《高考數(shù)學大一輪復習 第十二章 概率、隨機變量及其分布 12.2 古典概型課件》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數(shù)學大一輪復習 第十二章 概率、隨機變量及其分布 12.2 古典概型課件（72頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、12.2古典概型第十二章概率、隨機變量及其分布基礎知識自主學習課時作業(yè)題型分類深度剖析內容索引基礎知識自主學習1.基本事件的特點基本事件的特點(1)任何兩個基本事件是 的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 的和.2.古典概型古典概型具有以下兩個特點的概率模型稱為 ，簡稱古典概型.(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件 ；(2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性 .知識梳理互斥基本事件古典概率模型只有有限個相等3.如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結果有n個，而且所有結果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是 ；如果某個事件A包括的結果有m個，那么事件A的概率P(A) .4.古典概型的概率公式古典概

2、型的概率公式P(A) .題組一思考辨析題組一思考辨析1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本事件是“發(fā)芽”與“不發(fā)芽”.()(2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個結果是等可能事件.()(3)從市場上出售的標準為5005 g的袋裝食鹽中任取一袋測其重量，屬于古典概型.()基礎自測123456(4)有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為 .()(5)從1,2,3,4,5中任取出兩個不同的數(shù)，其和為5的概

3、率是0.2.()(6)在古典概型中，如果事件A中基本事件構成集合A，且集合A中的元素個數(shù)為n，所有的基本事件構成集合I，且集合I中元素個數(shù)為m，則事件A的概率為 .()123456題組二教材改編題組二教材改編2.P127例3一個盒子里裝有標號為1,2,3,4的4張卡片，隨機地抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率是 答案解析解析抽取兩張卡片的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6種，和為奇數(shù)的事件有：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4種.解析1245633.P145A組T5袋中裝有6個白球，5個黃球，4個紅球，從中

4、任取一球，則取到白球的概率為 答案解析1245634.P134A組T6已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品.現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有一件次品的概率為_.解析答案1245630.6題組三易錯自糾題組三易錯自糾5.將2本不同的數(shù)學書和1本語文書在書架上隨機排成一行，則2本數(shù)學書相鄰的概率為 解析答案124563解析解析設兩本不同的數(shù)學書為a1，a2，1本語文書為b，則在書架上的擺放方法有a1a2b，a1ba2，a2a1b，a2ba1，ba1a2，ba2a1，共6種，其中數(shù)學書相鄰的有4種.6.(2017合肥檢測)已知函數(shù)f(x)2x24ax2b2，若a4,6,8，b3,5,7，則該函數(shù)有兩

5、個零點的概率為_.解析答案124563題型分類深度剖析1.下列試驗中，古典概型的個數(shù)為 向上拋一枚質地不均勻的硬幣，觀察正面向上的概率；向正方形ABCD內，任意拋擲一點P，點P恰與點C重合；從1,2,3,4四個數(shù)中，任取兩個數(shù)，求所取兩數(shù)之一是2的概率；在線段0,5上任取一點，求此點小于2的概率.A.0 B.1 C.2 D.3解析答案題型一基本事件與古典概型的判斷自主演練自主演練解析解析中，硬幣質地不均勻，不是等可能事件，所以不是古典概型；的基本事件都不是有限個，不是古典概型；符合古典概型的特點，是古典概型.2.(2018沈陽模擬)有兩個正四面體的玩具，其四個面上分別標有數(shù)字1,2,3,4，下

6、面做投擲這兩個正四面體玩具的試驗：用(x，y)表示結果，其中x表示第1個正四面體玩具出現(xiàn)的點數(shù)，y表示第2個正四面體玩具出現(xiàn)的點數(shù).試寫出：(1)試驗的基本事件；解答解解這個試驗的基本事件為(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4).(2)事件“出現(xiàn)點數(shù)之和大于3”包含的基本事件；解答解解事件“出現(xiàn)點數(shù)之和大于3”包含的基本事件為(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，

7、(4,2)，(4,3)，(4,4).(3)事件“出現(xiàn)點數(shù)相等”包含的基本事件.解解事件“出現(xiàn)點數(shù)相等”包含的基本事件為(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4).3.袋中有大小相同的5個白球，3個黑球和3個紅球，每球有一個區(qū)別于其他球的編號，從中摸出一個球.(1)有多少種不同的摸法？如果把每個球的編號看作一個基本事件建立概率模型，該模型是不是古典概型？解答解解由于共有11個球，且每個球有不同的編號，故共有11種不同的摸法.又因為所有球大小相同，因此每個球被摸中的可能性相等，故以球的編號為基本事件的概率模型為古典概型.(2)若按球的顏色為劃分基本事件的依據(jù)，有多少個基本事件？以這些基本事件建

8、立概率模型，該模型是不是古典概型？解答解解由于11個球共有3種顏色，因此共有3個基本事件，分別記為A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到紅球”，顯然這三個基本事件出現(xiàn)的可能性不相等，故以顏色為劃分基本事件的依據(jù)的概率模型不是古典概型.一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特點有限性和等可能性，只有同時具備這兩個特點的概型才是古典概型.思維升華思維升華典例典例 (1)(2017全國)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為題型二古典概型的求法師生共研師生共研解析解析從5張卡片中隨機

9、抽取1張，放回后再隨機抽取1張的情況如圖：解析答案(2)袋中有形狀、大小都相同的4個球，其中1個白球，1個紅球，2個黃球，從中一次隨機摸出2個球，則這2個球顏色不同的概率為_.設取出兩個球顏色不同為事件A.解析答案(3)我國古代“五行”學說認為：“物質分金、木、土、水、火五種屬性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金.”將這五種不同屬性的物質任意排成一列，設事件A表示“排列中屬性相克的兩種物質不相鄰”，則事件A發(fā)生的概率為_.解析答案1.本例(2)中，若將4個球改為顏色相同，標號分別為1,2，3,4的四個小球，從中一次取兩球，求標號和為奇數(shù)的概率.引申探究引申探究解答解解基本事件數(shù)仍為6.設

10、標號和為奇數(shù)為事件A，則A包含的基本事件為(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4種，2.本例(2)中，若將條件改為有放回地取球，取兩次，求兩次取球顏色相同的概率.解答求古典概型的概率的關鍵是求試驗的基本事件的總數(shù)和事件A包含的基本事件的個數(shù)，這就需要正確列出基本事件，基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹狀圖法，具體應用時可根據(jù)需要靈活選擇.思維升華思維升華跟蹤訓練跟蹤訓練 (2017山東)某旅游愛好者計劃從3個亞洲國家A1，A2，A3和3個歐洲國家B1，B2，B3中選擇2個國家去旅游.(1)若從這6個國家中任選2個，求這2個國家都是亞洲國家的概率；解解由題意知，從6個國家中任選

11、2個國家，其一切可能的結果組成的基本事件有：A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，B1，B2，B1，B3，B2，B3，共15個.所選兩個國家都是亞洲國家的事件所包含的基本事件有：A1，A2，A1，A3，A2，A3，共3個，解答解答(2)若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，求這2個國家包括A1但不包括B1的概率.解解從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，其一切可能的結果組成的基本事件有：A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，共

12、9個.包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：A1，B2，A1，B3，共2個，典例典例 某縣共有90個農村淘寶服務網(wǎng)點，隨機抽取6個網(wǎng)點統(tǒng)計其元旦期間的網(wǎng)購金額(單位：萬元)的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個位數(shù).(1)根據(jù)莖葉圖計算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)；題型三古典概型與統(tǒng)計的綜合應用師生共研師生共研解解由題意知，樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)解答(2)若網(wǎng)購金額(單位：萬元)不小于18的服務網(wǎng)點定義為優(yōu)秀服務網(wǎng)點，其余為非優(yōu)秀服務網(wǎng)點，根據(jù)莖葉圖推斷這90個服務網(wǎng)點中優(yōu)秀服務網(wǎng)點的個數(shù)；解答(3)從隨機抽取的6個服務網(wǎng)點中再任取2個作網(wǎng)購商品的調查，求恰有1個網(wǎng)點是優(yōu)秀服務網(wǎng)點的概率.解答解解樣本

13、中優(yōu)秀服務網(wǎng)點有2個，分別記為a1，a2，非優(yōu)秀服務網(wǎng)點有4個，分別記為b1，b2，b3，b4，從隨機抽取的6個服務網(wǎng)點中再任取2個的可能情況有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15種，記“恰有1個是優(yōu)秀服務網(wǎng)點”為事件M，則事件M包含的可能情況有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共8種，有關

14、古典概型與統(tǒng)計結合的題型是高考考查概率的一個重要題型，已成為高考考查的熱點，概率與統(tǒng)計結合題，無論是直接描述還是利用概率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等給出信息，準確從題中提煉信息是解題的關鍵.思維升華思維升華跟蹤訓練跟蹤訓練 從某學校2016屆高三年級共800名男生中隨機抽取50名測量身高，被測學生身高全部介于155 cm和195 cm之間，將測量結果按如下方式分成八組：第一組155,160)，第二組160,165)，第八組190,195，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第六組比第七組多1人，第一組和第八組人數(shù)相同.(1)求第六組、第七組的頻率并補充完整頻率分布直方圖；

15、解答解解由頻率分布直方圖知，前五組的頻率為(0.0080.0160.040.040.06)50.82，所以后三組的頻率為10.820.18，人數(shù)為0.18509，由頻率分布直方圖得第八組的頻率為0.00850.04，人數(shù)為0.04502，設第六組人數(shù)為m，則第七組人數(shù)為m1，又mm129，所以m4，即第六組人數(shù)為4，第七組人數(shù)為3，頻率分別為0.08,0.06，頻率除以組距分別等于0.016,0.012，則完整的頻率分布直方圖如圖所示：(2)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取兩名，記他們的身高分別為x，y，求|xy|5的概率.解答解解由(1)知身高在180,185)內的男生有四名，

16、設為a，b，c，d，身高在190,195的男生有兩名，設為A，B.若x，y180,185)，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6種情況；若x，y190,195，只有AB 1種情況；若x，y分別在180,185)，190,195內，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8種情況，所以基本事件的總數(shù)為68115，事件|xy|5包含的基本事件的個數(shù)為617，六審細節(jié)更完善審題路線審題路線圖圖典例典例 (12分)一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1,2,3,4.(1)從袋中隨機取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率；(2)先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將

17、球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為n，求nm2的概率.審題路線圖規(guī)范解答審題路線圖審題路線圖(1)基本事件為取兩個球(兩球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示)把取兩個球的所有結果列舉出來1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4兩球編號之和不大于4(注意：和不大于4，應為小于4或等于4)1,2，1,3利用古典概型概率公式求解(2)兩球分兩次取，且有放回(兩球的編號記錄是有次序的，用坐標的形式表示)基本事件的總數(shù)可用列舉法表示(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4

18、,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)(注意細節(jié)，m是第1個球的編號，n是第2個球的編號)nm2的情況較多，計算復雜(將復雜問題轉化為簡單問題)計算nm2的概率nm2的所有情況為(1,3)，(1,4)，(2,4)規(guī)范解答規(guī)范解答解解(1)從袋中隨機取兩個球，其一切可能的結果組成的基本事件有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共6個.從袋中取出的球的編號之和不大于4的事件有1,2，1,3，共2個.(2)先從袋中隨機取一個球，記下編號為m，放回后，再從袋中隨機取一個球，記下編號為n，其一切可能的結果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)

19、，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個. 6分又滿足條件nm2的事件為(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3個，故滿足條件nm2的事件的概率為課時作業(yè)1.(2016全國)為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是 基礎保分練解析答案12345678910111213141516解析解析將4種顏色的花任選2種種在一個花壇中，余下2種種在另一個花壇中，有(紅黃)、(白紫)，(白紫)、(紅黃)，(紅白)、(黃紫)，(黃紫)、(紅

20、白)，(紅紫)、(黃白)，(黃白)、(紅紫)，共6種種法，其中紅色和紫色不在一個花壇的種法有(紅黃)、(白紫)，(白紫)、(紅黃)，(紅白)、(黃紫)，(黃紫)，(紅白)，共4種，故所求概率為P123456789101112131415162.(2016全國)小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是 解析答案12345678910111213141516解析解析第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字，所以總的基本事件的個數(shù)為15，密碼正確只有一種

21、，概率為 ，故選C.解析答案123456789101112131415163.(2017山東)從分別標有1,2，9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次，每次抽取1張，則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是 解析答案123456789101112131415164.(2018梅州一模)甲、乙兩校各有3名教師報名支教，若從這6名教師中任選2名，則選出的2名教師來自同一學校的概率為 5.(2017深圳一模)一個不透明袋中裝有大小、質地完全相同的四個球，四個球上分別標有數(shù)字2,3,4,6.現(xiàn)從中隨機選取三個球，則所選的三個球上的數(shù)字能構成等差數(shù)列的概率是 解析答案12345678910111213141

22、516解析答案123456789101112131415166.設m，n分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數(shù)，則在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下，方程x2mxn0有實根的概率為 解析解析先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的情況有：(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共11種，其中使方程x2mxn0有實根的情況有：(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共7種.故所求事件的概率P7.(2016四川)從2,3,8,9中任取兩個不同的數(shù)字，分別記為a，b，則logab為整數(shù)

23、的概率是_.12345678910111213141516解析答案解析解析從2,3,8,9中任取2個不同的數(shù)字，記為(a，b)，則有(2,3)，(3,2)，(2,8)，(8,2)，(2,9)，(9,2)，(3,8)，(8,3)，(3,9)，(9,3)，(8,9)，(9,8)，共有12種情況，其中符合logab為整數(shù)的有l(wèi)og39和log28兩種情況，P8.(2018屆唐山模擬)無重復數(shù)字的五位數(shù)a1a2a3a4a5，當a1a3，a3a5時稱為波形數(shù)，則由1,2,3,4,5任意組成的一個沒有重復數(shù)字的五位數(shù)是波形數(shù)的概率是_.解析答案12345678910111213141516解析解析a2a1

24、，a2a3，a4a3，a4a5，a2只能是3,4,5中的一個.(3)若a25，則a43或4，此時分別與(1)(2)中的個數(shù)相同.123456789101112131415169.袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球.從袋中任取2個球，則所取的2個球中恰有1個白球、1個紅球的概率為_.解析答案12345678910111213141516解析答案1234567891011121314151610.10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，從中任取4件，則恰好取到1件次品的概率是_.11.設連續(xù)拋擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n，令平面向量a(m，n)，b(1，3).(1)求事

25、件“ab”發(fā)生的概率；解答12345678910111213141516解解由題意知，m1,2,3,4,5,6，n1,2,3,4,5,6，故(m，n)所有可能的情況共36種.因為ab，所以m3n0，即m3n，有(3,1)，(6,2)，共2種，所以事件“ab”發(fā)生的概率為(2)求事件“|a|b|”發(fā)生的概率.解答12345678910111213141516解解由|a|b|，得m2n210，12.海關對同時從A，B，C三個不同地區(qū)進口的某種商品進行抽樣檢測，從各地區(qū)進口此種商品的數(shù)量(單位：件)如下表所示.工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進行檢測.解答1234567891011

26、1213141516地區(qū)ABC數(shù)量50150100(1)求這6件樣品中來自A，B，C各地區(qū)商品的數(shù)量；12345678910111213141516所以樣本中包含三個地區(qū)的個體數(shù)量分別是所以A，B，C三個地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別是1,3,2.解答12345678910111213141516(2)若在這6件樣品中隨機抽取2件送往甲機構進行進一步檢測，求這2件商品來自相同地區(qū)的概率.12345678910111213141516解解設6件來自A，B，C三個地區(qū)的樣品分別為：A；B1，B2，B3；C1，C2.則從6件樣品中抽取的這2件商品構成的所有基本事件為：A，B1，A，B2，A，B3，A，C

27、1，A，C2，B1，B2，B1，B3，B1，C1，B1，C2，B2，B3，B2，C1，B2，C2，B3，C1，B3，C2，C1，C2，共15個.每個樣品被抽到的機會均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.記事件D：“抽取的這2件商品來自相同地區(qū)”，則事件D包含的基本事件有：B1，B2，B1，B3，B2，B3，C1，C2，共4個.12345678910111213141516解析解析112,123,134,145,156，167,213,224,235,246,257,268，依次列出m的可能取值，知7出現(xiàn)次數(shù)最多.13.連續(xù)2次拋擲一枚骰子(六個面上分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6)，記“兩

28、次向上的數(shù)字之和等于m”為事件A，則P(A)最大時，m_.技能提升練解析答案12345678910111213141516714.(2016山東)某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項趣味活動.參加活動的兒童需轉動如圖所示的轉盤兩次，每次轉動后，待轉盤停止轉動時，記錄指針所指區(qū)域中的數(shù).設兩次記錄的數(shù)分別為x，y.獎勵規(guī)則如下：若xy3，則獎勵玩具一個；若xy8，則獎勵水杯一個；其余情況獎勵飲料一瓶.假設轉盤質地均勻，四個區(qū)域劃分均勻，小亮準備參加此項活動.(1)求小亮獲得玩具的概率；12345678910111213141516解答12345678910111213141516解解用數(shù)對(x，

29、y)表示兒童參加活動先后記錄的數(shù)，則基本事件空間與點集S(x，y)|xN，yN,1x4,1y4一一對應.因為S中元素的個數(shù)是4416，所以基本事件總數(shù)n16.記“xy3”為事件A，則事件A包含的基本事件共5個，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，(2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由.12345678910111213141516解答12345678910111213141516解解記“xy8”為事件B，“3xy8”為事件C.則事件B包含的基本事件共6個，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4).事件C包含的基本事件

30、共5個，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1).所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率.拓展沖刺練答案解析1234567891011121314151615.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七個不同的數(shù)，則這七個數(shù)的中位數(shù)是6的概率為_.16.一個盒子里裝有三張卡片，分別標記有數(shù)字1,2,3，這三張卡片除標記的數(shù)字外完全相同.隨機有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足abc”的概率；12345678910111213141516解答解解由題意知，(a，b，c)所有的可能為(1,1,1)，(1

31、,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27種.設“抽取的卡片上的數(shù)字滿足abc”為事件A，則事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3種.12345678910111213141516(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率.12345678910111213141516解答