBDC=.2222ABBCACAB BC1415415412154152141458104答案答案 ; 1521042.(2017課標(biāo)全國(guó)理,17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,ABC的面積為2,求b.2B解析解析(1)由題設(shè)及A+B+C=得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式兩邊平方,整理得1

10、7cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去)或cos B=.(2)由cos B=得sin B=,故SABC=acsin B=ac.又SABC=2,則ac=.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2=4.所以b=2.2B151715178171241717217215117考點(diǎn)三 正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用解三角形應(yīng)用題的常考類型(1)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;(2)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形,這時(shí)需作出這些三角形

11、,先解夠條件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有時(shí)需設(shè)出未知量,從幾個(gè)三角形中列出方程(組),解方程(組)得出所要求的解.典型例題典型例題(2017福建福州綜合質(zhì)量檢測(cè))如圖,小明在山頂A處觀測(cè)到一輛汽車在一條水平的公路上沿直線勻速行駛,小明在A處測(cè)得公路上B,C兩點(diǎn)的俯角分別為30,45,且BAC=135.若山高AD=100 m,汽車從B點(diǎn)到C點(diǎn)歷時(shí)14 s,則這輛汽車的速度約為 m/s(精確到0.1).參考數(shù)據(jù):1.414,2.236.25解析解析因?yàn)樾∶髟贏處測(cè)得公路上B,C兩點(diǎn)的俯角分別為30,45,所以BAD=60,CAD=45.設(shè)這輛汽車的速度為v m/s,則BC=14v,在RtA

12、DB中,AB=200.在RtADC中,AC=100.在ABC中,由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2ACABcosBAC,所以(14v)2=(100)2+2002-2100200cos 135,所以v=22.6,所以這輛汽車的速度約為22.6 m/s.cosADBADcos60ADcosADCAD100cos4522250 107答案答案22.6方法歸納方法歸納解三角形中的實(shí)際問(wèn)題的四個(gè)步驟(1)分析題意,準(zhǔn)確理解題意,分清已知與所求,尤其要理解題中的有關(guān)名詞、術(shù)語(yǔ),如坡度、仰角、俯角、方位角等;(2)根據(jù)題意畫(huà)出示意圖,并將已知條件在圖形中標(biāo)出;(3)將所求解的問(wèn)題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形

13、中,通過(guò)合理運(yùn)用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識(shí)正確求解;(4)檢驗(yàn)解出的結(jié)果是否具有實(shí)際意義,對(duì)結(jié)果進(jìn)行取舍,得出正確答案.跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)(2017廣東惠州第三次調(diào)研)如圖所示,在一個(gè)坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25 m的建筑物CD,為了測(cè)量該山坡相對(duì)于水平地面的坡角,在山坡的A處測(cè)得DAC=15,沿山坡前進(jìn)50 m到達(dá)B處,又測(cè)得DBC=45,根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cos = .答案答案 -13解析解析由DAC=15,DBC=45可得BDA=30,DBA=135,BDC=90-(15+)-30=45-,由三角形內(nèi)角和定理可得DCB=180-(45-)-45=90+,根據(jù)正弦定理可得=,即DB

14、=100sin 15=100sin(45-30)=25(-1),又=,即=,得cos =-1.50sin30sin15DB2325sin4525 2( 31)sin(90)25sin4525 2( 31)cos3考點(diǎn)四 與解三角形有關(guān)的創(chuàng)新交匯問(wèn)題正、余弦定理作為解題工具,常與三角函數(shù)、向量、不等式等知識(shí)交匯命題,題型有選擇題、填空題,也有解答題.典型例題典型例題(2017山東,17,12分)在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知b=3,=-6,SABC=3,求A和a.解析解析因?yàn)?-6,所以bccos A=-6,又SABC=3,所以bcsin A=6,因此tan A=-1,又0

15、A0知0ABC=10.cos 60=(AB+AC)2-100=3ABAC,而ABAC,10sin45sin60CB6222cos45CBDBCB DB104 3221002ABACAB AC22ABAC所以,解得AB+AC20,故AB+AC的取值范圍為(10,20.2()1003ABAC22ABAC1.(2017廣東惠州第三次調(diào)研)在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,已知b=2,c=2,且C=,則ABC的面積為 .24隨堂檢測(cè)隨堂檢測(cè)答案答案 +13解析解析由=sin B=,又cb,且B(0,),所以B=,所以A=,所以S=bcsin A=22sin=22=+1.sinbBsinc

16、CsinbCc1267121212271212262432.(2017貴州貴陽(yáng)檢測(cè))已知ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,C=120,a=2b,則tan A= .答案答案 32解析解析由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=4b2+b2-22bb=7b2,c=b,cos A=,sin A=,tan A=.1272222bcabc2227427bbbbb 2721 cos A41737sincosAA323.(2017河北石家莊質(zhì)量檢測(cè)(二)在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=,b=2,B=45,tan Atan C1,則角C的大小為 .6答案答案75解析解

17、析由正弦定理,知=,即=,解得sin A=,又tan Atan C1,故A為銳角,所以A=60,所以C=180-A-B=75.sinaAsinbB6sin A2sin45324.(2017四川成都第一次診斷性檢測(cè))已知ABC中,AC=,BC=,ABC的面積為.若線段BA的延長(zhǎng)線上存在點(diǎn)D,使BDC=,則CD= .26324答案答案 3解析解析因?yàn)镾ABC=ACBCsinBCA,即=sinBCA,所以sinBCA=.因?yàn)锽ACBDC=,所以BCA=,所以cosBCA=.在ABC中,AB2=AC2+BC2-2ACBCcosBCA=2+6-2=2,所以AB=,所以ABC=,在BCD中,=,即=,解得CD=.12321226124632263226sinBCBDCsinCDABC62212CD3