《高等數(shù)學教學教案§7 1微分方程的基本概念 §7 2可分離變量的微分方程》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高等數(shù)學教學教案§7 1微分方程的基本概念 §7 2可分離變量的微分方程（4頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、六六老師數(shù)學網(wǎng)專用資料： http://y66.80.hk qq：745924769 tel：15327376117 §7. 1 微分方程的基本概念 §7. 2 可分離變量的微分方程 授課次序43 教 學 基 本 指 標 教學課題 §7. 1 微分方程的基本概念 §12. 2 可分離變量的微分方程 教學方法 當堂講授，輔以多媒體教學 教學重點 微分方程與可分離變量的方程 教學難點 可分離變量的方程的解法 參考教材 同濟大學編《高等數(shù)學（第6版）》 自編教材《高等數(shù)學習題課教程》 作業(yè)布置 《高等數(shù)學》標準

2、化作業(yè) 雙語教學 導數(shù)：derivative； 微分：differential calculus；微分方程：differential equation；階：order ； 常微分方程：ordinary differential equation ；偏微分方程：partial differential equation； 解：solution；通解：general solution；特解：special solution；初始條件：initial condition 課堂教學目標 1． 了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解等概念 2． 掌握可分離變量的方程的解法 教學過程

3、1．微分方程的基本概念（35min）； 2．可分離變量的方程的解法（55min） 教 學 基 本 內(nèi) 容 第七章 微分方程 §7. 1 微分方程的基本概念 函數(shù)是客觀事物的內(nèi)部聯(lián)系在數(shù)量方面的反映, 利用函數(shù)關系又可以對客觀事物的規(guī)律性進行研究. 因此如何尋找出所需要的函數(shù)關系, 在實踐中具有重要意義. 在許多問題中, 往往不能直接找出所需要的函數(shù)關系, 但是根據(jù)問題所提供的情況, 有時可以列出含有要找的函數(shù)及其導數(shù)的關系式. 這樣的關系就是所謂微分方程. 微分方程建立以后, 對它進行研究, 找出未知函數(shù)來, 這就是解微分方程.

4、 例1 一曲線通過點(1, 2), 且在該曲線上任一點M(x, y)處的切線的斜率為2x, 求這曲線的方程. 例2 列車在平直線路上以20m/s(相當于72km/h)的速度行駛; 當制動時列車獲得加速度-0.4m/s2. 問開始制動后多少時間列車才能停住, 以及列車在這段時間里行駛了多少路程? 幾個概念: 微分方程: 表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導數(shù)與自變量之間的關系的方程, 叫微分方程. 常微分方程: 未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程, 叫常微分方程. 偏微分方程: 未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程, 叫偏微分方程. 微分方程的階: 微分方程中所

5、出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù)叫微分方程的階. x3 y￠￠￠+x2 y￠￠-4xy￠=3x2 , y(4) -4y￠￠￠+10y￠￠-12y￠+5y=sin2x, y(n) +1=0, 一般n階微分方程: F(x, y, y￠, × × × , y(n) )=0. y(n)=f(x, y, y￠, × × × , y(n-1) ) . 微分方程的解: 滿足微分方程的函數(shù)(把函數(shù)代入微分方程能使該方程成為恒等式)叫做該微分方程的解. 確切地說, 設函數(shù)y=j(x)在區(qū)間I上有n階連續(xù)導數(shù), 如果在區(qū)間I上, F[x, j(x), j

6、￠(x), × × ×, j(n) (x)]=0, 那么函數(shù)y=j(x)就叫做微分方程F(x, y, y￠, × × ×, y(n) )=0在區(qū)間I上的解. 通解: 如果微分方程的解中含有任意常數(shù), 且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同, 這樣的解叫做微分方程的通解. 初始條件: 用于確定通解中任意常數(shù)的條件, 稱為初始條件. 如x=x0 時, y=y0 , y￠= y￠0 . 一般寫成 , . 特解: 確定了通解中的任意常數(shù)以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常數(shù)的解. 初值問題: 求微分方程滿足初始條件的解的問題稱為初值問題. 如求微分方

7、程y￠=f(x, y)滿足初始條件的解的問題, 記為. 積分曲線: 微分方程的解的圖形是一條曲線, 叫做微分方程的積分曲線. 例3 驗證: 函數(shù) x=C1cos kt+C2 sin kt是微分方程 的解. 例4 已知函數(shù)x=C1coskt+C2sinkt(k10)是微分方程的通解, 求滿足初始條件 x| t=0 =A, x￠| t=0 =0的特解. §7. 2 可分離變量的微分方程 觀察與分析: 1. 求微分方程y￠=2x的通解. 為此把方程兩邊積分, 得y=x2+C. 一般地, 方程y￠=f(x

8、)的通解為(此處積分后不再加任意常數(shù)). 2. 求微分方程y￠=2xy2 的通解. 因為y是未知的, 所以積分無法進行, 方程兩邊直接積分不能求出通解. 為求通解可將方程變?yōu)? 兩邊積分, 得, 或, 可以驗證函數(shù)是原方程的通解. 一般地, 如果一階微分方程y￠=j(x, y)能寫成g(y)dy=f(x)dx形式, 則兩邊積分可得一個不含未知函數(shù)的導數(shù)的方程G(y)=F(x)+C, 由該方程所確定的隱函數(shù)就是原方程的通解 對稱形式的一階微分方程: 一階微分方程有時也寫成如下對稱形式: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0

9、 在這種方程中, 變量x與y 是對稱的. 若把x看作自變量、y看作未知函數(shù), 則當Q(x,y)10時, 有. 若把y看作自變量、x看作未知函數(shù), 則當P(x,y)10時, 有 . 可分離變量的微分方程: 如果一個一階微分方程能寫成 g(y)dy=f(x)dx (或寫成y￠=j(x)y(y)) 的形式, 就是說, 能把微分方程寫成一端只含y的函數(shù)和dy, 另一端只含x的函數(shù)和dx, 那么原方程就稱為可分離變量的微分方程. 討論: 下列方程中哪些是可分離變量的微分方程？ (1) y￠=2xy, 是. Ty-1dy=2xdx

10、 . (2)3x2+5x-y￠=0, 是. Tdy=(3x2+5x)dx. (3)(x2+y2)dx-xydy=0, 不是. (4)y￠=1+x+y2+xy2, 是. Ty￠=(1+x)(1+y2). (5)y￠=10x+y, 是. T10-ydy=10xdx. (6). 不是. 可分離變量的微分方程的解法: 第一步 分離變量, 將方程寫成g(y)dy =f(x)dx的形式; 第二步 兩端積分:, 設積分后得G(y)=F(x)+C; 第三步 求出由G(y)=F(x)+C所確定的隱函數(shù)y=F(x)或x=Y(y) G(y)

11、=F(x)+C , y=F (x)或x=Y(y)都是方程的通解, 其中G(y)=F(x)+C稱為隱式(通)解. 例1 求微分方程的通解. 例2 鈾的衰變速度與當時未衰變的原子的含量M成正比. 已知t=0時鈾的含量為M0, 求在衰變過程中鈾含量M(t)隨時間t變化的規(guī)律. 例3 設降落傘從跳傘塔下落后, 所受空氣阻力與速度成正比, 并設降落傘離開跳傘塔時速度為零. 求降落傘下落速度與時間的函數(shù)關系. 例4 求微分方程的通解. 例4 有高為1m的半球形容器, 水從它的底部小孔流出, 小孔橫截面面積

12、為1cm2. 開始時容器內(nèi)盛滿了水, 求水從小孔流出過程中容器里水面高度h隨時間t變化的規(guī)律. 解 由水力學知道, 水從孔口流出的流量Q可用下列公式計算: , 其中0. 62為流量系數(shù), S為孔口橫截面面積, g為重力加速度. 現(xiàn)在孔口橫截面面積S=1cm2, 故 , 或. 另一方面, 設在微小時間間隔[t, t+dt]內(nèi), 水面高度由h降至h+dh(dh<0), 則又可得到 dV=-pr2dh, 其中r是時刻t的水面半徑, 右端置負號是由于dh<0而dV>0的緣故. 又因 , 所以 dV=-p(200h-h2)dh.

13、 通過比較得到 , 這就是未知函數(shù)h=h(t)應滿足的微分方程. 此外, 開始時容器內(nèi)的水是滿的, 所以未知函數(shù)h=h(t)還應滿足下列初始條件: h|t=0=100. 將方程分離變量后得. 兩端積分, 得, 即, 其中C是任意常數(shù). 由初始條件得 , . 因此 . 上式表達了水從小孔流出的過程中容器內(nèi)水面高度h與時間t之間的函數(shù)關系. 備注欄 教 學 后 記 §7. 1 微分方程的基本概念 §7. 2 可分離變量的微分方程 第 4 頁 共 4 頁