《全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版5》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版5（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、1985年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第一試1選擇題(本題滿分36分，每小題答對得6分答錯得0分，不答得1分) 假定有兩個命題： 甲：a是大于0的實數(shù)；乙：ab且a1b1那么( ) A甲是乙的充分而不必要條件 B甲是乙的必要而不充分條件 C甲是乙的充分必要條件 D甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件 PQ為經(jīng)過拋物線y2=2px焦點的任一弦，MN為PQ在準(zhǔn)線l上的射影，PQ繞l一周所得的旋轉(zhuǎn)面面積為S1，以MN為直徑的球面積為S2，則下面結(jié)論中，正確的是( ) AS1S2 BS1S2，有時S1=S2，有時S1S2 已知方程arccosarccos()=arcsinx，則( ) Ax= Bx= Cx=

2、0 D這樣的x不存在 在下面四個圖形中，已知有一個是方程mx+ny2=0與mx2+ny2=1(m0，n0)在同一坐標(biāo)系中的示意圖，它應(yīng)是( ) 設(shè)Z、W、為復(fù)數(shù)，|1，關(guān)于Z的方程Z=W有下面四個結(jié)論：Z=是這個方程的解； 這個方程只有一解；這個方程有兩解； 這個方程有無窮多解則( ) A只有、正確 B只有、正確 C只有、正確 D以上A、B、C都不正確 設(shè)0ab且a1b1那么( ) A甲是乙的充分而不必要條件 B甲是乙的必要而不充分條件 C甲是乙的充分必要條件 D甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件解：由于ab且a1b1成立時，必有a0，bS2 BS1S2，有時S1=S2，有時S1S2解：設(shè)

3、PQ與x軸夾角=，|PF|=1，|QF|=2，則|PM|=1，|QN|=2則S1=(PM+QN)PQ=(1+2)2，S2=|MN|2=(1+2)2sin2 S1S2，當(dāng)且僅當(dāng)=90時等號成立選C 已知方程arccosarccos()=arcsinx，則( ) Ax= Bx= Cx=0 D這樣的x不存在 解：即arcsinx=2 arccos設(shè)arccos=，則cos=，sin= sin2=2sincos=即2為銳角2故選D 在下面四個圖形中，已知有一個是方程與 (m0，n0)在同一坐標(biāo)系中的示意圖，它應(yīng)是( )解：由y2=x，若m、n均為正數(shù)，則此拋物線開口向左，且mx2+ny2=1表示橢圓，

4、mn，|1故否定B、D 若m、n符號相反，則拋物線開口向右且mx+ny2=0圖形是雙曲線，m0，m=n故選A 設(shè)Z、W、為復(fù)數(shù)，|1，關(guān)于Z的方程Z=W有下面四個結(jié)論：Z=是這個方程的解； 這個方程只有一解；這個方程有兩解； 這個方程有無窮多解則( ) A只有、正確 B只有、正確 C只有、正確 D以上A、B、C都不正確 解：原式兩端取共軛：Z=，乘以再取共軛：|l|2Z=W，相加，由|l|1，得方程有唯一解Z=選A 設(shè)0a1，若x1=a，x2=a，x3=a，xn=a，則數(shù)列xn( ) A是遞增的 B是遞減的 C奇數(shù)項遞增，偶數(shù)項遞減 D偶數(shù)項遞增，奇數(shù)項遞減 解：作y=ax的圖象，在圖象上取點

5、x1，x2，x3，x4，由0a1，知x1x3a，得BAA=BA，B=2A，C=4A或A+BA=(不可能) B= 方程2x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=3的非負(fù)整數(shù)解共有 組解：x1=1時，x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=1，共有9解；x1=0時，x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=3，共有9+A+C=9+72+84=165解 共有174解 在已知數(shù)列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相鄰若干個數(shù)之和能被11整除的數(shù)組共有 解：把這些數(shù)mod 11得1，4，3，1，5，3，1，3，3，1依次累加，得：

6、1，5，2，1，6，3，2，5，2，1其中相等的和有7對(3對1，3對2，1對5)，這表示原數(shù)列中共有7組相鄰數(shù)之和能被11整除 對任意實數(shù)x，y，定義運算x*y為x*y=ax+by+cxy，其中a、b、c為常數(shù)，等式右端中的運算是通常的實數(shù)加法、乘法運算現(xiàn)已知1*2=3，2*3=4，并且有一個非零實數(shù)d，使得對于任意實數(shù)都有x*d=x，則d= 解：ax+bd+cxd=x取x=0，代入得，bd=0，但d0，故b=0a+2b+2c=3，2a+3b+6c=4a=5，c=1取x=1代入，得d=4經(jīng)驗算：x*y=5xxy，對于一切x，有x*4=5x4x=x成立故d=4第二試(本試共有4題，每題滿分15

7、分)1在直角坐標(biāo)系xoy中，點A(x1，y1)和點B(x2，y2)的坐標(biāo)均為一位的正整數(shù)OA與x軸正方向的夾角大于45，OB與x軸正方向的夾角小于45，B在x軸上的射影為B，A在y軸上的射影為A，OBB的面積比OAA的面積大33.5，由x1，y1，x2，y2組成的四位數(shù)=x1103+x2102+y210+y1試求出所有這樣的四位數(shù)，并寫出求解過程解：x2y2x1y1=67x1y2且x1，y1，x2，y2都是不超過10的正整數(shù) x2y267， x2y2=72或81但x2y2，故x2y2=91舍去 x2y2=72x2=9，y2=8 x1y1=7267=5x1=1，y1=5， =19852如圖，在正

8、方體ABCDA1B1C1D1中，E是BC中點，F(xiàn)在AA1上，且A1FFA=12求平面B1EF與底面A1B1C1D1所成的二面角解：設(shè)AB=1，則BE=，A1F=，故B1E=，B1F=，EF= S=而B1EF在平面A1C1上的射影面積= cos=，即所求角=arc cos又解：設(shè)平面B1EF與平面AD1交于FG，(G在AD上)，則由平面AD1平面BC1，得FGB1E于是，延長GF、D1A1交于P，則P為截面與平面A1C1的公共點，故PB1為所求二面角的棱AG=A1H=，A1P=，PB1=作GHA1D1于H，則GH平面A1C1作HKPB1，連GK則GKH為所求二面角的平面角 HKPB1=A1B1H

9、P HK=，tanGKH=即所求角=arc tan3某足球邀請賽有十六個城市參加，每市派出甲、乙兩個隊，根據(jù)比賽規(guī)則，比賽若干天后進(jìn)行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)除A市甲隊外，其它各隊已比賽過的場數(shù)各不相同問A市乙隊已賽過多少場？請證明你的結(jié)論證明：用32個點表示這32個隊，如果某兩隊比賽了一場，則在表示這兩個隊的點間連一條線否則就不連線由于，這些隊比賽場次最多30場，最少0場，共有31種情況，現(xiàn)除A城甲隊外還有31個隊，這31個隊比賽場次互不相同，故這31個隊比賽的場次恰好從0到30都有就在表示每個隊的點旁注上這隊的比賽場次考慮比賽場次為30的隊，這個隊除自己與同城的隊外，與不同城有隊都進(jìn)行了比賽，于是，它只

10、可能與比賽0場的隊同城；再考慮比賽29場的隊，這個隊除與同城隊及比賽0場、1場(只賽1場的隊已經(jīng)與比賽30場的隊賽過1場，故不再與其它隊比賽)的隊不比賽外，與其余各隊都比賽，故它與比賽1場的隊同城；依次類推，知比賽k場的隊與比賽30k場的隊同城，這樣，把各城都配對后，只有比賽15場的隊沒有與其余的隊同城，故比賽15場的隊就是A城乙隊即A城乙隊比賽了15場4平面上任給5個點，以表示這些點間最大的距離與最小的距離之比，證明：2sin54 證明 若此五點中有三點共線，例如A、B、C三點共線，不妨設(shè)B在A、C之間，則AB與BC必有一較大者不妨設(shè)ABBC則22sin54 設(shè)此五點中無三點共線的情況 若此五點的凸包為正五邊形則其五個內(nèi)角都=108五點的連線只有兩種長度：正五邊形的邊長與對角線，而此對角線與邊長之比為2sin54 若此五點的凸包為凸五邊形則其五個內(nèi)角中至少有一個內(nèi)角108設(shè)EAB108，且EAAB，則AEB36，= =2cosE2cos36=2sin54 若此五點的凸包為凸四邊形ABCD，點E在其內(nèi)部，連AC，設(shè)點E在ABC內(nèi)部，則AEB、BEC、CEA中至少有一個角120108，由上證可知，結(jié)論成立 若此五點的凸包為三角形ABC，則形內(nèi)有兩點D、E，則ADB、BDC、CDA中必有一個角120，結(jié)論成立綜上可知，結(jié)論成立