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1、 〈〈定積分在幾何中的應(yīng)用》說課教案 隨州二中 高~~偉 大家下午好?我說課的題目是《定積分在幾何中的應(yīng)用》，內(nèi)容選自于新課 程人教A版選修2-2第一章第7節(jié)。我將從教材分析，教法學(xué)法分析，教學(xué)過 程分析這三大方面闡述我對(duì)這節(jié)課的分析和設(shè)計(jì)。 一、教材分析 1、 教材的地位和作用 定積分的應(yīng)用是在學(xué)生學(xué)習(xí)了定積分的概念，計(jì)算，幾何意義之后，對(duì)定積 分知識(shí)的總結(jié)和升華。通過學(xué)習(xí)定積分在幾何中的簡單應(yīng)用，掌握用定積分手 段解決實(shí)際問題的基本思想和方法，在學(xué)習(xí)過程中體會(huì)導(dǎo)數(shù)與積分的工具性作 用，從而進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)用價(jià)值。這部分內(nèi)容也是學(xué)生在高等學(xué)校 進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是高

2、中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的在教學(xué)內(nèi)容上的銜接。 2教學(xué)目標(biāo)（以教材為背景，根據(jù)課標(biāo)要求，設(shè)計(jì)了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)） 1、 知識(shí)與技能目標(biāo)： 通過對(duì)本節(jié)課的探究， 學(xué)生能夠應(yīng)用定積分解決不太規(guī)則的平面圖形的面積， 能夠初步 掌握應(yīng)用定積分解決實(shí)際問題的思想和方法。 2、 過程與方法目標(biāo)： 通過體驗(yàn)解決問題的過程，體現(xiàn)定積分的使用價(jià)值，加強(qiáng)觀察能力和歸納能力，強(qiáng)化數(shù) 形結(jié)合和化歸思想的思維意識(shí)，同時(shí)體會(huì)到數(shù)學(xué)研究的基本思路和方法。 3、 情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)： 通過教學(xué)過程中的觀察、 思考、總結(jié)，養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣， 培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)? 科學(xué)思維習(xí)慣和方法，培養(yǎng)將數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用于生活的意識(shí)

3、。 3教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 1、 重點(diǎn)：應(yīng)用定積分解決平面圖形的面積，在解決問題的過程中體驗(yàn)定 積分的價(jià)值。 要把握這個(gè)重點(diǎn)，要真正掌握有一定的難度，因此，本節(jié)課的難點(diǎn)確定為 2、 難點(diǎn)：如何把平面圖形的面積問題化歸為定積分問題 ，如何恰當(dāng)選擇積 分變量和確定被積函數(shù)。 二教法，學(xué)法分析 1教法分析 應(yīng)用型的課題是培養(yǎng)學(xué)生觀察，分析，發(fā)現(xiàn)，概括，推理和探索能力的極 好素材，本節(jié)課主要采取“教師啟發(fā)引導(dǎo)與學(xué)生自主探究相結(jié)合”的教學(xué)方法： 即學(xué)生在老師引導(dǎo)下，觀察發(fā)現(xiàn)、自主探究、合作交流、由特殊到一般、由感 性到理性主動(dòng)建構(gòu)新知識(shí)，充分體現(xiàn)了教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體地位 2學(xué)法分析 授

4、人以魚，不如授人以漁”，教是為了不教，一定要讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，去 探索。在學(xué)法選擇上，我主要采用：自主探究法、觀察發(fā)現(xiàn)法、合作交流法等 學(xué)習(xí)方法。 三教學(xué)過程分析 主要是四個(gè)環(huán)節(jié)： 創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新知一一合作交流，探究問題 -――實(shí)踐應(yīng)用，解決問題-----鞏固總結(jié)， 拓展提升 1創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新知 ⑴情景引入： 展示兩張荊州古城九龍橋的圖片，九龍橋建于明代，由 9個(gè)半圓形的石 拱組成,另兩張圖片為我家鄉(xiāng)的隨州一橋， 橋體是6個(gè)拋物線形的拱形，提問: 要計(jì)算水流量，需要用到拱形的面積。半圓形的拱形面積好算，那么拋物 線形的拱形面積該如何計(jì)算？ 【設(shè)計(jì)意圖】：在生活實(shí)例的啟發(fā)

5、下，引導(dǎo)學(xué)生把所學(xué)知識(shí)與實(shí)際問題聯(lián)系起來， 本環(huán)節(jié)安排學(xué)生自主討論，自主發(fā)現(xiàn)解決問題的方向一一定積分跟面積的關(guān)系， 激發(fā)學(xué)生的求知欲和探索欲，設(shè)下懸念，為后面作開啟性的鋪墊，同時(shí)也引出 本節(jié)課的課題：定積分在幾何中的應(yīng)用。 (2)課前復(fù)習(xí) (1) 定積分的幾何意義 b 如果在區(qū)間［a，b］上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有f(x)》0，那么定積分a f(x)dx表示由直線 x=a,x=b(az b),y=O和曲線y= f(x)所圍成的曲邊梯形的面積。 當(dāng)f(x)二0時(shí)，由y=f (x)、x=a、x=b與x軸所圍成的曲邊梯形位于 x軸的下方， a ff(x)dx-S 老師要強(qiáng)調(diào)，當(dāng)

6、f(x)m時(shí)，所圍成的曲邊梯形位于 x軸的下方，此時(shí)的定 積分是負(fù)值，等于負(fù)S。 (2) 微積分的基本定理 如果f(x)是區(qū)間［a， b］上的連續(xù)函數(shù)，且 F'(x)=f(x)，那么： b b L f(x)dx=F(x) ； = F(b) F(a) 【設(shè)計(jì)意圖】：以教師提問學(xué)生回答的形式回顧前面的知識(shí)，這些知識(shí)是本節(jié)課 的理論基礎(chǔ)，定積分可以表示曲邊梯形的面積，微積分基本定理為定積分的計(jì) 算提供了一種有效的計(jì)算方法，兩者強(qiáng)強(qiáng)聯(lián)合，可以解決平面幾何中曲邊圖形 的面積問題。 2合作交流，探究問題 (1)熱身訓(xùn)練: \ 4 - x2 dx 練習(xí)1?計(jì)算 2 ?計(jì)算 sin xdx

7、 -31 22 x 由數(shù)到形，啟發(fā)學(xué) 【設(shè)計(jì)意圖】：這兩個(gè)題目如果直接用微積分基本定理去求比較麻煩，假如用定 積分的幾何意義去求，則非常簡單。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想， 生發(fā)現(xiàn)定積分與幾何圖形面積之間的關(guān)系 （2）合作交流：用定積分表示下面5個(gè)圖形陰影部分的面積 y = f(^ X 圖（i） b 圖（2） a N b y = Z⑴ A 圖（4） y = m 學(xué)生思考2分鐘后舉手發(fā)言，這是當(dāng)時(shí)學(xué)生回答前三個(gè)的視頻。 她說第三個(gè)時(shí)說錯(cuò)了，把 A到C上的積分當(dāng)成了面積，大部分學(xué)生都發(fā)現(xiàn) 了錯(cuò)誤，后來全班同學(xué)一起說出了第三個(gè)的答案。 【設(shè)計(jì)意圖】：這五個(gè)圖形

8、是由淺入深，循序漸進(jìn)設(shè)計(jì)的， 一步步加深了難度， 由學(xué)生自己找出答案，得到一個(gè)初步的感性認(rèn)識(shí)，即各種不同類型的陰影部分 面積都可以轉(zhuǎn)化為曲邊梯形去求面積，進(jìn)而再用定積分去表示面積。 要注意定 積分的幾何意義，不能等同于圖形的面積? （3）問題探究：曲邊形面積的求解的一般思路 面積 A=Ai -A2 圖7 【設(shè)計(jì)意圖】：進(jìn)一步拓展到不規(guī)則曲邊形的面積問題，有了前面的鋪墊，學(xué)生 很快發(fā)現(xiàn)曲邊形面積可以由兩個(gè)曲邊梯形面積相減得到，這樣就有了初步的理 性認(rèn)識(shí)，將求解不規(guī)則曲邊形的面積問題統(tǒng)統(tǒng)化歸為曲邊梯形去求解，發(fā)現(xiàn)并 掌握數(shù)學(xué)學(xué)科研究的基本過程與方法，即由特殊到一般。

9、 3實(shí)踐應(yīng)用，解決問題 俗話說，磨刀不誤砍柴功，有了以上的那些準(zhǔn)備，我們就可以解決實(shí)際問題了 ，下面來 看例1 【例題實(shí)踐】例1計(jì)算由曲線y=x2與y2=x所圍圖形的面積. 解：作出草圖，所求面積為圖中陰影部分的面積  = 2x2 3 讓學(xué)生自己動(dòng)手畫圖找出所圍面積，思考 ，然后學(xué)生口答，教師一步步板書 解題過程。我覺得不能過多的應(yīng)用課件而忽視數(shù)學(xué)的思維過程，讓數(shù)學(xué)味變淡了， 一定要有必要的板書■做完后再讓學(xué)生總結(jié)求由兩曲線圍成的平面圖形面積的一 般步驟。 這位同學(xué)說了三步，大致是正確的，給予鼓勵(lì)，板書步驟。但是他忘了最 關(guān)鍵的一步，就是要把曲線的方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)才能求積

10、分， y2=x要轉(zhuǎn)化為函數(shù) y二\x在o到1上的積分。老師在此強(qiáng)調(diào)要確定被積函數(shù)和積分區(qū)間。 【設(shè)計(jì)意圖】：例1是教材中這節(jié)內(nèi)容的第一個(gè)例題，學(xué)生借助圖形直觀，把 所求面積進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指?，突出?yīng)用定積分解決平面圖形面積問題這一重點(diǎn)， 化解如何把平面圖形的面積問題化歸為定積分問題這一難點(diǎn)。變灌注知識(shí)為主 動(dòng)獲取知識(shí)，從而使學(xué)生真正成為課堂教學(xué)活動(dòng)的主體。通過對(duì)方法的總結(jié)， 使學(xué)生知識(shí)系統(tǒng)化，解題過程規(guī)范化，整個(gè)過程充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合和化歸思想 的數(shù)學(xué)思想方法。 方法1 （圖9）: S = 3 S2 = o、2xdx [ 4 2x 8 dx - 4 (x -4)dx] 8 —— 8

11、 方法3 （圖11）： S 方法 2 (圖 10): S=(叮2xdx — [(x —4)dx 例2要求學(xué)生分組合作完成，合作交流后學(xué)生很積極的展示自己的研究成 果，下面請(qǐng)看方法1和方法2的視頻。 這兩種方法都是常規(guī)方法，還有第三種很好的分割方法，也有少數(shù)同學(xué)想 到了，但不知如何去做，老師提示后，有的學(xué)生也做出來了，請(qǐng)看視頻。 這位同學(xué)說完后，全班同學(xué)報(bào)以熱烈的掌聲，至此，學(xué)生有一種“山重水 復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”的感覺，品嘗到了探索的喜悅和學(xué)習(xí)的樂趣。 【設(shè)計(jì)意圖】：此題的目的在于鞏固解題方法，由一題多解鍛煉學(xué)生的發(fā)散思 維。教師點(diǎn)評(píng)：遇到一題多解時(shí)要找最簡單的解法，做輔助線

12、時(shí)，盡量將曲邊 形轉(zhuǎn)化成我們熟悉的平面圖形，如三角形、矩形、梯形和曲邊梯形組合的圖形 ， 根據(jù)圖形特點(diǎn)，選擇最優(yōu)化的分割面積方法和積分方法 4鞏固總結(jié)，拓展提升 （1 ）歸納總結(jié)：師生共同敘述求由曲線圍成的平面圖形的面積的解題步驟 ，特別強(qiáng) 調(diào)如果選擇y為積分變量時(shí)，要把函數(shù)變形為用 y表示x的函數(shù) 第一步：畫草圖，求出曲線的交點(diǎn)坐標(biāo) 第二步：將曲邊形面積轉(zhuǎn)化為曲邊梯形面積 第三步：確定被積函數(shù)及積分區(qū)間 （如果選擇y為積分變量時(shí)，要把函數(shù)變形為用 y 表示x的函數(shù)） 第四步：計(jì)算定積分，求出面積 （2 ）應(yīng)用提升 現(xiàn)在來解決本節(jié)課開始時(shí)提出的問題，如何計(jì)算 拋物線拱

13、形的面積 為了降低難度，設(shè)計(jì)了三個(gè)問題讓學(xué)生思考: 如圖12,橋拱的形狀為拋物線，已知該拋物線拱 的高為常數(shù)h，寬為常數(shù)b,求拋物線拱的面積？ 問：大致的解題步驟是什么？ 答：先建系，求解拋物線方程，再求面積 問：如何建立平面直角坐標(biāo)系會(huì)使得拋物線方程的求解簡單 答：以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系 【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立求解拋物線方程 投影學(xué)生練習(xí)，建立如圖 13的直角坐標(biāo)系 答：以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系 代拋物線上一點(diǎn)（b , -h）入方程， 2 b 2 4h 4 h 2 則有 -h = -a(—)解得a 2，所以拋物線方程為 y 2X . 2 b b

14、 問：所求圖形有什么特點(diǎn)？ 答：左右對(duì)稱，可以解答一半取 2倍 【師生活動(dòng)】：在黑板上與學(xué)生共同完成 設(shè)一半的面積為S,則有 2s = 2|bh+ 門(_第2皿" .2 0 b 一 =2%(-紳 It2 3b2 【設(shè)計(jì)意圖】：把本節(jié)課的探究活動(dòng)推向高潮，解決了前面設(shè)下的懸念的同時(shí), 實(shí)現(xiàn)了生活中的實(shí)際問題與抽象數(shù)學(xué)的完美結(jié)合。同時(shí)鞏固了用定積分求解面 積問題的基本方法和步驟。 （3）互動(dòng)小結(jié) 問： 本節(jié)課我們做了什么探究活動(dòng)呢？ 答： 用定積分解曲邊形面積。 問： 如何用定積分解決曲邊形面積問題呢？ 答： 第一步：畫草圖，求出曲線的交點(diǎn)坐標(biāo) 第二步：將曲邊形面積轉(zhuǎn)化為曲

15、邊梯形面積 第三步：確定被積函數(shù)及積分區(qū)間 （如果選擇 y 為積分變量時(shí)， 要把函數(shù)變形為用 y 表示 x 的函數(shù) ） 第四步：計(jì)算定積分，求出面積 問： 解答曲線所圍的平面圖形面積時(shí)須注意什么問題？ 答： 選擇最優(yōu)化的積分變量；根據(jù)圖形特點(diǎn)選擇最優(yōu)化的解題方法 . 問： 體會(huì)到什么樣的數(shù)學(xué)研究思路及方法呢？ 小結(jié)部分設(shè)計(jì)了四個(gè)問題： 第一個(gè)問題，學(xué)生回答：用定積分解曲邊形面積。 第二個(gè)問題，學(xué)生回答解題的四步。 第三個(gè)問題學(xué)生回答選擇最優(yōu)化的積分變量；根據(jù)圖形特點(diǎn)選擇最優(yōu)化的 解題方法 . 第四個(gè)問題學(xué)生不知道怎么說，老師總結(jié)： 答：從問題出發(fā)，聯(lián)系相關(guān)知識(shí)，探究出解決問題的思

16、路，通過實(shí)踐的檢 驗(yàn)得到一般方法，通過練習(xí)鞏固，通過應(yīng)用提升。 【設(shè)計(jì)意圖】：提問式的課堂小結(jié)， 目的在于調(diào)動(dòng)學(xué)生積極參與梳理知識(shí)的過程， 培養(yǎng)學(xué)生在探究之后整合知識(shí)的能力。 （4）分層作業(yè) 鞏固型作業(yè)（必做題）： 書本P60習(xí)題A組1 B組3 拓展型作業(yè)：（選做題）（例2變式題）計(jì)算由曲線 y2=2x和y=x-4直線所圍成圖形的面 積，請(qǐng)盡量寫出多種解法。 作業(yè)是課后的又一頓盛餐，要讓大部分學(xué)生能夠吃得飽，吃得好，還要不油 膩，好消化，因此設(shè)計(jì)了分層作業(yè)，面向全體學(xué)生，突出本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)，既 達(dá)到復(fù)習(xí)鞏固的目的，又兼顧學(xué)有余力的同學(xué)有自由發(fā)展的空間 . 【設(shè)計(jì)意圖】 ： 作業(yè)布置

17、突出本節(jié)課知識(shí)點(diǎn) ,適量 ,達(dá)到復(fù)習(xí)鞏固的目的 ,又兼顧學(xué)有余力的同 學(xué)有自由發(fā)展的空間 ,培養(yǎng)其探索精神和創(chuàng)新能力 . （ 5）板書設(shè)計(jì) 以下是這節(jié)課的板書設(shè)計(jì)。 我的說課到此為止，有不到之處還請(qǐng)各位專家評(píng)委批評(píng)指正。 最后借這個(gè)難得的機(jī)會(huì)問各位專家，老師一個(gè)問題，就是問什么新課程要在高中數(shù)學(xué) 中引入定積分部分，這部分內(nèi)容是不是有點(diǎn)難，我想得還不是很透徹，懇請(qǐng)各位能為我答 疑解惑。 僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途 For personal use only in study and research; not for commercial use. Nur f u r d

18、en pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden. Pour l ' e tude et la recherche uniquement a des fins personnelles; pas a des fins commerciales. to員bko g^A.nrogeHKO TOpMeno^b3ymoiflCH6yHeHuac^ egoB u HHuefigo^^HM ucno 員 B30BaTbCE b KOMMepqeckux qe 員 ex. 以下無正文