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1、光學(xué)衍射和干涉現(xiàn)象的計算機仿真 光學(xué)衍射和干涉現(xiàn)象的計算機仿真 目 錄 摘要 2 Abstract 3 引言 4 一 光的衍射現(xiàn)象的仿真 5 1．1光的衍射現(xiàn)象 5 1．2惠更斯—菲涅耳原理 5 1．3夫朗和費衍射 7 1．3．1夫朗和費矩形孔衍射理論 7 1．3．2夫朗和費矩形孔衍射實驗的MATLAB仿真 8 1．3．3夫朗和費圓孔衍射理論 10 1．3．4夫朗和費圓孔衍射實驗的MATLAB仿真 11 1．3．5夫朗和費單縫衍射理論 12 1．3．6 夫朗和費單縫衍射實驗的MATLAB仿真 13 1．3．7 夫朗和費多縫衍射理論 15 1．

2、3．8 夫朗和費多縫衍射實驗的MATLAB仿真 16 二 光的干涉現(xiàn)象的仿真 18 2．1 光的干涉理論分析 18 2．2 楊氏雙縫干涉的MATLAB仿真 19 三 結(jié)束語 22 參考文獻 22 致謝 22  光學(xué)衍射和干涉現(xiàn)象的計算機仿真 摘要 介紹了夫朗和費矩形孔、圓孔、單縫和多縫四種衍射，并通過MATLAB軟件對其做了計算機仿真，獲得了衍射圖樣和光強分布圖。同時還分析了光的干涉的基本理論，通過MATLAB軟件對楊氏雙縫干涉實驗進行了計算機仿真，獲得了干涉圖樣和光強分布圖。并對改變實驗參數(shù)所獲得的條紋圖樣進行了對比分析，得出的結(jié)果和實際理論推導(dǎo)都相一致，為

3、實際中的理論分析和實驗教學(xué)提供了方便。 關(guān)鍵詞：衍射，干涉，MTALAB，計算機仿真. Abstract ? ? Introduced Fraunhofer rectangular hole, hole, slit and multiple slit diffraction of four and their made by MATLAB software, computer simulation and optical diffraction patterns obtained intensity distribution. Also analyzed the basic

4、 theory of interference of light through the MATLAB software on Young's double slit experiment, computer simulation, obtained interference pattern and intensity distribution. And changing the experimental parameters obtained fringe pattern were compared, the results and the actual theoretical analys

5、is are consistent with the practice of teaching theory and experiment provides a convenient. Keyword：Diffraction ,Interference, MATLAB,Computer simulation. 引言 光的干涉和衍射是光學(xué)里最基本也是最重要的兩種特性，為了加深對衍射和干涉的了解，其中的一些概念、原理往往需要用實驗來進行驗證，但是在現(xiàn)實的教學(xué)中，很多實驗參數(shù)是現(xiàn)有設(shè)備所不能提供的，這就給實驗操作帶來了極大的限制，從而不能滿足需求。因此，開創(chuàng)新的教學(xué)模式是非常有必要，

6、也是迫在眉睫的事。為了解決實驗硬件設(shè)備所不能提供的需要問題，計算機仿真就成了一種新的趨勢。方便，準確，是軟件仿真的突出點。它能夠準確的把實驗理論數(shù)據(jù)通過計算機仿真展現(xiàn)，避免了一些貴重儀器的經(jīng)常性使用，并且能夠把一些復(fù)雜的理論概念形象生動的展現(xiàn)出來，讓學(xué)生更容易接受和掌握。 MATLAB擁有強大的數(shù)值計算和圖形處理功能，其中很多的指令表達式與數(shù)學(xué)、工程中常用的形式相似，簡單易學(xué)。本文就通過MATLAB強大的科學(xué)數(shù)值計算和出色的圖形處理功能對夫朗和費衍射和楊氏雙縫干涉實驗進行了分析和圖樣仿真。 一 光的衍射現(xiàn)象的仿真 1．1光的衍射現(xiàn)象 光的衍射是指光波在傳播過程中遇到障礙物時，所發(fā)生的

7、偏離直線傳播的現(xiàn)象。光的衍射，也可以叫光的繞射，既光可繞過障礙物，傳播到障礙物的幾何陰影區(qū)域中，并在障礙物后的觀察屏上呈現(xiàn)出光強的不均勻分布。通常將觀察屏上的不均勻光強分布稱為衍射圖樣。 圖1-1光的衍射現(xiàn)象 讓一個足夠亮的點光源S發(fā)出的光透過一個圓孔Σ，照射到屏幕K上，并且逐漸改變圓孔的大小，就會發(fā)現(xiàn)：當(dāng)圓孔足夠大時，在屏幕上看到一個均勻光斑，光斑的大小就是圓孔的幾何投影；隨著圓孔逐漸減小，起初光斑也相應(yīng)的變小，而后光斑開始模糊，并且在圓斑外面產(chǎn)生若干相間的同心環(huán)帶，當(dāng)使用白色光源時，這是一組色彩相間的彩色環(huán)帶；此后再使圓孔變小，光斑及圓環(huán)不但不跟著變小，反而會增大起來。

8、這就是光的衍射現(xiàn)象。 光的衍射現(xiàn)象與光的干涉現(xiàn)象就其實質(zhì)來講，都是相干光疊加引起的光強的重新分布，所不同之處在于，干涉現(xiàn)象是有限個相干光波的疊加，而衍射現(xiàn)象則是無限多個相干光波疊加結(jié)果。因此，對衍射現(xiàn)象的理論處理，從本質(zhì)上來說與干涉現(xiàn)象相同，但是由于衍射現(xiàn)象的特殊性，在書許上遇到了很大的困難，以至許多有實際意義的問題得不到嚴格的解，因而，實際的衍射理論都是一些近似解法。這里就介紹一下惠更斯—菲涅耳原理。 1．2 惠更斯—菲涅耳原理 最早成功地用波動理論解釋衍射現(xiàn)象的是菲涅耳，他將惠更斯原理用光的干涉理論加以補充，并予以發(fā)展。 惠更斯原理是描述波動傳播過程的一個重要原理，其主要內(nèi)容是

9、：如圖1-2所示，一波源S，在某一時刻所產(chǎn)生的波面陣面為Σ，則Σ面上的每一點都可以看作是一個次波源，它們發(fā)出球面次波，其后某一時刻的波面陣Σ’，既是該時刻這些球面次波的包跡面，波陣面的法線方向就是該波的傳播方向?；莞乖砟軌蚝芎玫慕Y(jié)實光的直線傳播，光的反射和折射方向。 菲涅耳在研究了光的干涉現(xiàn)象后，考慮到次波來自于同一光源，應(yīng)該相干，因而波陣面Σ’一點的光振動應(yīng)該是在光源和該點之間任一波面上的各點發(fā)出的次波場疊加的結(jié)果。這就是惠更斯—菲涅耳原理。 利用惠更斯—菲涅耳原理可以解釋衍射現(xiàn)象：在任意給定的時刻，任一波面上的點都起著次波波源的作用，它們各自發(fā)出球面次波，障礙物以外任意點上的光強分

10、布既是沒有被阻擋的各個次波源發(fā)出的次波在該點相干疊加的結(jié)果。 根據(jù)惠更斯—菲涅耳原理，圖1-3所示，單色光源S對于空間的任意點P的作用，可以看作是S和P之間任一波面Σ上各點發(fā)出的次波在P點相干疊加的結(jié)果。假設(shè)Σ波面上任意點Q的光場復(fù)振幅為Σ(Q)，在Q點取一個面元，則面元上的次波源對P點光場的貢獻為 (1-1) 圖1-2惠更斯原理 圖1-3單色點光源S對P點光作用 式中，C是比例系數(shù)；r=,K()稱為傾斜因子，它是元波面法線和的夾角（稱為衍射角）有關(guān)的量，按照菲涅耳的假設(shè)：當(dāng)=0時，K有最大值；隨著的增大，K迅速減??；當(dāng)/2時，K=0；

11、因此，波面Σ上只有ZZ’范圍內(nèi)的部分對P點光振動有貢獻。所以P點的光場復(fù)振幅為 （1-2） 這就是惠更斯—菲涅耳原理的數(shù)學(xué)表達式，稱為惠更斯—菲涅耳原理公式。 當(dāng)S是點光源時，Q點的光場復(fù)振幅為 = （1-3） 式中，R是光源到Q點的距離。在這種情況下，可以從積分號中提出來，但是由于K（）的具體形式未知，不可能由（1-1）式確切地確定值。因此，從理論上來講，這個原理是不夠完善的。 1．3夫朗和費衍射 根據(jù)光源、障礙物、屏幕三者位置關(guān)系，可將衍射分為二種：一種是光源屏幕與障 物之間的距離都為無限遠時，

12、這種衍射稱為夫朗和費衍射。如圖所示： 圖1-4該為夫朗和費衍射裝置圖， 透鏡L1是將點光源S發(fā)出的光變?yōu)槠叫泄猓哥RL2是使通過夾縫的平行光會聚到屏幕上。 由于夫朗和費衍射在實驗室中較為多見，而且在理論上也比較簡單，這里就分析下夫朗和費衍射的基本理論和運用MATLAB軟件對其衍射圖樣進行仿真。 1．3．1夫朗和費矩形孔衍射理論 對于圖1-4所示的夫朗和費衍射裝置，若衍射孔是

13、矩形孔，則在透鏡焦平面上觀察到的衍射圖樣如圖 所示，這個衍射圖樣的主要特征是衍射亮斑集中分布在兩相互垂直的方向上，并且X軸上的亮斑寬度與Y軸上亮斑寬度之比，恰與矩形孔在兩個軸上的寬度關(guān)系相反。根據(jù) (1-4) 可知，透鏡焦平面上P（x,y）點的光場復(fù)振幅為 (1-5) 式中，=(0,0)=Cab是觀察屏中心點P0處的光場復(fù)振幅；a,b分別是矩形孔沿x1、y1軸方向的寬度；、分別為 則在P(x,y)點的光強度為 (1-6) 式中，I0是P0點的

14、光強度，且有。 1．3．2夫朗和費矩形孔衍射實驗的MATLAB仿真 運行MATLAB，輸入以下程序： lamda=500e-6; a=1e-3; b=1e-3; f=1; m=600; ym=6000*lamda*f; ys=linspace(-ym,ym,m); xs=ys; n=255; for i=1:m a; sinth1=xs(i)/sqrt(xs(i)^2+f^2); sinth2=ys./sqrt(ys.^2+f^2); angleA=pi*a*sinth1/lamda; angleB=pi*b*sinth2./lamda; B(i,:)=(si

15、n(angleA).^2.*sin(angleB).^2.*6000./(angleA.^2.*angleB.^2)); end subplot(2,1,1); image(ys,xs,B); colormap(gray(n)); subplot(2,1,2); plot(ys,B(m/2,:),'k'); 運行該程序，可獲得夫朗和費矩形孔衍射圖樣和光強分布圖，如圖1-5(a)、圖1-5(b)所示： 圖1-5 a=mm,b=mm, =500nm的夫朗和費矩形孔衍射圖樣（a） 和光強分布圖(b) 圖1-6 a=mm,b=mm,=500nm的夫朗和費矩形孔衍射圖(a)

16、和光強分布圖(b) 由此可以得出以下幾點結(jié)論： 1． 矩形孔衍射的光能量主要集中在中央亮斑處。 2． 通過圖1-5和圖1-6的對比可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)矩形孔面積增大時，亮斑的面積反而減小。通過理論推導(dǎo)時，知中央亮斑的面積公式為 （1-7） 從該式可看出，中央亮斑面積是與矩形孔面積成反比的，從而也可以說明該實驗的仿真圖樣與實際理論推導(dǎo)結(jié)果是一致的。 1．3．3夫朗和費圓孔衍射理論 夫朗和費圓孔衍射的討論方法與矩形孔衍射的討論方法相同，只是由于圓孔結(jié)構(gòu)的幾何對稱姓，采用極坐標處理更加方便。 如圖1-7所示，設(shè)圓孔半徑為a，圓孔中心Q1位于光軸上，則圓孔上任一點Q的

17、位置坐標、，與相應(yīng)的直角坐標x1,y1的關(guān)系為 類似地，觀察屏上任一點P的位置坐標、與相應(yīng)的直角坐標的關(guān)系為 圖1-7夫朗和費圓孔衍射光路 由此，P點的光場復(fù)振幅按照式，在經(jīng)過坐標變換后為 （1-8） 式中= 是衍射方向與光軸的夾角，稱為衍射角。在這里，已利用了sin的近似關(guān)系。 根據(jù)零階貝塞爾函數(shù)的積分表示式 可將（1-8）式變換為

18、 （1-9） 這里已經(jīng)利用了為偶函數(shù)的性質(zhì)。再由貝塞爾函數(shù)的性質(zhì) （1-10） 式中，為一階貝塞爾函數(shù)，可得 （1-11） 因此，P點的光強度為 = （1-12） 式中，I0=S2(A/f)2是光軸上P0點的光強；S=a2是圓孔的面積；是圓孔邊緣與中心點在同一方向上光線間的相位差。（1

19、-12）就是夫朗和費圓孔衍射的光強度分布公式，它是光學(xué)儀器理論中一個十分重要的公式。 1．3．4夫朗和費圓孔衍射實驗的MATLAB仿真 運行MATLAB，輸入以下仿真程序： f=500;a=0.06; lamda=500e-6; x=linspace(-20,20,300);[X,Y]=meshgrid(x); theta=atan(sqrt(X.^2+Y.^2)/f); alpha=2*pi*a*sin(theta)/lamda; I=(2*besselj(1,alpha)./alpha).^2; Iw=zeros(300,300); Iw(:,:)=I; I0=20;

20、Iw=15*Iw; imshow(Iw); 運行仿真程序可獲得夫朗和費圓孔衍射圖樣，如圖1-8、圖1-9所示： 圖1-8 a=0.06mm,=500nm的夫朗和費圓孔衍射圖樣 圖1-9 a=0.1mm, =500nm的夫朗和費圓孔衍射圖樣 由仿真獲得的圖1-8和圖1-9可以看出，夫瑯禾費圓孔衍射圖樣為同心圓環(huán)，明暗交錯，不等距。能量主要分布在內(nèi)亮斑中，稱為愛里斑。由愛里斑的半徑計算公式知，當(dāng)入射光的波長一定時，圓孔半徑越大，愛里斑越小。這與實驗現(xiàn)象相吻合。 1．3．5夫朗和費單縫衍射理論 前面已經(jīng)介紹過夫朗和費矩形孔衍射，如果矩形孔一個方向

21、的尺寸比另一個方向大得多，如b>>a，則該矩形孔的衍射就變成一個單縫衍射。這事，沿y方向的衍射效應(yīng)不明顯，只在x方向有亮暗變化的衍射圖樣。按照（1-2）式，衍射屏上P點的光場復(fù)振幅為 (1-13) 圖1-10 單縫夫朗和費衍射裝置 式中，=Ca是觀察屏中心點P0點處的光場復(fù)振幅。相應(yīng)P點的光強度為 (1-14) 式中，I0= ，為衍射角。 1．3．6 夫朗和費單縫衍射實驗的MATLAB仿真 用MATLAB對其進行仿真，仿真程序如下： f=500;a=0.06; lamda=500e-6; x=linspace(

22、-10,10,600); theta=atan(x/f); alpha=2*pi*a*sin(theta)/lamda; I=(sinc(alpha)).^2; Iw=zeros(60,600); for i=1:60 Iw(i,:)=I; end Iw=Iw*256; figure;subplot(2,1,1);image(alpha,I,Iw); colormap(gray); subplot(2,1,2);plot(alpha,I); 運行該程序可獲得夫朗和費單縫衍射圖樣和光強分布圖，如圖1-11(a)、圖1-11(b)所示，圖1-11、圖1-12和圖1-13為

23、均為500nm，縫寬a分別為0.06mm、0.1mm和1mm的條紋圖樣和光強分布圖。 圖1-11 a=0.06mm, =500nm的夫朗和費單縫衍射圖樣(a)和光強分布圖(b) 圖1-12 a=0.1mm, =500nm的夫朗和費單縫衍射圖樣(a)和光強分布圖(b) 圖1-13 a=1mm, =500nm的夫朗和費單縫衍射圖樣(a)和光強分布圖(b) 通過獲得的圖1-11、圖1-12、圖1-13可看出： （1）當(dāng)入射光波長一定時，單縫寬度 a 越小，衍射條紋越寬，衍射現(xiàn)象越顯著； （2）當(dāng)縫寬a遠大于波長時，衍射不明顯，可視為為直線傳播。 以

24、上仿真結(jié)果和理論結(jié)果都相符，仿真效果非常理想。 1．3．7 夫朗和費多縫衍射理論 所謂多縫是指在一塊不透光的屏上，刻有N條等間距、等寬度的通光夾縫。夫朗和費多縫衍射的裝置如圖1-7所示，其每條夾縫均平行于y1方向，沿x1方向的縫寬為a，相鄰夾縫的間距為d，在研究多縫衍射時，必須注意縫后透鏡L2的作用。由于L2的存在，使得衍射屏上每個單縫的衍射條紋位置與縫的位置無關(guān)，既縫垂直于光軸方向平移時，其衍射條紋的位置不變，所以，利用平行光照射多縫時，其每一個單縫都要產(chǎn)生自己的衍射，形成各自的一套衍射條紋。當(dāng)每個單縫等寬時，各套衍射條紋在透鏡焦平面上完全重疊，其總光強分布為它們的干涉疊加。 假設(shè)

25、圖1-14中的S是線光源，則N個夾縫受到平面光波的垂直照射。如果選取最下面的夾縫中心作為x1的坐標原點，并只計x方向的衍射，則按照(1-8)式，觀察屏上P點的光場復(fù)振幅為 (1-15) 式中 它表示在x1方向上相鄰的兩個間距為d的平行等寬夾縫，在P點產(chǎn)生光場的相位差。相應(yīng)于P點的光強度為 (1-16) 式中，I0=[Aab/(f)]2是單縫衍射情況下P0點的光強。 圖1-14 夫朗和費多縫衍射裝置圖 由上述討論可以看出，平行光照射多縫

26、時，其每個夾縫都將在P點產(chǎn)生衍射場，由于這些光場均來自同一光源，彼此相干，將因干涉效應(yīng)，使觀察屏上的光強度重新分布，因此，多縫衍射現(xiàn)象包含有衍射和干涉雙重效應(yīng)。 1．3．8 夫朗和費多縫衍射實驗的MATLAB仿真 接下來就通過MATLAB對多縫衍射的圖樣進行仿真，其仿真程序如下: lam=500e-6;N=4; a=2e-3;z=5;d=5*a; xm=2*lam*z/a;y0=xm; n=1001; x0=linspace(-xm,xm,n); for i=1:n sinphi=x0(i)/z; alpha=pi*a*sinphi/lam; beta=pi*d*si

27、nphi/lam; B(i,:)=(sin(alpha)./alpha).^2*(sin(N*beta)./sin(beta)).^2; B1=B/max(B); end NC=255; Br=(B/max(B))*NC; subplot(1,2,1) image(y0,x0,Br); colormap(gray(NC)); subplot(1,2,2); plot(B1,x0) 運行該程序可獲得夫朗和費多縫衍射圖樣和光強分布圖，如圖1-15(a)、1-15(b)所示，圖1-15和圖1-16分別為夾縫N=4，=500nm和N=8，=500nm的衍射圖樣和光強分布圖。

28、 圖1-15 N=4, =500nm夫朗和費多縫衍射圖樣(a)和光強分布圖(b) 圖1-16 N=8, =500nm夫朗和費多縫衍射圖樣(a)和光強分布圖(b) 由以上獲得的仿真圖樣可知，隨著夾縫數(shù)N的增大，衍射圖樣有兩大變化，一是光的能量在向主極大的位置集中；二是亮條紋變得更加細亮了。 通過上述分析可看出，仿真圖樣所得出的結(jié)論與實際理論是相一致的。 二 光的干涉現(xiàn)象的仿真 2.1 光的干涉理論分析 光的干涉是指兩束或多束滿足頻率相同，振動方向相同，相位差固定這3個條件的光在空間相遇時，在重疊區(qū)域內(nèi)形成穩(wěn)定的強弱強度分布的現(xiàn)象。 例如，圖2-1所

29、示兩列單色線偏振光 （2-1） （2-2） 在P點相遇，E1和E2振動方向間的夾角為， 則在P點處的總光強為 圖2-1 兩列光波在空間重疊 （2-3） 式中，I1、I2是二光束的光強，是二光束的相位 差，且有 由此可見，二光束疊加后的總強度并不等于這兩列波的強度和，而是多了一項交叉項I12，

30、它放映了這兩束光的干涉效應(yīng)，通常稱為干涉項。干涉現(xiàn)象就是指這兩束光在重疊區(qū)內(nèi)形成的穩(wěn)定的光強分布。所謂穩(wěn)定，是指用肉眼或記錄儀器能觀察到或記錄到條紋分布，既在一定時間內(nèi)存在著相對穩(wěn)定的條紋分布。顯然，如果干涉項I12遠小于兩光束光強中較小的一個，就不易觀察到干涉現(xiàn)象；如果兩束光的相位差隨時間變化，使光強度條紋圖樣產(chǎn)生移動，且當(dāng)條紋移動速度快到肉眼或記錄儀器分辨不出條紋圖樣時，就觀察不到干涉現(xiàn)象了。 在能觀察到穩(wěn)定的光強分布的情況下，滿足 m=… 的空間位置為光強極大值，且光強極大值Im為 (2-4) 滿足 m=… 的空間位置為光強極小值，且光強極小值Im為

31、 (2-5) 當(dāng)兩束光強相等，I1=I2=I0,相應(yīng)的極大值和極小值分別為 (2-6) (2-7) 2．2 楊氏雙縫干涉的MATLAB仿真 這里就以比較經(jīng)典的干涉實驗，楊氏雙縫干涉實驗作分析和對其圖樣用MATLAB進行仿真。 光強強度為: (2-8) 其中 為兩列光波在P點位相差. 設(shè)兩相干光源到接收屏上P點距離分別為 其中D為雙縫到接受屏的距離, a為雙縫間距. 因此相位差可表示為 兩相鄰亮條紋的間距 這里就討論下當(dāng)I1=I2時

32、的光強分布，既有 (2-9) 運行MATLAB，輸入以下程序： lam=500e-9; a=2e-4;D=1; ym=5*lam*D/a;xs=ym; n=1001;ys=linspace(-ym,ym,n); for i=1:n r1=sqrt((ys(i)-a/2).^2+D^2); r2=sqrt((ys(i)+a/2).^2+D^2); phi=2*pi*(r2-r1)./lam; B(i,:)=sum(4*cos(phi/2).^2); end N=255; Br=(B/4.0)*N; subplot(1,2,1);

33、 image(xs,ys,Br); colormap(gray(N)); subplot(1,2,2); plot(B,ys) 運行該程序可獲得楊氏雙縫干涉圖樣和光強分布圖，如圖2-2(a)和圖2-2(b)所示： 圖2-2 d=0.2mm,D=1m,=500nm的楊氏雙縫干涉圖樣和光強分布圖 圖2-3 d=0.3mm,D=1m,=500nm的楊氏雙縫干涉圖樣(a)和光強分布圖(b) 由圖可看出楊氏雙縫干涉實驗的圖樣是明暗相間的條紋，當(dāng)入射光波長和光柵到屏的距離D不變，相鄰亮條紋之間的間距隨雙縫間的距離d的增大而減小。光強分布圖可以看出它是以0點所對應(yīng)的水平線為

34、對稱的，相鄰和之間的距離相等。仿真結(jié)果和實際理論推導(dǎo)相一致。 三 結(jié)束語 介紹了夫朗和費衍射的理論，借助MATLAB對其進行仿真，并同時分析了光的干涉理論和對楊氏雙縫干涉實驗進行了仿真，通過改變實驗各項參數(shù)，獲得了不同的衍射圖樣和光強分布圖，與實際理論推導(dǎo)相一致。通過計算機仿真，可以輕松得到各類衍射和干射實驗的條紋圖樣和光強分布圖，簡單明了，為理論教學(xué)除去了大量的繁雜工作，讓學(xué)生能夠更容易吸收，同時也充分的提高了實驗理論教學(xué)的效率。 參考文獻 [1] 母國光,戰(zhàn)元令，光學(xué)[M] . 北京:人民教育出版社,1987 [2] 王仕璠，《信息光學(xué)理論與應(yīng)用》，北京郵電大學(xué)出版社，2004年3月 [3] 宋清 熊萬杰.光學(xué)現(xiàn)象的計算機模擬[J].中山大學(xué)學(xué)報論叢，2005年第05卷第3期 [4] 崔祥霞、楊兆華、陳君，《基于MATLAB的光學(xué)衍射與干涉實驗仿真》，泰山學(xué)院學(xué)報, 2009年03期 [5] MATLAB中文論壇. 22