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1、余 弦 定 理 一、教學內容分析 人教版《普通高中課程標準實驗教科書·必修（五）》（第2版）第一章《解三角形》第一單元第二課《余弦定理》。通過利用向量的數(shù)量積方法推導余弦定理，正確理解其結構特征與表現(xiàn)形式，解決“邊、角、邊”與“邊、邊、邊”問題，初步體會余弦定理解決“邊、邊、角”，體會方程思想，激發(fā)學生探究數(shù)學，應用數(shù)學的潛能。 二、學生學習情況分析 本課之前，學生已經(jīng)學習了三角函數(shù)、向量基本知識與正弦定理有關內容，對于三角形中的邊角關系有了較進一步的認識。在此基礎上利用向量方法探求余弦定理，學生已有一定的學習基礎與學習興趣?？傮w上學生應用數(shù)學知識的意識不強，創(chuàng)造力較弱，看待與分析問題

2、不深入，知識的系統(tǒng)性不完善，使得學生在余弦定理推導方法的探求上有一定的難度，在發(fā)掘出余弦定理的結構特征、表現(xiàn)形式的數(shù)學美時，能夠激發(fā)學生熱愛數(shù)學的思想感情；從具體問題中抽象出數(shù)學的本質，應用方程的思想去審視，解決問題是學生學習的一大難點。 三、設計思想 新課程的數(shù)學提倡學生動手實踐，自主探索，合作交流，深刻地理解基本結論的本質，體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的歷程，力求對現(xiàn)實世界蘊涵的一些數(shù)學模式進行思考，作出判斷；同時要求教師從知識的傳授者向課堂的設計者、組織者、引導者、合作者轉化，從課堂的執(zhí)行者向實施者、探究開發(fā)者轉化。本課盡力追求新課程要求，利用師生的互動合作，提高學生的數(shù)學思維能力，發(fā)展學生的

3、數(shù)學應用意識與創(chuàng)新意識，深刻地體會數(shù)學思想方法及數(shù)學的應用，激發(fā)學生探究數(shù)學、應用數(shù)學知識的潛能。 四、教學目標 繼續(xù)探索三角形的邊長與角度間的具體量化關系、掌握余弦定理的兩種表現(xiàn)形式，體會向量方法推導余弦定理的思想；通過實踐演算運用余弦定理解決“邊、角、邊”及“邊、邊、邊”問題；深化與細化方程思想，理解余弦定理的本質。通過相關教學知識的聯(lián)系性，理解事物間的普遍聯(lián)系性。 五、教學重點與難點 教學重點是余弦定理的發(fā)現(xiàn)過程及定理的應用；教學難點是用向量的數(shù)量積推導余弦定理的思路方法及余弦定理在應用求解三角形時的思路。 六、教學過程： 教學環(huán)節(jié) 合作探究活動 學情分析與設計意圖 知

4、識 回顧 1、一般三角形全等的四種判斷方法是什么？ 2、三角形的正弦定理內容，主要解決哪幾類問題的三角形？ 回顧舊知，防止遺忘 創(chuàng)設 引入 你能判斷下列三角形的類型嗎？ 1、以3，4，5為各邊長的三角形是_____三角形 以2，3，4為各邊長的三角形是_____三角形 以4，5，6為各邊長的三角形是_____三角形 2、在△ABC中a＝8，b＝5，∠c＝60°，你能求c邊長嗎？ 引導學生從平面幾何、實踐作圖方面進行估計判斷。 學生可能比較茫然，幫助學生分析相關內容，從多角度看待問題，用實踐進行檢驗。 提出 問題 你能夠有更好的具體的量化方法嗎？ 幫助學生從平面

5、幾何、三角函數(shù)、向量知識、坐標法等方面進行分析討論，選擇簡潔的處理工具，引發(fā)學生的積極討論。 引導學生從相關知識入手，選擇簡潔的工具。 合作探究 A B C 利用向量法推導余弦定理： 如圖：設， 由三角形法則有 同理，讓學生利用相同方法推導， 學生對向量知識可能遺忘，注意復習；在利用數(shù)量積時，角度可能出現(xiàn)錯誤，出現(xiàn)不同的表示形式，讓學生從錯誤中發(fā)現(xiàn)問題，鞏固向量知識，明確向量工具的作用。同時，讓學生明確數(shù)學中的轉化思想：化未知為已知。 歸納概括 余弦定理： 三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方與減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。

6、知識歸納比較，發(fā)現(xiàn)特征，加強識記 結構分析 觀察余弦定理，指明了三邊長與其中一角的具體關系，并發(fā)現(xiàn)a與A，b與B，C與c之間的對應表述，同時發(fā)現(xiàn)三邊長的平方在余弦定理中同時出現(xiàn) 使學生明確對應關系，樹立方程思想，解決“邊、角、邊”問題 知識聯(lián)系 余弦定理的推論： 　　　 解決“邊、邊、邊” 問題 方法應用 怎樣準確地解答引入中的兩個問題？ 怎樣利用已知條件判斷三角形的形狀？ 用準確的量化關系去解決問題，用邊長去判斷三角形形狀，勾股定理是余弦定理特例。 知識應用 例1：在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm，　　　　　A＝41°，求解三角形（角度精確到1°，邊長

7、精確到1cm） 例2：在△ABC中，已知a＝134.6cm，b＝87.8cm，c＝161.7cm，解三角形（角度精確到1′） 應用數(shù)學知識求解問題加強計算器的運算功能，同時，鞏固好正弦定理，余弦定理知識，發(fā)現(xiàn)兩種知識方法在解三角形中的綜合應用。 知識深化 例3：已知△ABC中求c邊長 分析：（1）用正弦定理分析引導 （2）應用余弦定理構造關于C的方程求解。 （3）比較兩種方法的利弊。能用正弦定理解決的問題均可以用余弦定理解決，更具有優(yōu)越性。 繼續(xù)深化正弦、余弦定理，尤其是余弦定理的方程思想求解問題優(yōu)越于余弦定理。并讓學生初步發(fā)現(xiàn)“邊、邊、角”問題解法，為下節(jié)學習輔墊。 練習檢

8、測 1、某人站在山頂向下看一列車隊向山腳駛來，他看見第一輛車與第二輛車的俯角差等于他看見第二輛與第三輛車的俯角差，則第一輛車與第二輛車的距離與第二輛車的距離之間關系為（　?。? A：>　 　　 B：= C：< 　　　D：大小不確定 2、銳角△ABC中b＝1，c＝2，則a取值為（　?。? A：（1,3）　　　　　　B：（1,）　　 C：（，2）　　　　D：（，） 3、在△ABC中若有，你能判斷這個三角形的形狀嗎？若呢？ 用練習去鞏固所學知識，使學生逐步形成良好的知識結構，加強數(shù)學知識應用能力的培養(yǎng)。 課堂小結 1、正弦、余弦定理各能解決哪些類型問題？各有什么利與弊？

9、 2、從本課中你學到了哪些知識與方法？ 通過知識回顧，使學生各自體會收獲。 板書設計 1、推導余弦定理及其推論 2、例3、例4 3、練習指導 4、小結投影正弦、余弦定理，比較它們理解知識 作業(yè)設計 1、討論余弦定理的其它解法設計思路。 2、第11頁A組3、4題 鞏固知識 多角度看待問題 七、教學反思 本課的教學應具有承上啟下的目的。因此在教學設計時既要兼顧前后知識的聯(lián)系，又要使學生明確本課學習的重點，將新舊知識逐漸地融為一體，構建比較完整的知識系統(tǒng)。所以在余弦定理的表現(xiàn)方式、結構特征上重加指導，只有當學生正確地理解了余弦定理的本質，才能更好地應用求解問題。本課教

10、學設計力求在型（模型、類型），質（實質、本質），思（思維、思想方法）上達到教學效果。本課之前學生已學習過三角函數(shù)，平面幾何，平面向量、解析幾何、正弦定理等與本課緊密聯(lián)系的內容，使本課有了較多的處理工具，也使余弦定理的探討有了更加簡潔的工具。因此在本課的教學設計中抓住前后知識的聯(lián)系，重視數(shù)學思想的教學，加深對數(shù)學概念本質的理解，認識數(shù)學與實際的聯(lián)系，學會應用數(shù)學知識與方法解決一些實際問題。學生應用數(shù)學的意識不強，創(chuàng)造力不足、看待問題不深入，很大原因在于學生的知識系統(tǒng)不夠完善。因此本課運用聯(lián)系的觀點，從多角度看待問題，在提出問題、思考分析問題、解決問題等多方面對學生進行示范引導，將舊知識與新知識進

11、行重組擬合及提高，幫助學生建立自己的良好知識結構。 點評： 本課是在學生學習了三角函數(shù)、平面幾何、平面向量、正弦定理的基礎上而設置的教學內容，因此本課的教學有較多的處理辦法。李教師從解三角形的問題出發(fā)，提出解題需要，引發(fā)認知沖突，激起學生的求知欲望，調動了學生的學習積極性；在定理證明的教學中，引導學生從平面幾何、三角函數(shù)、向量知識、坐標法等方面進行分析討論，注意分析思路，揭示蘊含在證明中的數(shù)學思想，最后引導學生用向量知識推導出公式，在給出余弦定理的三個等式與三個推論之后，又對知識進行了歸納比較，發(fā)現(xiàn)特征，便于學生識記，同時也指出了勾股定理是余弦定理的特殊情形，提高了學生的思維層次。 命題

12、的應用是命題教學的一個重要環(huán)節(jié)，學習命題的重要目的是應用命題去解決問題。所以，例題的精選、講解是至關重要的。設計中的例1、例2是常規(guī)題，讓學生應用數(shù)學知識求解問題，鞏固正弦定理、余弦定理知識。例3是已知兩邊一對角，求解三角形問題，可用正弦定理求之，也可用余弦定理求解，通過比較分析，突出了正、余弦定理的聯(lián)系，深化了對兩個定理的理解，培養(yǎng)了解決問題的能力。但李教師在對例3解法的總結時，指出“能用正弦定理解決的問題均可以用余弦定理解決，更具有優(yōu)越性?！边@結論有點片面。 本課在繼承了傳統(tǒng)數(shù)學教學模式優(yōu)點，結合新課程的要求進行改進與發(fā)展，以發(fā)展學生的數(shù)學思維能力為主線，發(fā)揮教師的設計者，組織者作用，在使學生掌握知識的同時，幫助學生摸索自己的學習方法。