第3章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用知識網(wǎng)絡(luò) 整體構(gòu)建要點(diǎn)歸納 主干梳理方法總結(jié) 思想構(gòu)建欄目索引 知識網(wǎng)絡(luò) 整體構(gòu)建返回 要點(diǎn)歸納 主干梳理函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)處的切線的斜率.2.曲線的切線方程利用導(dǎo)數(shù)求曲線過點(diǎn)P的切線方程時(shí)應(yīng)注意：(1)判斷P點(diǎn)是否在曲線上；(2)如果曲線yf(x)在P(x0，f(x0)處的切線平行于y軸(此時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在)，可得方程為xx0；P點(diǎn)坐標(biāo)適合切線方程，P點(diǎn)處的切線斜率為f(x0).3.利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和四則運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)，熟記基本求導(dǎo)公式，熟練運(yùn)用法則是關(guān)鍵，有時(shí)先化簡再求導(dǎo)，會給解題帶來方便.因此觀察式子的特點(diǎn)，對式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃问莾?yōu)化解題過程的關(guān)鍵.4.判斷函數(shù)的單調(diào)性(1)在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域，解決問題的過程中，只能在函數(shù)的定義域內(nèi)，通過討論導(dǎo)數(shù)的符號，來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)注意在某一區(qū)間內(nèi)f(x)0(或f(x)0)是函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為增(或減)函數(shù)的充分條件.5.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值要注意(1)極值是一個(gè)局部概念，是僅對某一點(diǎn)的左右兩側(cè)鄰近區(qū)域而言的.(2)連續(xù)函數(shù)f(x)在其定義域上的極值點(diǎn)可能不止一個(gè)，也可能沒有極值點(diǎn)，函數(shù)的極大值與極小值沒有必然的大小聯(lián)系，函數(shù)的一個(gè)極小值也不一定比它的一個(gè)極大值小.(3)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，但函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，不一定是該函數(shù)的極值點(diǎn).因此導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)僅是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件，其充要條件是加上這點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號.6.求函數(shù)的最大值與最小值(1)函數(shù)的最大值與最小值：在閉區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f(x)，在a，b上必有最大值與最小值；但在開區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f(x)不一定有最大值與最小值，例如：f(x)x3，x(1,1).(2)求函數(shù)最值的步驟一般地，求函數(shù)yf(x)在a，b上最大值與最小值的步驟如下：求函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)的極值；將函數(shù)yf(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.7.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題，關(guān)鍵在于建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型(函數(shù)關(guān)系)，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)x0，使f(x0)0，則f(x0)是函數(shù)的最值.返回 方法總結(jié) 思想構(gòu)建題型一導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在與切線方程有關(guān)的問題上.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程的關(guān)鍵是弄清楚所給的點(diǎn)是不是切點(diǎn)，常見類型有兩種：一種是求“在某點(diǎn)處的切線方程”，此點(diǎn)一定為切點(diǎn)，先求導(dǎo)，再求斜率，進(jìn)而求出切線方程；另一種是求“過某點(diǎn)的切線方程”，這種類型中的點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，可先設(shè)切點(diǎn)為Q(x1，y1)，則切線方程為yy1f(x1)(xx1)，再由切線過點(diǎn)P(x0，y0)得y0y1f(x1)(x0 x1).又已知y1f(x1)由求出x1，y1的值，即求出了過點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程.切線問題是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，在高考試題中既有選擇題、填空題，也有綜合性大題，難度一般為中等.例1已知函數(shù)f(x)xaln x(aR).(1)當(dāng)a2時(shí)，求曲線yf(x)在點(diǎn)A(1，f(1)處的切線方程；解析答案f(1)1，f(1)1, yf(x)在點(diǎn)A(1，f(1)處的切線方程為y1(x1), 即xy20.(2)求函數(shù)f(x)的極值.解析答案當(dāng)a0時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)為(0，)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無極值； 當(dāng)a0時(shí)，由f(x)0，解得xa; x(0，a)時(shí)，f(x)0，f(x)在xa處取得極小值，且極小值為f(a)aaln a，無極大值.綜上，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)無極值；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)在xa處取得極小值aaln a，無極大值.反思與感悟反思與感悟跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12，直線m：ykx9，且f(1)0.(1)求a的值；解因?yàn)閒(x)3ax26x6a，且f(1)0，所以3a66a0，得a2.解析答案(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使直線m既是曲線yf(x)的切線，又是yg(x)的切線？如果存在，求出k的值；如果不存在，說明理由.解析答案解因?yàn)橹本€m過定點(diǎn)(0,9)，先求過點(diǎn)(0,9)，且與曲線yg(x)相切的直線方程.解析答案當(dāng)x01時(shí)，g(1)12，g(x)21，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,21)，所以切線方程為y12x9；當(dāng)x01時(shí)，g(1)0，g(1)9，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,9)，所以切線方程為y9.下面求曲線yf(x)的斜率為12和0的切線方程：因?yàn)閒(x)2x33x212x11，所以f(x)6x26x12.由f(x)12，得6x26x1212，解得x0或x1.當(dāng)x0時(shí)，f(0)11，此時(shí)切線方程為y12x11；當(dāng)x1時(shí)，f(1)2，此時(shí)切線方程為y12x10.所以y12x9不是公切線.由f(x)0，得6x26x120，解析答案解得x1或x2.當(dāng)x1時(shí)，f(1)18，此時(shí)切線方程為y18；當(dāng)x2時(shí)，f(2)9，此時(shí)切線方程為y9，所以y9是公切線.綜上所述，當(dāng)k0時(shí)，y9是兩曲線的公切線.題型二應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間在區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f(x)0，那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f(x)0，那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減.解析答案反思與感悟解由題知，f(x)的定義域是(0，)，設(shè)g(x)x2ax2，二次方程g(x)0的判別式a28.解析答案反思與感悟當(dāng)x變化時(shí)，f(x)、f(x)的變化情況如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)極大值極小值反思與感悟反思與感悟求解函數(shù)yf(x)單調(diào)區(qū)間的步驟：(1)確定函數(shù)yf(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)yf(x)；(3)解不等式f(x)0，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；(4)解不等式f(x)0，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間.特別要注意定義域，寫單調(diào)區(qū)間時(shí)，區(qū)間之間用“和”或“，”隔開，絕對不能用“”連接.解析答案(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；解函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)0；當(dāng)x0時(shí)f(x)0.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，0)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，).(2)證明：當(dāng)f(x1)f(x2)(x1x2)時(shí)，x1x20.解析答案解析答案同理，當(dāng)x1時(shí)，f(x)0.當(dāng)f(x1)f(x2)(x1x2)時(shí)，不妨設(shè)x1x2，由(1)，知x1(，0)，x2(0,1).下面證明x(0,1)，f(x)f(x)，當(dāng)x(0,1)時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞減，所以x(0,1)，f(x)f(x).又因?yàn)閤2(0,1)，所以f(x2)f(x2)，從而f(x1)f(x2).因?yàn)閤1，x2(，0)，f(x)在(，0)上單調(diào)遞增，所以x1x2，即x1x20.題型三利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的一般步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)解方程f(x)0的根；(3)檢驗(yàn)f(x)0的根的兩側(cè)f(x)的符號.若左正右負(fù)，則f(x)在此根處取得極大值；若左負(fù)右正，則f(x)在此根處取得極小值；否則，此根不是f(x)的極值點(diǎn).2.求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上的最大值、最小值的方法與步驟(1)求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)將(1)求得的極值與f(a)、f(b)相比較，其中最大的一個(gè)值為最大值，最小的一個(gè)值為最小值.特別地，當(dāng)f(x)在a，b上單調(diào)時(shí)，其最小值、最大值在區(qū)間端點(diǎn)取得；當(dāng)f(x)在(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，若在這一點(diǎn)處f(x)有極大(小)值，則可以斷定f(x)在該點(diǎn)處取得最大(小)值， 這里(a，b)也可以是(，).解析答案解f(x)3x22axb，當(dāng)x2時(shí)，f(2)2，即切點(diǎn)為(2,2).又因?yàn)榍芯€斜率kf(2)8，所以，所求切線方程為y28(x2)，即8xy140.解析答案(2)求函數(shù)yf(x)在2,1上的最大值與最小值.解當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：解析答案(1)若f(x)在x2時(shí)取得極值，求a的值；因?yàn)閒(x)的定義域是(0，)，所以當(dāng)x(0,2)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(2，)，f(x)0，所以當(dāng)a4時(shí)，x2是一個(gè)極小值點(diǎn)，則a4.(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；解析答案解析答案所以g(x)在x(1，)上為增函數(shù)，題型四導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式的綜合應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)是高考的必考內(nèi)容，也是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn).考題利用導(dǎo)數(shù)作為工具，考查求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的極值與最值，參數(shù)的取值范圍等問題，若以填空題出現(xiàn)，則難度以中低檔題為主；若以解答題形式出現(xiàn)，則難度以中檔以上為主，有時(shí)也以壓軸題的形式出現(xiàn).考查中常滲透函數(shù)、不等式等有關(guān)知識，綜合性較強(qiáng).解析答案解f(x)x24ax3a2(xa)(x3a).令f(x)0，得xa或x3a.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)、f(x)的變化情況如下表：x(，a)a(a,3a)3a(3a，)f(x)00f(x)極小值極大值f(x)在(，a)和(3a，)上是減函數(shù)，在(a,3a)上是增函數(shù).當(dāng)x3a時(shí)，f(x)取得極大值，f(x)極大值f(3a)b.解析答案(2)若當(dāng)xa1，a2時(shí)，恒有|f(x)|a，試確定a的取值范圍；解f(x)x24ax3a2，其對稱軸為x2a.因?yàn)?a1，所以2aa1.所以f(x)在區(qū)間a1，a2上是減函數(shù).當(dāng)xa1時(shí)，f(x)取得最大值，f(a1)2a1；當(dāng)xa2時(shí)，f(x)取得最小值，f(a2)4a4.又因?yàn)?a1，解析答案要使f(x)0在1,3上恒有兩個(gè)相異實(shí)根，即f(x)在(1,2)，(2,3)上各有一個(gè)實(shí)根，解析答案解析答案則f(x)x24.因?yàn)閤2,1，所以f(x)0，即函數(shù)f(x)在區(qū)間2,1上單調(diào)遞減.1.函數(shù)中求參數(shù)的取值范圍問題，可以有兩種類型：一是已知函數(shù)單調(diào)性(或極值)，求參數(shù)范圍；二是已知函數(shù)最值(或恒成立)等性質(zhì)，求參數(shù)范圍.這兩種類型從實(shí)質(zhì)上講，可以統(tǒng)一為：已知函數(shù)值的變化規(guī)律，探求其參數(shù)變化范圍.2.在解決問題的過程中主要處理好等號的問題：(1)注意定義域；(2)函數(shù)在某區(qū)間上遞增(或遞減)的充要條件是：f(x)0(或f(x)0)，且f(x)不恒為零；(3)與函數(shù)最值有關(guān)問題要注意最值能否取得的情況，一般我們可以研究臨界值取舍即可.課堂小結(jié)返回